| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Обобщенные плетистические вершинные операторы и плетистические универсальные характеры Чуань-Чжун Ли, Юн Чжан, Хуань-Хэ Дун College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020083 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДвумерные фермионы и бозон-фермионное соответствие хорошо известны в математической физике. Вместе с тем для многих исследователей представляют интерес тесно связанные с ними диаграммы Юнга и симметрические функции, которые имеют множество приложений в математике, включая комбинаторику и теорию представлений симметрической и общей линейной группы. Иерархия Кадомцева–Петвиашвили (КП) [1] является одной из наиболее важных интегрируемых иерархий, она возникает во многих областях математики и физики, таких как перечислительная алгебраическая геометрия, теория топологических полей и теория струн. С тау-функциями иерархии КП тесно связаны функции Шура, которые определяют характеры конечномерных неприводимых представлений общих линейных групп $GL(n)$ [2], [3]. Известно [4]–[6], что функции Шура могут быть построены из векторных операторов, которые соответствуют свободным фермионам, действующим в бозонном фоковском пространстве. Также хорошо известно, что функции Шура являются решениями дифференциальных уравнений иерархии КП, а линейные комбинации функций Шура с коэффициентами, удовлетворяющими некоторым соотношениям Плюккера, являются тау-функциями иерархии КП. В работе [7] было найдено разложение Сато по функциям Шура для системы КП, а в работе [8] можно найти разложение Такасаки по функциям Шура для цепочки Тоды. Также вызывает интерес фермионное представление этого ряда [9]. Фермионное представление тау-функций малой и большой иерархий КП типа B изучалось в [10], [11]. Бозонные тау-функции иерархии КП типа C изучались в статье [12]. Цепочка Тоды и матричные интегралы, записанные в виде рядов по ортогональным и симплектическим характерам, рассматривались в работе [13]. Симметрические функции плетистического типа представляют собой модификацию симметрических функций Шура. Линейный базис, составленный из симметрических функций плетистического типа, порождает структуру кольца универсальных характеров подгруппы группы $GL(n)$ [14]–[16]. Подобно функциям Шура, симметрические функции плетистического типа также могут быть представлены через вершинные операторы, построенные в работе [17]. Впоследствии в работе [18] были получены свободные фермионы и показано, что интегрируемая система имеет в качестве решений симметрические функции плетистического типа. Универсальный характер – это обобщение многочлена Шура [19]. Как известно, многочлен Шура является характером неприводимого полиномиального представления группы $GL(n)$, соответствующего одному разбиению. Универсальный характер $S_{[\lambda,\mu]}(x, y)$ – это многочлен от $(x,y)=(x_1,x_2,\ldots,y_1,y_2,\ldots)$, который описывает характер неприводимого рационального представления группы $GL(n)$, соответствующего паре разбиений $(\lambda,\mu)$. В статье [20] Цуда определил вершинные операторы, которые играют роль повышающих операторов для универсального характера, и с их помощью как обобщение иерархии КП получил ряд нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных бесконечного порядка, названных иерархией универсальных характеров. Определенная редукция этой иерархии, получающаяся при наложении требований однородности и периодичности, приводит к уравнениям Пенлеве, в том числе к их обобщению более высокого порядка [21]. Теория универсальных характеров привлекает внимание многих исследователей [22]–[25]. В статье [26] мы рассмотрели два разных объекта: алгебру универсальных характеров $S_{[\lambda,\mu]}(\mathbf x,\mathbf y)$ (обобщений функций Шура) и фазовую модель сильно коррелированных бозонов. Мы показали, что обобщенная фазовая модель с двумя узлами может быть реализована в алгебре универсальных характеров, а элементы матрицы монодромии этой фазовой модели могут быть выражены через вершинные операторы $\Gamma_i^\pm(z)$ ($i=1,2$), которые порождают универсальные характеры. Кроме того, мы обнаружили, что эти вершинные операторы также можно использовать для получения статистической суммы A-модели топологической струны на $\mathbb{C}^3$. В работе [27] были построены конечномерные тау-функции иерархии универсальных характеров. В статье [18] мы ввели фермионы $\pi$-типа и определили бозон-фермионное соответствие $\pi$-типа, которое является обобщением классического бозон-фермионного соответствия, и из которого можно получить симметрические функции $S_\lambda^\pi$ $\pi$-типа. В качестве обобщения иерархии КП мы также построили иерархию КП $\pi$-типа и получили ее тау-функции. Естественная проблема состоит в том, что наверняка должна существовать интегрируемая система, для которой функции универсальных характеров плетистического типа являются решениями. Цель – найти эту интегрируемую систему, названную плетистической иерархией универсальных характеров. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем основные факты теории симметрических функций плетистического типа и связанных с ними вершинных операторов. В разделе 3 мы рассматриваем функции Шура и иерархию универсальных характеров. В разделе 4 мы определяем фермионы плетистического типа и строим бозон-фермионное соответствие, из которого можно найти симметрические функции плетистического типа. В разделе 5 мы строим плетистическую иерархию универсальных характеров и анализируем ее тау-функции. 2. Симметрические функции плетистического типа и вершинные операторыНачнем с некоторых определений [17]. Пусть $F(\mathbf x)$ – кольцо симметрических функций от счетного алфавита переменных $\mathbf x=\{x_1,x_2,\ldots\}$. Симметрическая функция $p_n(\mathbf x)$ имеет вид Вершинные операторы определяются с помощью алгебры Гейзенберга:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb M(z,\mathbf x)=\prod_k\frac{1}{1-zx_k}&=\exp\biggl(\,\sum_{n=1}^\infty\frac{p_n(\mathbf x)}{n}z^n\biggr), \\ \mathbb L(z,\mathbf x)=\prod_k{(1-zx_k)}&=\exp\biggl(-\sum_{n=1}^\infty\frac{p_n(\mathbf x)}{n}z^n\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
при этом $\mathbb L(z,\mathbf x)=\mathbb M^{-1}(z,\mathbf x)$. Для $z=1$ положим $\mathbb M(1,\mathbf x)=\mathbb M(\mathbf x)$ и $\mathbb L(1,\mathbf x)=\mathbb L(\mathbf x)$. Когда нас не интересует зависимость от $\mathbf x$, для краткости иногда будем писать $\mathbb L(z)$ и $\mathbb M(z)$ вместо $\mathbb L(z,\mathbf x)$ и $\mathbb M(z,\mathbf x)$. Для диаграммы Юнга $\lambda$ обозначим как $\mathcal T^\lambda$ множество полустандартных таблиц $T$ формы $\lambda$ с элементами из множества $\{1,2,\ldots,n\}$ и положим $\mathbf x^T=x_1^{\#1}x_2^{\#2}\ldots x_n^{\#n}$, где $\#k$ – количество элементов $k$ в $T$. Тогда функция Шура задается как
$$
\begin{equation*}
S_\lambda(\mathbf x)=\sum_{T\in\mathcal T^\lambda}\mathbf x^T.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции Шура образуют ортонормированный базис в кольце $F(\mathbf x)$. Оператор от симметрических функций определяется с помощью дуальности: $\langle g^\perp f|h\rangle=\langle f|g\cdot f\rangle$. Для двух заданных функций Шура $S_\lambda$ и $S_\mu$ косая функция Шура определяется как $S_{\lambda/\mu}:=S_\mu^\perp S_\lambda$. Плетизм задается следующим образом [2]. Пусть $f(\mathbf x)=\sum_i y_i$. Рассмотрим мономы $y_i$ как элементы нового счетного алфавита $\mathbf y=\{y_1,y_2,\ldots\}$. Тогда для любой функции Шура $S_\lambda$ плетизм $S_\lambda[f](\mathbf x):=S_\lambda(\mathbf y)$ функции $f$ под действием $S_\lambda$ является симметрической функцией от переменных составного алфавита. Для любой диаграммы Юнга $\pi$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbb M_\pi(z,\mathbf x)&=\prod_{T\in \mathcal {T}^\pi}\frac{1}{1-z\mathbf x^T}=\sum_{r\geqslant 0}z^rS_{(r)}[S_\pi](\mathbf x), \\ \mathbb L_\pi(z,\mathbf x)&=\prod_{T\in \mathcal {T}^\pi}{(1-z\mathbf x^T)}=\sum_{r\geqslant 0}(-1)^rz^rS_{(1^r)}[S_\pi](\mathbf x), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
и мы имеем $S_\lambda^\pi(\mathbf x)=\mathbb L^\perp_\pi(\mathbf x)S_\lambda^{}$. Зададим
$$
\begin{equation}
V_\pi^{}(z)=\mathbb M(z)\mathbb L^\perp(z^{-1})\prod_{k>0}\mathbb L^\perp_{\pi/(k)}(z^k),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
тогда
$$
\begin{equation}
S_\lambda^\pi=[\mathbf z^\lambda]V_\pi(z_1)V_\pi(z_2)\ldots V_\pi(z_k)\cdot 1,
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $[\mathbf z^\lambda]$ означает выбор коэффициента в $z_1^{\lambda_1}z_2^{\lambda_2}\ldots z_k^{\lambda_k}$. Чтобы получить полный набор обменных соотношений между вершинными операторами плетистического типа, необходимо ввести соответствующим образом построенные дуальные вершинные операторы $V^*_\pi(z)$. Теорема 2.1 [17]. Пусть для каждого разбиения $\pi$ и всякого $z$ 3. Универсальный характер и иерархия универсальных характеровПусть $\mathbb{C}[\mathbf x,\mathbf y]=\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots;y_1,y_2,\ldots]$ – кольцо многочленов от бесконечно многих переменных. Хотя количество переменных бесконечно, каждый многочлен является конечной суммой мономов. В этом разделе мы рассматриваем определение универсального характера и его реализацию как вершинного оператора, следуя статье [20]. Пусть $\mathbf x=(x_1,x_2,\ldots)$ и $\mathbf y=(y_1,y_2,\ldots)$. Операторы $h_n(\mathbf x)$ определяются с помощью производящей функции следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\sum_{n=0}^\infty h_n(\mathbf x)z^n=e^{\xi(\mathbf x,z)},\qquad\xi(\mathbf x,z)=\sum_{n=1}^\infty x_n z^n,
\end{equation*}
\notag
$$
для $n<0$ мы полагаем $h_n(\mathbf x)=0$. В явном виде операторы $h_n(\mathbf x)$ записываются как
$$
\begin{equation*}
h_n(\mathbf x)=\sum_{k_1+2k_2+\cdots+nk_n=n}\frac{x_1^{k_1}x_2^{k_2}\ldots x_n^{k_n}}{k_1!\,k_2!\ldots k_n!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для пары диаграмм Юнга $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_l)$ и $\mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_{l'})$ универсальный характер $S_{[\lambda,\mu]}=S_{[\lambda,\mu]}(\mathbf x,\mathbf y)$ – это многочлен из $\mathbb{C}[\mathbf x,\mathbf y]$ от переменных $\mathbf x$ и $\mathbf y$, задающийся скрученной формулой Якоби–Труди [19]:
$$
\begin{equation*}
S_{[\lambda,\mu]}(\mathbf x,\mathbf y)=\det \begin{pmatrix} h_{\mu_{l'-i+1}+i-j}(\mathbf y), & 1\leqslant i\leqslant l' \\ h_{\lambda_{i-l'}-i+j}(\mathbf x), & l'+1\leqslant i\leqslant l+l' \end{pmatrix}_{\!i,j=1,2,\ldots,l+l'}.
\end{equation*}
\notag
$$
Определим степень переменных $x_n$, $y_n$, $n=1,2,\ldots{}$, как $\operatorname{deg}x_n=n$, $\operatorname{deg}y_n=-n$, тогда $S_{[\lambda,\mu]}(\mathbf x,\mathbf y)$ – однородный многочлен степени $|\lambda|-|\mu|$, где $|\lambda|=\lambda_1+\cdots+\lambda_l$ называется весом диаграммы $\lambda$. Заметим, что $S_\lambda(\mathbf x)$ – это частный случай универсального характера: $S_\lambda(\mathbf x)=\det(h_{\lambda_i-i+j}(\mathbf x))=S_{[\lambda,\varnothing]}(\mathbf x,\mathbf y)$. Введем вершинные операторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, V^{\pm}(k)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}V_n^{\pm}k^n= \exp\biggl(\pm\sum_{n=1}^\infty\biggl(x_n-\frac{1}{n}\frac{\partial}{\partial y_n}\biggr)k^n\biggr) \exp\biggl(\mp\sum_{n=1}^\infty\frac{\partial_{x_n}}{n}k^{-n}\biggr), \\ \widetilde V^{\pm}(k)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\widetilde V_n^{\pm}k^{-n}= \exp\biggl(\pm\sum_{n=1}^\infty\biggl(y_n-\frac{1}{n}\frac{\partial}{\partial x_n}\biggr)k^{-n}\biggr) \exp\biggl(\mp\sum_{n=1}^\infty \frac{\partial_{y_n}}{n}k^{n}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Тогда универсальный характер для разбиений $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_l)$, $\mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_{l'})$ можно записать как
$$
\begin{equation}
S_{[\lambda,\mu]}(\tilde{\mathbf x})= V_{\lambda_1}^{+}V_{\lambda_2}^{+}\ldots V_{\lambda_l}^{+}\cdot\widetilde V_{\mu_1}^{+}\widetilde V_{\mu_2}^{+}\ldots\widetilde V_{\mu_{l'}}^{+}\cdot 1.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В силу бозон-фермионного соответствия существуют три векторных пространства, изоморфных друг другу. Одно из них – это пространство бесконечно многих переменных $\mathbb{C}[\mathbf x,\mathbf y]=\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots;y_1,y_2,\ldots]$, которое называется бозонным фоковским пространством. Другое является частью фоковского фермионного пространства $\mathcal F$ с нулевым зарядом и представляет собой векторное пространство, основанное на множестве диаграмм Майя. Третье – это векторное пространство, основанное на множестве диаграмм Юнга. Таким образом, спаренная диаграмма Майя $|u,v\rangle$ может быть записана как $|u,v\rangle=|\lambda,\mu; n,m\rangle$, где $n$, $m$ – заряды подсостояний $|u\rangle$, $|v\rangle$ соответственно. В частном случае, если $n=m=0$, мы записываем диаграмму Майя $|u,v\rangle$ как $|\lambda,\mu\rangle$. Пусть $f(z_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y)$ – функция в пространстве $\mathbb{C}[z_1,z_2,z_1^{-1},z_2^{-1},\mathbf x,\mathbf y]$. Зададим
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} e^K f(z_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y)&:=z_1f(z_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y),&\qquad k^{H_0}f(z_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y)&:=f(kz_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y), \\ e^{\widetilde K} f(z_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y)&:=z_2f(z_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y),&\qquad k^{\widetilde H_0}f(z_1,z_2,\mathbf x,\mathbf y)&:=f(z_1,kz_2,\mathbf x,\mathbf y) \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
и определим производящие функции [4]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, X(k)&=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}X_{j}k^{-j-1/2}=V^{+}(k)e^K k^{H_0}, \\ X^*(k)&=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}X^*_{j}k^{-j-1/2}=V^{-}(k)e^K k^{H_0}, \\ Y(k)&=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}Y_{j}k^{-j-1/2}=\widetilde V^{+}(k)e^{\widetilde K} k^{\widetilde H_0}, \\ Y^*(k)&=\sum_{j\in \mathbb{Z}+1/2}Y^*_{j}k^{-j-1/2}=\widetilde V^{-}(k)e^{\widetilde K} k^{\widetilde H_0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Можно проверить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{5} \{X_i,X_j\}&=0,&\qquad \{X_i^*,X_j^*\}&=0,&\qquad \{X_i,X_j^*\}&=\delta_{i+j,0}, \\ \{Y_i,Y_j\}&=0,&\qquad \{Y_i^*, Y_j^*\}&=0,&\qquad \{Y_i,Y_j^*\}&=\delta_{i+j,0}, \end{alignedat} \\ [X_i,Y_j]=[X_i, Y_j^*]=[X_i^*,Y_j]=[X_i^*,Y_j^*]=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти равенства приводят нас к определению иерархии универсальных характеров. Определение 3.1. Иерархией универсальных характеров называется следующее билинейное уравнение относительно неизвестной функции $\tau=\tau(\mathbf x,\mathbf y)$: Имеет место следующая теорема. Теорема 3.1. Пусть для каждого разбиения $\pi$ и всякого $z$ 4. Бозон-фермионное соответствие плетистического типаМы начинаем этот раздел с введения двух параллельных диаграмм Майя. Рассмотрим возрастающую последовательность полуцелых чисел [4]
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \mathbf u&=\{u_j\}_{j\geqslant 1},&\qquad &u_1<u_2<u_3<\cdots, \\ \mathbf v&=\{v_j\}_{j\geqslant 1},&\qquad &v_1<v_2<v_3<\cdots, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
такую что $u_{j+1}=u_j+1, v_{j+1}=v_j+1$ при достаточно больших $j$. Поместим черный камень на позицию $u_j$ для каждого $j$ и белый камень на каждую вторую полуцелую позицию, получим диаграмму Майя; обозначим ее как $|\mathbf u,\mathbf v\rangle:=|\mathbf u\rangle\otimes|\mathbf v\rangle$. В частности, диаграмма $|1/2,3/2,5/2,\ldots\rangle\otimes|1/2,3/2,5/2,\ldots\rangle$ обозначается как $|\mathrm{vac}\rangle$. Фермионы $\psi_j$, $\psi^*_j$, $j\in\mathbb{Z}+1/2$, представляют собой операторы, которые удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\{\psi_i^{},\psi_j^{}\}=0,\qquad \{\psi_i^*, \psi_j^*\}=0,\qquad \{\psi_i^{},\psi_j^*\}=\delta_{i+j,0}^{},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\psi_j^{}$ и $\psi^*_j$ имеют заряды $1$ и $-1$ соответственно. Действие фермионов $\psi_j$, $\psi^*_j$ на диаграмму Майя определяется как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_j|\mathbf u\rangle &=\begin{cases} (-1)^{i-1}|\ldots,u_{i-1},u_{i+1},\ldots\rangle, & \text{если}\quad u_i=-j\;\;\text{при некотором}\;\;i,\\ 0& \text{в противном случае}, \end{cases} \\ \psi^*_j |\mathbf u\rangle &=\begin{cases} (-1)^{i}|\ldots,u_{i},j,u_{i+1},\ldots\rangle, & \text{если}\quad u_i<j<u_{i+1}\;\;\text{при некотором}\;\;i, \\ 0& \text{в противном случае}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Фермионы $\phi_j$, $\phi^*_j$, $j\in\mathbb{Z}+1/2$, представляют собой операторы, которые удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\{\phi_i,\phi_j\}=0,\qquad \{\phi_i^*,\phi_j^*\}=0,\qquad \{\phi_i,\phi_j^*\}=\delta_{i+j,0},
\end{equation*}
\notag
$$
при этом $\phi_j$ и $\phi^*_j$ имеют заряды $1$ и $-1$ соответственно. Действие фермионов $\phi_j, \phi^*_j$ на диаграмму Майя определяется как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \phi_j|{\tilde{\mathbf u}}\rangle &= \begin{cases} (-1)^{i-1}| \ldots,\tilde u_{i-1},\tilde u_{i+1},\ldots\rangle, & \text{если}\quad \tilde u_i=-j\;\;\text{при некотором}\;\;i,\\ 0& \text{в противном случае}, \end{cases} \\ \phi^*_j |\tilde{\mathbf u}\rangle &= \begin{cases} (-1)^{i}| \ldots,\tilde u_{i},j,\tilde u_{i+1},\ldots\rangle, & \text{если}\quad \tilde u_i<j<\tilde u_{i+1}\;\;\text{при некотором}\;\;i,\\ 0& \text{в противном случае}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Производящие функции фермионов имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \psi(k)&=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}\psi_jk^{-j-1/2},&\qquad \psi^*(k)&=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}\psi^*_jk^{-j-1/2}, \\ \phi(k)&=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}\phi_jk^{j+1/2},&\qquad \phi^*(k)&=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}\phi^*_jk^{j+1/2}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя стандартное нормальное упорядочение, введем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H_n=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}:\psi_{-j}\psi_{j+n}^*:\,,\qquad \widetilde H_n=\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}:\phi_{-j}\phi_{j+n}^*:\,, \\ H(x, y; \partial_x,\partial_y)=\sum_{n=1}^\infty\biggl[ \biggl(x_n-\frac{1}{n}\frac{\partial}{\partial y_n}\biggr)H_n+ \biggl(y_n-\frac{1}{n}\frac{\partial}{\partial x_n}\biggr)\widetilde H_n\biggr]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Для двойных диаграмм Майя $|\mathbf u,\tilde{\mathbf u}\rangle$ и $|\mathbf v,\tilde{\mathbf v}\rangle$ пара $\langle\mathbf v,\tilde{\mathbf v}|\mathbf u,\tilde{\mathbf u}\rangle$ задается формулой
$$
\begin{equation*}
\langle\mathbf v,\tilde{\mathbf v}|\mathbf u,\tilde{\mathbf u}\rangle= \delta_{v_1+u_1,0}\delta_{v_2+u_2,0}\ldots\delta_{\tilde v_1+\tilde u_1,0}\delta_{\tilde v_2+\tilde u_2,0}\ldots{}\;.
\end{equation*}
\notag
$$
Бозон-фермионное соответствие – это соответствие
$$
\begin{equation*}
\Phi\colon\mathcal F\to \mathbb{C}[z_1,z_1^{-1},z_2,z_2^{-1},x_1,x_2,\ldots;y_1,y_2,\ldots],
\end{equation*}
\notag
$$
задающееся как
$$
\begin{equation*}
|u,v\rangle\mapsto\Phi(|u,v\rangle):= \sum_{l_1,l_2\in\mathbb{Z}}z_1^{l_1}z_2^{l_2}\langle l_1,l_2|e^{H(x,y;\partial_x,\partial_y)}|u,v\rangle;
\end{equation*}
\notag
$$
это изоморфизм векторных пространств. Здесь $|l_1,l_2\rangle$ – диаграмма Майя, полученная из диаграммы $|\mathrm{vac}\rangle$ сдвигом ее как целого на $l_i$ шагов вправо (т. е. на $-l_i$ шагов влево при $l_i<0$), и оператор $H(x,y;\partial_x,\partial_y)$ определен в (4.1). При бозон-фермионном соответствии фермионы $\psi_j^{}$, $\psi^*_j$, $\phi_j^{}$, $\phi^*_j$ отвечают операторам $X_j^{}$, $X_j^*$, $Y_j^{}$, $Y_j^*$ , заданным в (3.4). Предложение 4.1 [20]. Для $n>0$ имеют место следующие формулы: Пусть $\lambda$, $\mu$ – диаграммы Юнга и $\lambda'$, $\mu'$ – их сопряженные. В соответствии с обозначениями Фробениуса $\lambda=(n_1,\ldots,n_l|m_1,\ldots,m_l)$, $\mu=(\tilde n_1,\ldots,\tilde n_{l'}|\tilde m_1,\ldots,\tilde m_{l'})$ диаграммы Юнга $\lambda$, $\mu$ задаются числами $n_i=\lambda_i-i$, $m_i=\lambda'_i-i$, $\tilde n_i=\tilde\lambda_i-i$, $\tilde m_i=\tilde\lambda'_i-i$. При бозон-фермионном соответствии базисный вектор фермионного фоковского пространства с нулевым зарядом
$$
\begin{equation*}
\psi_{n_1}^{}\ldots\psi_{n_l}^{}\psi^*_{m_1}\ldots\psi^*_{m_l}\phi_{\tilde n_1}^{}\ldots\phi_{\tilde n_{l'}}^{} \phi^*_{\tilde m_1}\ldots\phi^*_{\tilde m_{l'}}|\mathrm{vac}\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
при
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} n_1&<n_2<\cdots<n_l<0,&\qquad m_1&<m_2<\cdots<m_l<0, \\ \tilde n_1&<\tilde n_2<\cdots<\tilde n_{l'}<0,&\qquad \tilde m_1&<\tilde m_1<\cdots<\tilde m_{l'}<0, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
переходит в $S_{[\lambda,\mu]}$, умноженную на $(-1)^{\sum_{i=1}^l(m_i+\tilde m_i+1)+l(l-1)/2+l'(l'-1)/2}$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda&=(-n_1-1/2,\ldots,-n_l-1/2|-m_1-1/2,\ldots,-m_l-1/2), \\ \mu&=(-\tilde n_1-1/2,\ldots,-\tilde n_{l'}-1/2|-\tilde m_1-1/2,\ldots,-\tilde m_{l'}-1/2). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу соответствия между диаграммами Майя и диаграммами Юнга мы также можем записать $S_{[\lambda,\mu]}$ как
$$
\begin{equation}
S_{[\lambda,\mu]}(\mathbf x)=\langle\mathrm{vac}|e^{H(x, y;\partial_x,\partial_y)}|\lambda,\mu\rangle.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Далее мы определим бозон-фермионное соответствие плетистического типа, из которого получим симметрические функции плетистического типа. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} L^\perp (z)&=\exp\biggl(-\sum_{n\geqslant 1}\frac{H_n}{n}z^n\biggr),&\qquad \tilde L^\perp(z)&=\exp\biggl(-\sum_{n\geqslant 1}\frac{\widetilde H_n}{n}z^n\biggr), \\ L^\perp_\alpha(z)&=\exp\biggl(-\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n}S_\alpha(H_n)\biggr),&\qquad \tilde L^\perp_\beta(z)&=\exp\biggl(-\sum_{n=1}^\infty\frac{z^n}{n}S_\beta(\widetilde H_n)\biggr), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha$, $\beta$ – диаграммы Юнга. Оператор $S_\lambda(H_n)$ задается заменой $x_i$ в $S_\lambda(\mathbf x)$ на $\frac{1}{i}H_{in}$, и это фактически является плетизмом. Например, для $S_{(2)}(\mathbf x)=\frac{1}{2}x_1^2+x_2$ имеем $S_{(2)}(H_n)=\frac{1}{2}H_{n}^2+\frac{1}{2}H_{2n}$. Определение 4.1. Фермионы плетистического типа задаются как Как нетрудно проверить, они удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \{\psi_i^\alpha,\psi_j^\alpha\}&=0,&\qquad \{\psi_i^{*\alpha},\psi_j^{*\alpha}\}&=0,&\qquad \{\psi_i^\alpha,\psi_j^{*\alpha}\}&=\delta_{i+j,0}, \\ \{\phi_i^\beta,\phi_j^\beta\}&=0,&\qquad \{\phi_i^{*\beta}, \phi_j^{*\beta}\}&=0,&\qquad \{\phi_i^\beta,\phi_j^{*\beta}\}&=\delta_{i+j,0}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Предложение 4.2. При бозон-фермионном соответствии фермионы $\psi_j^\alpha$, $\psi_j^{*\alpha}$, $\phi_j^\beta$, $\phi_j^{*\beta}$ отвечают операторам $X^\alpha_j$, $X_j^{*\alpha}$, $Y^\beta_j$, $Y_j^{*\beta}$. В дальнейшем мы сформулируем плетистическое обобщение бозон-фермионного соответствия, из которого найдем симметрические функции плетистического типа. Оказывается, что классическое бозон-фермионное соответствие является частным случаем этого обобщения при $\alpha=\beta=\varnothing$. Определение 4.2. Пусть $\mathcal F$ – фермионное фоковское пространство, образованное двумя наборами диаграмм Майя. Определим соответствие следующим образом: где $|u,v\rangle$ отвечает паре диаграмм Майя. Из соответствия между диаграммами Майя и Юнга мы знаем, что диаграмме Майя $|u,v\rangle$ с нулевым зарядом соответствуют две диаграммы Юнга $\lambda$, $\mu$, и мы обозначаем $|u,v\rangle$ как $|\lambda,\mu\rangle$. Имеет место следующее предложение. Предложение 4.4. Для двойной диаграммы Майя $|\lambda,\mu\rangle$, отвечающей диаграммам Юнга $\lambda$, $\mu$, симметрическая функция $S_{[\lambda,\mu]}^{\alpha,\beta}(\mathbf x,\mathbf y)$ $(\alpha,\beta)$-типа удовлетворяет равенству Из соответствия между $\psi_j^\alpha$, $\psi_j^{*\alpha}$ и $\phi_j^\beta$, $\phi_j^{*\beta}$ имеем Предложение 4.5. Пусть диаграммы Юнга записаны в обозначениях Фробениуса как 5. Иерархия универсальных характеров плетистического типаВ этом разделе мы определяем иерархию универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа и обсуждаем ее тау-функции. Определение 5.1. Иерархией универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа называется следующее билинейное уравнение относительно неизвестного состояния $|u,v\rangle$ с нулевым зарядом из фермионного фоковского пространства $\mathcal F$: С использованием бозон-фермионного соответствия можно дать другой вариант этого определения. Определение 5.2. Иерархией универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа называется следующее билинейное уравнение относительно неизвестной функции $\tau=\tau(\mathbf x,\mathbf y)$: Рассмотрим операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} X_\alpha(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}X^\alpha_nz^n,&\qquad Y_\beta(z)&=\sum_{n\in \mathbb{Z}}Y^\beta_nz^n, \\ X_\alpha^*(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}X^{*\alpha}_nz^n,&\qquad \tilde Y_\beta^*(z)&=\sum_{n\in\mathbb{Z}}Y^{*\beta}_nz^n. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что $X^\alpha_n$, $Y^\beta_n$ и $X^{*\alpha}_m$, $Y^{*\beta}_m$ удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, X^\alpha_n X^\alpha_m+X^\alpha_{m-1}X^\alpha_{n+1}=0,\qquad Y^\beta_nY^\beta_m+Y^\beta_{m-1}Y^\beta_{n+1}=0, \\ X^{*\alpha}_nX^{*\alpha}_m+X^{*\alpha}_{m-1}X^{*\alpha}_{n+1}= Y^{*\beta}_nY^{*\beta}_m+Y^{*\beta}_{m-1}Y^{*\beta}_{n+1}=0, \\ X^\alpha_nX^{*\alpha}_m+X^{*\alpha}_{m+1}X^\alpha_{n-1}=Y^\beta_nY^{*\beta}_m+Y^{*\beta}_{m+1}Y^\beta_{n-1}=\delta_{n+m,0}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь уравнение (5.2) можно переписать как
$$
\begin{equation}
\sum_{n+m=-1}X^{*\alpha}_n\tau\otimes X^{\alpha}_m\tau=\sum_{n+m=-1}Y^{*\beta}_n\tau\otimes Y^{\beta}_m\tau=0.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Далее мы рассмотрим дифференциальные уравнения в иерархии универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа и их решения. Пользуясь соответствием между бозонами и фермионами $(\alpha,\beta)$-типа, запишем уравнение (5.1) в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}L^\perp_{(\alpha)}\psi_j^*(L^\perp_{(\alpha)})^{-1}\tau\otimes L^\perp_{(\alpha)}\psi_{-j}(L^\perp_{(\alpha)})^{-1}\tau= \\ &\qquad =\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}\tilde L^\perp_{(\beta)}\phi_j^*(\tilde L^\perp_{(\beta)})^{-1}\tau\otimes \tilde L^\perp_{(\beta)}\phi_{-j}(\tilde L^\perp_{(\beta)})^{-1}\tau=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
После умножения на $(L^\perp_{(\alpha)})^{-1}\otimes (L^\perp_{(\alpha)})^{-1}$, $(\tilde L^\perp_{(\beta)})^{-1}\otimes (\tilde L^\perp_{(\beta)})^{-1}$ оно переходит в
$$
\begin{equation}
\sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}\psi^*_j M^\perp_{(\alpha)}\tau\otimes\psi_{-j}M^\perp_{(\alpha)}\tau= \sum_{j\in\mathbb{Z}+1/2}\phi^*_j\widetilde M^\perp_{(\beta)}\tau\otimes \phi_{-j}\widetilde M^\perp_{(\beta)}\tau=0.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Отсюда получаем следующее предложение. Предложение 5.1. Если тау-функция $\tau$ является решением иерархии универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа, то $M^\perp_{(\alpha)}\widetilde M^\perp_{(\beta)}\tau$ является решением иерархии универсальных характеров. Если тау-функция $\tau$ является решением иерархии универсальных характеров, то $L^\perp_{(\alpha)}\tilde L^\perp_{(\beta)}\tau$ является решением иерархии универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа. Из соотношений (2.2) имеем
$$
\begin{equation*}
M^\perp_{(\alpha)}\widetilde M^\perp_{(\beta)}= \sum_{n,m\geqslant 0}(S_{(n)}\tilde S_{(m)}[S_{[\alpha,\beta]}](\mathbf x,\mathbf y))^\perp.
\end{equation*}
\notag
$$
По определению плетизма для $|\lambda|=n\cdot|\alpha|$, $|\mu|=m\cdot|\beta|$
$$
\begin{equation*}
S_{(n)}\tilde S_{(m)}[S_{[\alpha,\beta]}]=\sum_{\lambda}a_{(n)\alpha}^\lambda a_{(m)\beta}^\mu S_{[\lambda,\mu]},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{(n)\alpha}^\lambda$, $a_{(m)\beta}^\mu$ – неотрицательные целые числа [2]. Тогда
$$
\begin{equation*}
M^\perp_{(\alpha)}\widetilde M^\perp_{(\beta)}= \sum_{n,m\geqslant 0}\sum_{\lambda,\mu} a_{(n)\alpha}^\lambda a_{(m)\beta}^\mu (S_{[\lambda,\mu]})^\perp.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \exp\biggl(\,\sum_{m\geqslant 1}\frac{H_m}{m}k^m\biggr)&=\sum_{n\geqslant 0}Q^{(1)}_{(n)}k^n,&\qquad \exp\biggl(\,\sum_{m\geqslant 1}\frac{H_{-m}}{m} k^m\biggr)&=\sum_{n\geqslant 0} P^{(1)}_{(n)}k^n, \\ \exp\biggl(\,\sum_{m\geqslant 1}\frac{\widetilde H_m}{m} k^m\biggr)&=\sum_{n\geqslant 0} Q^{(2)}_{(n)}k^n,&\qquad \exp\biggl(\,\sum_{m\geqslant 1}\frac{\widetilde H_{-m}}{m} k^m\biggr)&=\sum_{n\geqslant 0} P^{(2)}_{(n)}k^n. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Для диаграммы Юнга $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k)$ действие оператора $P^{(I)}_\lambda$ на $I$-ю поддиаграмму $|\mathbf u_I\rangle$ диаграммы Майя $|\mathbf u_1,\mathbf u_2\rangle$ включает в себя $k$ шагов, отвечающих $k$ в $\lambda$. Оператор $P^{(I)}_{(\lambda_k)}$ действует на все диаграммы Майя, получающиеся из
$$
\begin{equation*}
P^{(I)}_{(\lambda_{k-1})}\ldots P^{(I)}_{(\lambda_2)}P^{(I)}_{(\lambda_1)}\cdot|\mathbf u_1,\mathbf u_2\rangle,
\end{equation*}
\notag
$$
и позиции, в которых черный камень сдвигается, помечены числом $k$. Выберем функцию $\tau$ в уравнении (5.4) в виде линейной комбинации всех диаграмм Майя с нулевым зарядом: $\tau=\sum_{|u,v\rangle}c(|u,v\rangle)|u,v\rangle$, где $c(|u,v\rangle)\in\mathbb{C}$. Пусть $|\mu\rangle$ – диаграмма Майя с зарядом $1$ и $|\nu\rangle$ – диаграмма Майя с зарядом $-1$, коэффициент при $|\mu\rangle\otimes |\nu\rangle$ в уравнении (5.4) равен нулю. Отсюда мы получаем набор дифференциальных уравнений, решения которых включают симметрические функции $(\alpha,\beta)$-типа. Предложение 5.2. Для иерархии универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа тау-функция $\tau$ является решением тогда и только тогда, когда коэффициенты $c(|u,v\rangle)$ в $\tau=\sum_{|u,v\rangle}c(|u,v\rangle)|u,v\rangle$ удовлетворяют соотношениям Плюккера, т. е. для каждых $|\mu\rangle,|\tilde \mu\rangle$ и $|\nu\rangle,|\tilde\nu\rangle$ с зарядами $1$ и $-1$ соответственно выполнены следующие равенства: Если $\alpha=\beta=\varnothing$, $\mu_0=\tilde \mu_0=\gamma$, $\nu_0=\tilde \nu_0=\delta$, $\mu=\tilde\mu$, $\mu=\tilde\nu$, то указанные уравнения принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{j}(-1)^jc(|\mu-\mu_j,\gamma\rangle)c(|\nu+\mu_j,\delta\rangle)=0, \\ &\sum_{j}(-1)^jc(|\gamma,\mu-\mu_j\rangle)c(|\delta,\nu+\mu_j\rangle)=0 \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и в точности совпадают с соотношениями Плюккера для иерархии универсальных характеров [20]. Аналогично можно записать дифференциальные уравнения иерархии универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа. Имеет место следующее предложение, аналогичное результату в работе [18]. Предложение 5.3. Дифференциальные уравнения иерархии универсальных характеров $(\alpha,\beta)$-типа имеют вид Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LiZhaDon23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|