| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Некоммутативное обобщение и квазиграмианные решения уравнения Хироты Х. Ваджахат А. Риаз School of Science, China University of Mining and Technology, Beijing, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020046 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ последние годы изучение некоммутативных (НК) систем привлекает большой интерес исследователей во многих областях физики и математики [1]–[6]. Решения таких систем важны при изучении динамики D-бран, теории струн и квантового эффекта Холла [7], [8]. С точки зрения интегрируемости недавним прорывом стало построение точных многосолитонных решений НК-иерархии Кадомцева–Петвиашвили, выраженных через квазидетерминанты [9]. Понятие квазидетерминанта было впервые введено Гельфандом и Ретахом в 1991 г. в контексте НК-обобщения теории определителей матриц [10]. Квантование фазового пространства, как правило, приводит к НК-поведению независимых координат. Тогда обычное произведение может быть заменено звездочным произведением [11]–[14], но из-за некоммутативности коодинат этот подход сложен в применении. Настоящая работа посвящена изучению НК-обобщения уравнения Хироты и нелинейного уравнения Шредингера–Хироты (далее уравнение Хироты-НУШ). Для этого мы задаем пару Лакса НК-уравнения Хироты, строим матрицу Дарбу и бинарную матрицу Дарбу, чтобы получить решения этого уравнения. Мы находим явный вид квазиграмианных решений для НК-полей уравнения Хироты; после смягчения условия некоммутативности эти решения сводятся к отношениям грамианов. Чтобы получить НК-обобщение уравнения, мы следуем подходу, который представлен в [15]–[18]. В рамках этого подхода подразумевается некоммутативность полей, а не независимых координат, т. е. для полей $f_1:=f_1(x,t)$, $f_2:=f_2(x,t)$ мы предполагаем, что $f_1(x,t)f_2(x,t)\neq f_2(x,t)f_1(x,t)$. Таким образом, здесь и далее слово “некоммутативный” относится к обобщению на неабелев (матричный) случай. КвазидетерминантыКвазидетерминант – это понятие, заменяющее обычный определитель, для матриц над некоммутативным кольцом. Он играет ту же роль в некоммутативной алгебре, что и обычный определитель в коммутативной алгебре, и широко применяется для анализа некоммутативных интегрируемых систем [9], [16], [19], [20]. Квазидетерминант $|M|_{ij}$, $i, j=1,\ldots,n$, матрицы размера $n\times n$ над некоммутативным кольцом $R$, разложенной по элементу $m_{ij}$, задается как
$$
\begin{equation}
|M|_{ij}=\begin{vmatrix} M^{ij} & c^i_j \\ r^j_i & \fbox{$m_{ij}^{}$}\,\end{vmatrix}=m_{ij}^{}-r^j_i(M^{ij})^{-1}c^i_j,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $m_{ij}$ называется точкой разложения и является ($i,j$)-м элементом матрицы $M$, $r^j_i$ – $i$-я строка матрицы $M$ без своего $j$-го элемента, $c^i_j$ – $j$-й столбец матрицы $M$ без своего $i$-го элемента и $M^{ij}$ – подматрица в $M$, полученная удалением $i$-й строки и $j$-го столбца. В коммутативном пределе это выражение сводится к Квазитерминанты – это не просто обобщение обычных коммутативных определителей, скорее они связаны с обратными матрицами. Например, матрица, обратная к $M=\bigl(\begin{smallmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{smallmatrix}\bigr)$, определяется формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M^{-1}=(|M|_{ji}^{-1})&= \begin{pmatrix} m_{11}^{-1}+m_{11}^{-1}m_{12}^{}Z^{-1}m_{21}^{}m_{11}^{-1} &-m_{11}^{-1}m_{12}^{}Z^{-1} \\ -Z^{-1}m_{21}^{}m_{11}^{-1} & Z^{-1} \end{pmatrix}= \nonumber\\ &=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} \,\fbox{$m_{11}$} & m_{12} \\ \,m_{21} & m_{22}\end{vmatrix}^{-1} & \begin{vmatrix} m_{11}& \fbox{$m_{12}$}\, \\ \,m_{21} & m_{22} \end{vmatrix}^{-1} \\ \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \\ \,\fbox{$m_{21}$} & m_{22} \end{vmatrix}^{-1} & \begin{vmatrix} m_{11} & m_{12} \\ \,m_{21} & \fbox{$m_{22}$}\, \end{vmatrix}^{-1} \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Детальное обсуждение и приложения теории квазидетерминантов см. в [10], [21].
2. НК-уравнение ХиротыСпектральная задача, связанная с НК-уравнением Хироты, имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal Q =\partial_t-4\gamma J\lambda^3-2(\gamma_2J+2\gamma U)\lambda^2-2(\gamma_2U+i\gamma V)\lambda-i\gamma_2V+\gamma T.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J=i\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} ,\qquad U=\begin{pmatrix} 0 & q \\ q^\unicode{8224} & 0 \end{pmatrix} ,\qquad V=\begin{pmatrix} qq^\unicode{8224} & \phantom{-}q_x \\ q_x^\unicode{8224} &-q^\unicode{8224} q \end{pmatrix}, \\ T=\begin{pmatrix} q_xq^\unicode{8224}-qq_x^\unicode{8224} & 2qq^\unicode{8224} q+q_{xx} \\-2q^\unicode{8224} qq^\unicode{8224}-q_{xx}^\unicode{8224} &- q^\unicode{8224} q_x+q_x^\unicode{8224} q \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $q=q(x,t)$ – НК-поле, верхний индекс $\unicode{8224}$ обозначает (эрмитово) сопряжение, параметры $\gamma$, $\gamma_2$ вещественные и $\lambda$ – спектральный параметр (вещественный или комплексный). Положив коммутатор операторов $\mathcal R$ и $\mathcal Q$ равным нулю и приравняв коэффициенты при $\lambda$, приходим к уравнению движения
$$
\begin{equation}
iq_t+\gamma_2(q_{xx}+2qq^\unicode{8224} q)+i\gamma\bigl(q_{xxx}+3(qq^\unicode{8224} q_x+q_xq^\unicode{8224} q)\bigr)=0.
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Оно известно как НК-обобщение уравнения Хироты [22]. Если $\gamma_2=0$, это уравнение дает НК-обобщение уравнения Хироты–НУШ
$$
\begin{equation}
iq_t+i\gamma\bigl(q_{xxx}+3(qq^\unicode{8224} q_x+q_xq^\unicode{8224} q)\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
то есть
$$
\begin{equation}
q_t+\gamma\bigl(q_{xxx}+3(qq^\unicode{8224} q_x+q_x q^\unicode{8224} q)\bigr)=0,
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
которое является НК-версией комплексного модифицированного уравнения КдФ (уравнения мКдФ) и сводится к обычному уравнению мКдФ при вещественных $q$. Аналогично $\gamma=0$ приводит к НК-обобщению НУШ Уравнение (2.4) совпадает с коммутативным случаем после снятия условия некоммутативности, т. е. когда $f_1f_2=f_2f_1$. Мы имеем
$$
\begin{equation}
iq_t+\gamma_2(q_{xx}+2|q|^2q)+i\gamma(q_{xxx}+6|q|^2q_x)=0,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где $q=q(x,t)$ – комплекснозначная скалярная функция, а $q^\ast$ – ее комплексно-сопряженная. Спектральная задача для уравнения (2.8) совпадает с (2.1), (2.2), но теперь $q$ и $q^\ast$ рассматриваются как коммутативные функции. Уравнение (2.8) также рассматривают как комбинацию НУШ и уравнения мКдФ. Эти уравнения, как известно, являются вполне интегрируемыми и обладают всеми основными свойствами интегрируемости. Они широко изучались в научной литературе с использованием различных методов, таких как преобразование Дарбу (ПД), метод Хироты, преобразование Беклунда и многие другие, для этих уравнений были найдены точные мультисолитонные решения (см. работы [19]–[29] и ссылки в них). 3. Преобразование ДарбуВ этом разделе мы определяем ПД для НК-уравнения Хироты (2.4). Введем матрицу Дарбу и операторы Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal R&=\partial_x-J\lambda-U, \\ \mathcal Q&=\partial_t-4\gamma J\lambda^3-2(\gamma_2J+2\gamma U)\lambda^2-2(\gamma_2U+i\gamma V)\lambda-i\gamma_2V+\gamma T. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Здесь $\lambda$ – спектральный параметр (вещественный или комплексный), $\Lambda$ – постоянная матрица размера $p\times p$, а матрицы $U$, $V$ и $T$ заданы в (2.3), причем все эти матрицы являются некоммутативными объектами. Пусть $\varphi=\varphi(x,t)$ – собственная функция с собственным значением общего вида для задач с операторами $\mathcal R$ и $\mathcal Q$: $\mathcal R (\varphi)=0$ и $\mathcal Q (\varphi)=0$. Тогда
$$
\begin{equation}
\widetilde\varphi:=D_\xi(\varphi)=\lambda\varphi-\xi\Lambda\xi^{-1}\phi= \begin{vmatrix} \xi & \varphi \\ \xi\Lambda & \fbox{$\lambda\varphi$}\,\end{vmatrix}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
является собственной функцией с собственным значением общего вида для задач с новыми операторами $\widetilde{\mathcal R}=D_\xi\mathcal R D_\xi^{-1}$ и $\widetilde{\mathcal Q}=D_\xi\mathcal Q D_\xi^{-1}$. Введем собственные функции $\xi_{[1]}=\xi_1$ и $\varphi_{[1]}=\varphi$ с собственным значением общего вида для операторов $\mathcal R_{[1]}=\mathcal R$ и $\mathcal Q_{[1]}=\mathcal Q$, где $\xi_1$ и $\varphi_1$ – матрицы размера $2\times 2$. Далее определим аналогичные собственные функции $\varphi_{[2]}=D_{\xi_{[1]}}(\varphi_{[1]})$ и $\xi_{[2]}=\varphi_{[2]}|_{\varphi\to\xi_2}$ для новых операторов $\mathcal R_{[2]}=D_{\xi_{[1]}}\mathcal R_{[1]}D_{\xi_{[1]}}^{-1}$ и $\mathcal Q_{[2]}=D_{\xi_{[1]}}\mathcal Q_{[1]}D_{\xi_{[1]}}^{-1}$. Введем набор $\xi_i$, $i=1,\ldots,n$, собственных функций с частными собственными значениями для операторов $\mathcal R$ и $\mathcal Q$ (здесь каждая $\xi_i$ – матрица размера $2\times2$). В дальнейшем, когда мы будем иметь в виду НК-случай, каждый элемент матрицы $\xi_i$ сам будет рассматриваться как матрица. Тогда $\varphi_{[n+1]}=D_{\xi_{[n]}}(\varphi_{[n]})$ – собственная функция с собственным значением общего вида для новых операторов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal R_{[n+1]}^{}&=D_{\xi_{[n]}}^{}\mathcal R_{[n]}^{}D_{\xi_{[n]}}^{-1}, \\ \mathcal Q_{[n+1]}^{}&=D_{\xi_{[n]}}^{}\mathcal Q_{[n]}^{}D_{\xi_{[n]}}^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $\xi_{[n]}$ определяет ПД, переводящее $\mathcal R_{[n]}$ в $\mathcal R_{[n+1]}$ и $\mathcal Q_{[n]}$ в $\mathcal Q_{[n+1]}$. Тем самым ПД $n$-го порядка задается как
$$
\begin{equation}
\varphi_{[n+1]}^{}=D_{\xi_{[n]}}^{}(\varphi_{[n]}^{})=\lambda\varphi_{[n]}^{}-\xi_{[n]}^{}\Lambda_n^{}\xi_{[n]}^{-1}\varphi_{[n]}^{},
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где $\xi_{[j]}=\varphi_{[j]}|_{\varphi\to\xi_j}$. При $n=1$ уравнение (3.5) принимает вид
$$
\begin{equation}
\varphi_{[2]}^{}=\lambda\varphi-\xi_1^{}\Lambda_1^{}\xi_1^{-1}\varphi= \begin{vmatrix} \xi_1 & \varphi \\ \xi_1\Lambda_1 & \fbox{$\lambda\varphi$}\, \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
При $n=2$ имеем
$$
\begin{equation}
\varphi_{[3]}^{}=\lambda\varphi_{[2]}^{}-\xi_{[2]}^{}\Lambda_2\xi_{[2]}^{-1}\varphi_{[2]}^{}= \begin{vmatrix} \xi_1 & \xi_2 & \varphi \\ \xi_1\Lambda_1 & \xi_2\Lambda_2 & \lambda\varphi \\ \xi_1^{}\Lambda_1^2 & \xi_2^{}\Lambda_2^2 & \fbox{$\lambda^2\varphi$}\, \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Зададим $\Xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ и положим $\varphi_{[1]}=\varphi$, тогда получаем $n$-ю итерацию ПД в форме квазидерминанта:
$$
\begin{equation}
\varphi_{[n+1]}=\begin{vmatrix} \Xi & \varphi \\ \Xi^{(2)} & \varphi^{(2)} \\ \vdots & \vdots \\ \Xi^{(n-1)} & \varphi^{(n-1)} \\ \Xi^{(n)} & \fbox{$\varphi^{(n)}$} \end{vmatrix},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
где $\varphi^{(n)}=\lambda^{n}\varphi$, $\Xi^{(n)}=\Xi {\Lambda}^{n}$. Заметим, что каждая $\Lambda^i$, $i=1,\ldots,n$, является постоянной матрицей. Таким образом, мы записали квазидетерминантную формулу для $\varphi_{[n+1]}$ через известные собственные функции $\xi_i$, $i=1,\ldots,n$, и собственную функцию $\varphi$ “затравочной” пары Лакса $\mathcal R=\mathcal R_1$ и $\mathcal Q=\mathcal Q_1$. Решение (3.8) называется квазивронскианным (см., например, работу [16]). 3.1. Квазивронскианское решение НК-уравнения ХиротыДалее мы вычисляем, как действует на оператор Лакса $\mathcal R=\mathcal R_1$ ПД $D_\xi=\lambda I-\xi\Lambda\xi^{-1}$, где $\xi$ – собственная функция задачи с оператором Лакса $\mathcal R$ ($\mathcal R(\xi)=0$ по определению), а $\Lambda$ – матрица собственных значений. Аналогичные результаты справедливы и для оператора $\mathcal Q=\mathcal Q_1$. Оператор $\mathcal R$ преобразуется в новый оператор $\widetilde{\mathcal R}=\mathcal R_{[2]}$ как
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal R}=D_\xi^{}\mathcal RD_\xi^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Используя формулы (2.1) и (3.1) в (3.9) и сравнивая коэффициенты при $\lambda^j$, получаем два уравнения и
$$
\begin{equation}
-\partial_x (\xi\Lambda\xi^{-1})+[U,\xi\Lambda\xi^{-1}]+[J,\xi\Lambda\xi^{-1}]\xi\Lambda\xi^{-1}=0.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Чтобы проверить уравнение (3.11), запишем (2.1) через частные собственные функции $\xi$ следующим образом: Используя полученное уравнение, нетрудно проверить, что (3.11) выполняется. Для простоты формул введем матрицу $F$ с помощью равенства Оно удовлетворяется при $F=\frac{1}{2i}\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & q^{}_{} \\ q^\unicode{8224} & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$. Из равенств (3.10) и (3.13) имеем где $\xi^{(1)}=\xi\Lambda$. После $n$-кратного применения ПД $D_\xi$ получаем
$$
\begin{equation}
F_{[n+1]}^{}=F_{[n]}^{}-\xi^{(1)}_{[n]}\xi^{-1}_{[n]}=F-\sum_{k=1}^{n}\xi^{(1)}_{[k]}\xi^{-1}_{[k]},
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
где $F_{[1]}=F$, $\xi_{[1]}=\xi_1=\xi$ и $\Lambda_1=\Lambda$. По индукции запишем матрицу $F_{[n+1]}$ через квазидетерминанты как
$$
\begin{equation}
F_{[n+1]}=F+ \begin{vmatrix} \Xi & 0_2 \\ \Xi^{(2)} & 0_2 \\ \vdots & \vdots \\ \Xi^{(n-2)} & 0_2 \\ \Xi^{(n-1)} & I_2 \\ \Xi^{(n)} & \fbox{$0_2$}\, \end{vmatrix},
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $I_2$ и $0_2$ – единичная и нулевая матрицы размера $2\times 2$. Заметим, что в решении (3.16) каждая собственная функция $\xi_i$, $i=1,\ldots,n$, с частным собственным значением для операторов $\mathcal R$, $\mathcal Q$ – это матрица размера $2\times 2$, а не скаляр. Наше НК-уравнение Хироты (2.4) выражается через $q$ и $q^\unicode{8224}$, поэтому более уместно выразить через них квазивронскианское решение (3.16). Для этого представим каждую функцию $\xi_i$, $i=1,\ldots,n$, в виде матрицы размера $2\times 2$:
$$
\begin{equation}
\xi_i=\begin{pmatrix} \varphi_{2i-1} & \varphi_{2i} \\ \chi_{2i-1} & \chi_{2i} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Для $\varphi=\varphi(x,t)$ и $\chi=\chi(x,t)$ матрица $F_{[n+1]}$ может быть записана как
$$
\begin{equation}
F_{[n+1]}=F+\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} \widehat\Xi & f_{2n-1} \\ \varphi^{(n)} & \fbox{$0$}\,\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} \widehat\Xi & f_{2n} \\ \varphi^{(n)} & \fbox{$0$}\,\end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} \widehat\Xi & f_{2n-1} \\ \chi^{(n)} & \fbox{$0$}\,\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} \widehat\Xi & f_{2n} \\ \chi^{(n)} & \fbox{$0$}\,\end{vmatrix} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
где $\widehat\Xi=(\xi_j^{(i-1)})_{i,j=1,\ldots,n}$ – матрица размера $2n\times 2n$, зависящая от $\xi_1,\ldots,\xi_n$, а $f_{2n-1}$ и $f_{2n}$ – вектор-столбцы размера $2n\times 1$, все элементы которых равны нулю, за исключением единицы, стоящей на $(2n-1)$-м и $(2n)$-м месте соответственно, в то время как $\varphi^{(n)}=(\varphi_1^{(n)},\ldots,\varphi_{2n}^{(n)})$ и $\chi^{(n)}=(\chi_1^{(n)},\ldots,\chi_{2n}^{(n)})$ обозначают вектор-строки размера $1\times 2n$. Используя матрицу $F=\frac{1}{2i}\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & q \\ q^\unicode{8224} & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$, мы немедленно получаем, что $q$ и $q^\unicode{8224}$ можно записать как квазивронскианы:
$$
\begin{equation}
q_{[n+1]}=q+2i\begin{vmatrix} \widehat\Xi & f_{2n} \\ \varphi^{(n)} & \fbox{$0$}\,\end{vmatrix},\qquad q_{[n+1]}^\unicode{8224}=q^\unicode{8224}+2i\begin{vmatrix} \widehat\Xi & f_{2n-1} \\ \chi^{(n)} & \fbox{$0$} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
В следующем разделе, следуя подходу работы [30], мы построим бинарное ПД для НК-уравнения Хироты. 4. Бинарное ПДПусть $\xi_1,\ldots,\xi_n$ – собственные функции операторов Лакса $\mathcal R$ и $\mathcal Q$, а $\zeta_1,\ldots,\zeta_n$ – собственные функции сопряженных операторов Лакса $\mathcal R^\unicode{8224}$ и $\mathcal Q^\unicode{8224}$. Предположим, что $\varphi_{[1]}=\varphi$ есть собственная функция с собственным значением общего вида для операторов Лакса $\mathcal R$ и $\mathcal Q$, а $\psi_{[1]}=\psi$ есть аналогичная собственная функция для сопряженных операторов Лакса $\mathcal R^\unicode{8224}$ и $\mathcal Q^\unicode{8224}$. Бинарное ПД и его сопряженное задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}^{}&=I-\xi_{[1]}^{}\Delta(\xi_{[1]}^{},\zeta_{[1]}^{})^{-1}\Gamma^{-1\,\unicode{8224}}\zeta_{[1]}^\unicode{8224}, \\ D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}^\unicode{8224}&=I-\zeta_{[1]}^{}\Delta(\xi_{[1]}^{},\zeta_{[1]}^{})^{-1\,\unicode{8224}}\Lambda^{-1\,\unicode{8224}}\xi_{[1]}^\unicode{8224}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где $\xi_{[1]}=\xi_1$ есть собственная функция, задающая ПД из операторов $\mathcal R$, $\mathcal Q$ в $\widetilde{\mathcal R}$, $\widetilde{\mathcal Q}$, а $\zeta_{[1]}:=\zeta_1$ есть собственная функция, задающая ПД из операторов $\mathcal R^\unicode{8224}$, $\mathcal Q^\unicode{8224}$ в $\widetilde{\mathcal R}^\unicode{8224}$, $\widetilde{\mathcal Q}^\unicode{8224}$. Потенциал $\Delta$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Gamma^\unicode{8224}\Delta(\xi_{[1]}^{},\zeta_{[1]}^{})+\Delta(\xi_{[1]}^{},\zeta_{[1]}^{})\Lambda=\zeta_{[1]}^\unicode{8224}\xi_{[1]}^{}, \\ (\lambda I+\Gamma^\unicode{8224})\Delta(\varphi_{[1]}^{},\zeta_{[1]}^{})=\zeta_{[1]}^\unicode{8224}\varphi_{[1]}^{},\qquad \Delta(\xi_{[1]}^{},\psi_{[1]}^{})(\mu^\unicode{8224} I+\Lambda)=\psi_{[1]}^\unicode{8224}\xi_{[1]}^{}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Полученные после преобразования операторы $\widetilde{\mathcal R}=\mathcal R_{[2]}$ и $\widetilde{\mathcal Q}=\mathcal Q_{[2]}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal R_{[2]}^{}&=D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}^{}\mathcal R_{[1]}^{}D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}^{-1}, \\ \mathcal Q_{[2]}^{}&=D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}^{}\mathcal Q_{[1]}^{}D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
и для них собственные функции и сопряженные собственные функции с собственными значениями общего вида записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_{[2]}&:=D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}} (\varphi_{[1]})= \varphi_{[1]}-\xi_{[1]}\Delta(\xi_{[1]},\zeta_{[1]})^{-1}(I+\lambda I\Gamma^{-1\,\unicode{8224}})\Delta(\varphi_{[1]},\zeta_{[1]}), \\ \psi_{[2]}^{}&:=D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}^{-1\,\unicode{8224}}(\psi_{[1]}^{})= \psi_{[1]}^{}-\zeta_{[1]}^{}\Delta(\xi_{[1]}^{},\zeta_{[1]})^{-1\,\unicode{8224}}(I+\mu I\Lambda^{-1\,\unicode{8224}})\Delta(\xi_{[1]}^{},\psi_{[1]})^\unicode{8224}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Чтобы выполнить $n$-ю итерацию, выберем собственную функцию $\xi_{[n]}$, определяющую ПД из $\mathcal R_{[n]}$, $\mathcal Q_{[n]}$ в $\mathcal R_{[n+1]}$, $\mathcal Q_{[n+1]}$, и собственную функцию $\zeta_{[n]}$, определяющую сопряженное ПД из $\mathcal R_{[n]}^\unicode{8224}$, $\mathcal Q_{[n]}^\unicode{8224}$ в $\mathcal R_{[n+1]}^\unicode{8224}$, $\mathcal Q_{[n+1]}^\unicode{8224}$. Операторы Лакса $\mathcal R_{[n]}$ и $\mathcal Q_{[n]}$ ковариантны относительно бинарного ПД
$$
\begin{equation}
D_{\xi_{[n]},\zeta_{[n]}}^{}=I-\xi_{[n]}\Delta(\xi_{[n]}^{},\zeta_{[n]})^{-1}\Gamma^{-1\,\unicode{8224}}\zeta_{[n]}^\unicode{8224},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
а сопряженные операторы $\mathcal R_{[n]}^\unicode{8224}$ и $\mathcal Q^\unicode{8224}_{[n]}$ ковариантны относительно сопряженного бинарного ПД
$$
\begin{equation}
D_{\xi_{[n]},\zeta_{[n]}}^{-1\,\unicode{8224}}=I-\zeta_{[n]}\Delta(\xi_{[n]},\zeta_{[n]})^{-1}\Lambda^{-1\,\unicode{8224}}\xi_{[n]}^\unicode{8224}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Преобразованные операторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal R_{[n+1]}^{}&=D_{\xi_{[n]},\zeta_{[n]}}^{}\mathcal R_{[n]}^{}D_{\xi_{[n]},\zeta_{[n]}}^{-1}, \\ \mathcal Q_{[n+1]}^{}&=D_{\xi_{[n]},\zeta_{[n]}}^{}\mathcal Q_{[n]}^{}D_{\xi_{[n]},\zeta_{[n]}}^{-1} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
имеют собственные функции и сопряженные собственные функции с собственными значениями общего вида, задающиеся как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_{[n+1]}&=\varphi_{[n]}-\xi_{[n]}\Delta(\xi_{[n]},\zeta_{[n]})^{-1}(I+\lambda I\Gamma^{-1\,\unicode{8224}})\Delta(\varphi_{[n]},\zeta_{[n]}), \\ \psi_{[n+1]}&=\psi_{[n]}-\zeta_{[n]}\Delta(\xi_{[n]},\zeta_{[n]})^{-1} (I+\mu I\Lambda^{-1\,\unicode{8224}})\Delta(\xi_{[n]},\psi_{[n]})^\unicode{8224}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Введя $\Xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ и $Z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$, мы можем выразить эти результаты через квазиграмианы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_{[n+1]}&=\begin{vmatrix} \Delta(\Xi,Z) & (I+\lambda I\widehat\Gamma^{-1\,\unicode{8224}})\Delta(\varphi,Z) \\ \Xi & \fbox{$\varphi$} \end{vmatrix}, \\ \psi_{[n+1]}&=\begin{vmatrix} \Delta(\Xi,Z)^\unicode{8224} & (I+\mu I\widehat\Lambda^{-1\,\unicode{8224}})\Delta(\Xi,\psi)^\unicode{8224} \\ Z & \fbox{$\psi$} \end{vmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где $\widehat\Gamma=\operatorname{diag}(\Gamma,\ldots,\Gamma)$, $\widehat\Lambda=\operatorname{diag}(\Lambda,\ldots,\Lambda)$ и матрицы $\Gamma$ и $\Lambda$ имеют размер $2\times 2$. 4.1. Квазиграмианные решения НК-уравнения ХиротыЗдесь мы определяем, как действует на оператор $\mathcal R$ бинарное ПД $D_{\xi,\zeta}=I-\xi\Delta(\xi,\zeta)^{-1}\Gamma^{-1\,\unicode{8224}}\zeta^\unicode{8224}$, где $\xi_1,\ldots,\xi_n$ – собственные функции оператора $\mathcal R$, а $\zeta_1,\ldots,\zeta_n$ – собственные функции сопряженного оператора Лакса $\mathcal R^\unicode{8224}$. Аналогичные результаты справедливы для операторов $\mathcal Q$ и $\mathcal Q^\unicode{8224}$. Бинарное ПД $D_{\xi_{[1]},\zeta_{[1]}}=D_{\xi,\zeta}$ является комбинацией двух обычных ПД $D_{\xi_{[1]} }=D_\xi$ и $D_{\hat{\xi}_{[1]}}=D_{\hat{\xi}}$. Таким образом, при бинарном ПД оператор Лакса $\mathcal R$ отображается в новый оператор Лакса $\widehat{\mathcal R}$,
$$
\begin{equation}
\widehat{\mathcal R}=D_{\hat\xi}^{}\mathcal RD_{\hat\xi}^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
В результате получаем
$$
\begin{equation}
\widehat U=U+[J,\xi\Delta(\xi,\zeta)^{-1}\zeta^\unicode{8224}].
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Поскольку $U=[F,J]$, имеем
$$
\begin{equation}
\widehat F=F-\xi\Delta(\xi,\zeta)^{-1}\zeta^\unicode{8224}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Повторив $n$ раз бинарное ПД $G_{\xi,\zeta}$, получаем
$$
\begin{equation}
F_{[n+1]}^{}=F_{[n]}^{}-\xi_{[n]}^{}\Delta(\xi_{[n]}^{},\zeta_{[n]})^{-1}\zeta_{[n]}^\unicode{8224}= F-\sum_{i=1}^{n}\xi_{[i]}^{}\Delta(\xi_{[i]}^{},\zeta_{[i]})^{-1}\zeta_{[i]}^\unicode{8224},
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
где $F_{[1]}=F$, $F_{[2]}=\widehat F$, $\xi_{[1]}=\xi_1$ и $\zeta_{[1]}=\zeta_1$. Введем $\Xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$, $Z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$ и запишем результат (4.13) в форме квазиграмиана:
$$
\begin{equation}
F_{[n+1]}=F+\begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & Z^\unicode{8224} \\ \Xi & \fbox{$0_2$}\,\end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Заметим, что каждая $\xi_i$, $\zeta_i$, $i=1,\ldots,n$, является матрицей размера $2\times 2$. Рассматриваемое НК-уравнение Хироты записано в терминах некоммутативных объектов $q$, $q^\unicode{8224}$, и мы выражаем квазиграмианское решение (4.14) через эти объекты. Зададим матрицы $\xi_i$, как в квазивронскианском случае (3.17). Кроме того, введем $Z=\Xi H^\unicode{8224}$, где $H$ – постоянная матрица размера $2n\times 2n$. Следует отметить, что матрицы $\Xi$ и $Z$ удовлетворяют одному и тому же дисперсионному соотношению и остаются неизменными при умножении на постоянную матрицу. Таким образом, квазиграмианное решение (4.14) также можно записать как
$$
\begin{equation}
F_{[n+1]}=F+ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\varphi^\unicode{8224} \\ \varphi & \fbox{$0$} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\chi^\unicode{8224} \\ \varphi & \fbox{$0$} \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\varphi^\unicode{8224} \\ \chi & \fbox{$0$} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\chi^\unicode{8224} \\ \chi & \fbox{$0$} \end{vmatrix} \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $\varphi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_n)$ и $\chi=(\chi_1,\ldots,\chi_n)$ – вектор-строки. Отсюда получаем, что квазиграмианнное выражение для решений $q$ и $q^\unicode{8224}$ НК-уравнения Хироты (2.4) имеет вид
$$
\begin{equation}
q_{[n+1]}^{}=q+2i\begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\chi^\unicode{8224} \\ \varphi & \fbox{$0$} \end{vmatrix},\qquad q_{[n+1]}^\unicode{8224}=q^\unicode{8224}+2i\begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\varphi^\unicode{8224} \\ \chi & \fbox{$0$} \end{vmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Это решение можно свести к отношению обычных грамианов, если снять условие некоммутативности: в коммутативном пределе имеем
$$
\begin{equation}
q_{[n+1]}=q-2i\frac{\begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\chi^\unicode{8224} \\ \phi & 0 \end{vmatrix}}{|\Delta(\Xi, Z)|},\qquad \bar q_{[n+1]}=\bar q-2i\frac{\begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\varphi^\unicode{8224} \\ \chi & 0 \end{vmatrix}}{|\Delta(\Xi,Z)|}.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Эти формулы задают грамианное решение уравнения Хироты (2.8).
5. Явные решенияПри $q=0$ спектральная задача (2.1), (2.2) имеет решение
$$
\begin{equation}
\varphi_j=e^{i\beta_j},\qquad \chi_j=e^{-i\beta_j},\qquad \beta_j=-\lambda_jx+2(2\gamma\lambda_j^3+\gamma_2\lambda^2_j)t.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Чтобы работать только с $\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ и $\chi_1,\ldots,\chi_n$, перенумеруем $\varphi_i$ как $\varphi_{(i+1)/2}$ для нечетных $i$ (т. е. для $i=1,3,\ldots,2n-1$) и положим $\varphi_i=0$ для четных $i$ (т. е. для $i=2,4,\ldots,2n$); аналогично перенумеруем $\chi_i$ как $\chi_{i/2}$ для четных $i$ и положим $\chi_i=0$ для нечетных $i$. Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\varphi=(\varphi_1,0,\varphi_2,0, \ldots,\varphi_n,0),\qquad\chi=(0,\chi_1,0, \chi_2, \ldots,0,\chi_n)
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
и $\xi_i=\operatorname{diag}(\varphi_i,\chi_i)$, $i=1,\ldots,n$, где $\varphi_i$, $\chi_i$ заданы в (5.1). Сначала обсудим коммутативный случай. Для этого запишем грамианное решение (4.17) как
$$
\begin{equation}
q_{[n+1]}=-2i\frac{\begin{vmatrix} \Delta(\Xi, Z) & H\chi^\unicode{8224} \\ \varphi & 0 \end{vmatrix}}{|\Delta(\Xi, Z)|}= -2i \frac{\mathcal G}{\mathcal F},
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $\mathcal F=\det W$ и
$$
\begin{equation}
W=\Delta(\Xi,Z)=\int Z^\unicode{8224} J\Xi\,dx+I_{2n}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Здесь $I_{2n}$ – единичная матрица размера $2n\times 2n$, $\Xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$, где каждая $\xi_i$ – собственная функция операторов Лакса $\mathcal R$, $\mathcal Q$ (матрица размера $2\times 2$). Аналогично $Z=(\zeta_1,\ldots,\zeta_n)$, где каждая $\zeta_i$ – собственная функция сопряженных операторов Лакса $\mathcal R^\unicode{8224}$, $\mathcal Q^\unicode{8224}$. Следовательно, $\Delta(\Xi,Z)$ – матрица размера $2n\times 2n$ со скалярными (размера $1\times 1$) элементами. Позже, когда мы будем обсуждать НК-случай, каждый элемент собственных функций $\xi_i$, $\zeta_i$ будет рассматриваться как матрица. Так как $Z=\Xi H^\unicode{8224}$, где $H$ – постоянная матрица размера $2n\times 2n$, мы имеем
$$
\begin{equation}
W=H\int\Xi^\unicode{8224} J\Xi\,dx+I_{2n}=H\Theta+I_{2n},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Theta=\begin{pmatrix} -i\displaystyle\int^{x}\varphi_1^\ast\varphi_1^{}\,dx & 0_2^{} & \ldots & -i\displaystyle\int^{x}\varphi_1^\ast\varphi_n^{}\,dx & 0_2^{} \\ 0_2^{} & i\displaystyle\int^{x}\chi_1^\ast\chi_1^{}\,dx & \ldots & 0_2^{} & i\displaystyle\int\chi_1^\ast\chi_n^{}\,dx \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -i\displaystyle\int^{x}\varphi_n^\ast\varphi_1^{}\,dx & 0_2 & \ldots &-i\displaystyle\int^{x}\varphi_n^\ast\varphi_n^{}\,dx & 0_2^{} \\ 0_2^{} & i\displaystyle\int^{x}\chi_n^\ast\chi_1^{}\,dx & \ldots & 0_2^{} & i\displaystyle\int^{x}\chi_n^\ast\chi_n^{}\,dx \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Теперь найдем односолитонное ($n=1$) решение коммутативного уравнения Хироты. Положив $H=\bigl(\begin{smallmatrix} h_1 & h_2 \\ h_2 & h_1 \end{smallmatrix}\bigr)$, получаем решение
$$
\begin{equation}
q_{[2]}=\frac{2ih_2e^{i\omega}}{1+\frac{h_1^{}}{\lambda_1^{}-\lambda^\ast_1}(e^{iv}+e^{-iv})+\frac{h_1^2-h_2^2}{(\lambda_1^{}-\lambda^\ast_1)^2}},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $h_1$, $h_2$ – вещественные постоянные и $v=(\lambda^\ast-\lambda) x+(4\gamma(\lambda^{\ast3}-\lambda^3)+2\gamma_2(\lambda^{\ast 2}-\lambda^2))t$. В односолитонном решении (5.7) мы берем ненулевые $h_1$, $h_2$, поскольку случай, когда $h_1$ или $h_2$ равно нулю, дает тривиальное решение. Таким образом, в коммутативном случае распространение солитона $q_{[2]}$ происходит со скоростью
$$
\begin{equation*}
4(\gamma(\lambda_{\mathrm I}^2-3\lambda_{\mathrm R}^2)-\gamma_2\lambda_{R}),\qquad \lambda_{\mathrm R}:=\operatorname{Re}\lambda,\quad \lambda _{\mathrm I}:=\operatorname{Im}\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Это решение изображено на рис. 1.  Рис. 1.Эволюция решения (5.7) с параметрами $h_1=2$, $h_2=-1$, $\lambda=0.5+0.9i$ при различных $\gamma$, $\gamma_2$. Из рис. 1 видно, что амплитуда солитона в точке $(0,0)$ не зависит от $\gamma$, $\gamma_2$, и когда оба параметра отличны от нуля, и когда один из параметров равен нулю. Таким образом, $\gamma$ и $\gamma_2$ не влияют на амплитуду солитона. Но эти параметры влияют на скорость солитона. Солитон на рис. 1в движется быстрее, чем два других солитона, а солитон на рис. 1б распространяется в противоположном направлении по сравнению с солитонами на рис. 1а и 1в. Некоммутативный случайТеперь обсудим НК-случай. В работе [31] было показано, что амплитуды матричных солитонов, которые, в отличие от скалярного случая, являются векторами, а не числами, не сохраняются при взаимодействии, а преобразуются по определенным правилам. Для $n=1$ выберем солитоны $\varphi$, $\chi$ пары Лакса как матрицы размера $2\times 2$,
$$
\begin{equation}
\varphi_j^{}=e^{i\beta_j}I_2^{},\qquad \chi_j^{}=e^{-i\beta_j}I_2^{},\qquad \beta_j^{}=-\lambda_j^{}x+2(2\gamma\lambda_j^3+\gamma_2^{}\lambda^2_j)t.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Таким образом, каждый элемент матриц $\varphi$ и $\chi$ и постоянной матрицы $H$ имеет размер $2\times 2$, эти матрицы задаются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varphi=\begin{pmatrix} \varphi_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \varphi_1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad \chi=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \chi_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \chi_1 \end{pmatrix}, \\ H=\begin{pmatrix} h_{11} & h_{12} & h_{13} & h_{14} \\ h_{12} & h_{11} & h_{14} & h_{13} \\ h_{13} & h_{14} & h_{33} & h_{34} \\ h_{14} & h_{13} & h_{34} & h_{33} \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
В результате для $n=1$ квазиграмианное выражение для решения $q_2$ (в НК-случае теперь мы обозначаем это решение как $q^{1}$) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q^{1}&= 2i\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} & & \Delta(\Xi, Z) & & \chi^{11} \\ \varphi_1 & 0 & 0 & 0 & \!\fbox{$0$}\; \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} & & \Delta(\Xi, Z) & & \chi^{12} \\ \varphi_1 & 0 & 0 & 0 & \!\fbox{$0$}\; \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} & & \Delta(\Xi, Z) & & \chi^{11}\\ 0 & \varphi_1 & 0 & 0 & \!\fbox{$0$}\; \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} & & \Delta(\Xi, Z) & & \chi^{12} \\ 0 & \varphi_1 & 0 & 0 & \!\fbox{$0$}\; \end{vmatrix} \end{pmatrix}= \nonumber\\ &=2i\begin{pmatrix} q_{11}^{1} & q_{12}^{1} \\ q_{21}^{1} & q_{22}^{1} \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где $\chi^{11}=(h_{13}^{}\chi_1^\ast h_{14}^{}\chi_1^\ast h_{33}^{}\chi_1^\ast h_{34}^{}\chi_1^\ast)^\unicode{8224}$, $\chi^{12}=(h_{14}^{}\chi_1^\ast h_{13}^{}\chi_1^\ast h_{34}^{}\chi_1^\ast h_{33}^{}\chi_1^\ast)^\unicode{8224}$ и $\Delta$ – потенциал (5.4), каждый элемент которого есть матрица размера $2\times 2$. Различные графики решений (5.10) изображены на рис. 2–5.  Рис. 2.Эволюция решения (5.10) с параметрами $h_{11}=0.23$, $h_{12}=-h_{13}=1$, $h_{14}=-2$, $h_{33}=0.2$, $h_{34}=1$ и $\gamma=1$, $\gamma_2=0.5$, $\lambda=0.5+0.9i$. В НК-случае солитонное решение (5.10) определяется не только спектральным параметром $\lambda$, но и элементами матрицы $H$: если выбирать элементы $h_{13}^{}$, $h_{14}^{}$ нулевыми, то мы получаем, что все решения $q_{11}^{1}$, $q_{12}^{1}$, $q_{21}^{ 1}$ и $q_{22}^{1}$ тривиальны. Аналогично выбор $h_{13}^{}=h_{14}^{}=-2$ дает один и тот же график для четырех решений $q_{11}^{1}$, $q_{12}^{ 1}$, $q_{21}^{1}$ и $q_{22}^{1}$, а не четыре, как хотелось бы. Заметим, что если $h_{13}^{}=h_{14}=-2$, то все солитоны движутся с одинаковой амплитудой ($0.9261$ единиц). Если $h_{13}^{}\neq h_{14}^{}$, то для элементов матрицы $q^{1}$ мы получаем четыре различных графика с двойными пиками (см. рис. 2). Если $h_{14}^{}=0$, а все остальные элементы матрицы $H$ те же, что на рис. 2, то мы получаем графики с одним пиком. Выбор $h_{14}=0$ дает одинаковые графики для солитонов $q_{12}^{1}$ и $q_{21}^{1}$ с амплитудой $1.1387$, а движение солитонов $q_{11}^{1}$ и $q_{22}^{1}$ с соответствующими амплитудами $0.7607$ и $1.0322$ неидентично (см. рис. 3). Если $h_{12}^{}=-h_{14}^{}=-2$ и $h_{11}^{}=h_{13}^{}=h_{33}^{}= h_{34}^{}=0$, мы получаем идентичные графики для $q_{11}^{1}$, $q_{22}^{1}$ с одним пиком, а для $q_{12}^{1}$ и $q_{21}^{1}$ имеем два различных кинка (см. рис. 4). При $\gamma_2^{}=0$ мы получаем решения НК-уравнения Хироты–НУШ (2.5). Движение солитонов, соответствующих каждому элементу матрицы $q^{1}$ для НК-уравнения Хироты–НУШ показано на рис. 5. Подведем итог: важность изучения НК-обобщений интегрируемых систем состоит в том, что в этом случае мы имеем богатый выбор солитонных конфигураций, которые контролируются не только спектральным параметром $\lambda$, но и элементами матрицы $H$. Еще один важный факт заключается в том, что солитонные решения этих систем претерпевают фазовый сдвиг и, в отличие от скалярного случая, могут менять амплитуду при взаимодействии с другими солитонами. 6. Заключительные замечанияВ представленной статье мы изучили некоммутативное обобщение уравнения Хироты, построили преобразования Дарбу и бинарные преобразования Дарбу и с их помощью получили большое семейство решений в форме квазивронскианов и квазиграмианов. Эти квазивронскианы и квазиграмианы выражаются через решения некоммутативного уравнения Хироты и соответствующей пары Лакса. Для некоммутативной задачи мы получили решения с одним и двумя пиками. Представленный в этой работе подход является эффективным инструментом, позволяющим строить явные выражения для мультисолитонных решений других родственных некоммутативных интегрируемых систем. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ria23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|