| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О структуре канонической унитонной факторизации решения некоммутативной унитарной сигма-модели В. В. Бекрешева Факультет вычислительной математики и кибернетики, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020071 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ классической унитарной сигма-модели теории поля изучаются гармонические отображения двумерной сферы в унитарную группу $U(n)$. Некоммутативная унитарная сигма-модель получается из классической заменой $U(n)$-значных функций на унитарные операторы в гильбертовом пространстве по правилам исчисления Вейля псевдодифференциальных операторов. Эта модель была предложена в связи с теорией струн в работе [1] и далее изучалась в работах [2]–[6]. Мы продолжаем изучать структуру решений ненулевой конечной энергии. В работе [6] показано, что каждое такое решение $\Phi$ с точностью до мультипликативной константы представимо в виде суперпозиции отражений специального вида $\Phi = e^{i \theta} (I-2P_1)\dots(I-2P_n)$, называемой канонической унитонной факторизацией. Ортопроекторы $P_1, \dots, P_n$ называются унитонами, они имеют конечномерные образы $\alpha_j =\operatorname{im} P_j$, $1\leqslant j\leqslant n$, причем пространство $\alpha_1$ является инвариантным относительно оператора уничтожения. В настоящей работе показано, что подпространство также инвариантно относительно оператора уничтожения, причем собственные значения оператора уничтожения на подпространствах $\alpha$ и $\alpha_1$ совпадают.2. Обозначения и предварительные сведенияПусть $H$ – сепарабельное пространство со стандартным базисом $\{e_0, e_1, \dots, e_n, \dots\}$, $a$ – оператор уничтожения, $a^*$ – оператор рождения,
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} a e_0 &=0,&\qquad ae_j&=\sqrt{j}e_{j-1}, &\quad j&=1,2,\dots,\\ &&a^*e_j&=\sqrt{j+1}e_{j+1}, &\quad j&=0,1,\dots\, . \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Операторы $a$, $a^*$ отображают в себя векторное пространство
$$
\begin{equation*}
D_{\infty}=\biggl\{ x \in H \biggm| \sum_{j=0}^\infty (j+1)^k |x_j|^2 <\infty, k=0,1,\dots \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть $M$ – множество унитарных операторов вида $\Phi = e^{i\theta} I+K$, где $\theta \in \mathbb{R}$, $I$ – тождественный оператор, $K\!: H \to H$ – линейный оператор, образ которого $\operatorname{im} K$ является конечномерным подпространством в $D_\infty$, $M_0$ – множество унитарных операторов вида $\Phi = I + K$, где $I$ и $K$ те же. Для любого $\Phi \in M$ операторы
$$
\begin{equation*}
\partial_+ \Phi :=-[a^*, \Phi], \qquad \partial_- \Phi :=[a, \Phi], \qquad \Phi_\pm := \Phi^{-1}\partial_\pm \Phi
\end{equation*}
\notag
$$
определены на пространстве $D_\infty$ и имеют конечномерный образ, лежащий в $D_\infty$. Они являются некоммутативными аналогами производных по $z$ и $\bar z$ и соответствующих логарифмических производных. Некоммутативная $U(1)$-сигма-модель задается функционалом энергии
$$
\begin{equation*}
4e(\Phi) = \| \partial_+ \Phi \|^2_\mathrm{HS} = \| \partial_-\Phi \|^2_\mathrm{HS} =\| \Phi_-\|^2_\mathrm{HS} =\|\Phi_+\|^2_\mathrm{HS},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\|X\|^2_\mathrm{HS} = \operatorname{tr} X X^*$ – квадрат нормы Гильберта–Шмидта оператора $X \!: H\to H$ с конечномерным образом. Оператор $\Phi \in M$ называется решением некоммутативной $U(1)$-сигма-модели, если $t = 0$ является критической точкой функции $e(\Psi(t))$ для любого гладкого отображения $\Psi \!: (-\varepsilon, \varepsilon) \to M$, удовлетворяющего условию $\Psi (0) = \Phi$. Уравнение Эйлера–Лагранжа функционала энергии имеет вид Пусть $\Phi \in M$ – произвольное решение. Ортопроектор $P\!: H\to H$ называется унитоном для $\Phi$, если $I - 2 P\in M$ и справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P \Phi_-P^\perp =0, \\ P^\perp(\Phi_-+2a)P=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Если $\Phi$ – решение и $P$ – унитон для $\Phi$, то унитарный оператор $\Psi = \Phi(I-2P)$ также является решением. Согласно работе [3] для любого решения $\Phi \in M$ существует конечное число ортопроекторов $P_0, P_1, \dots, P_n$ и число $\theta$ такие, что $P_0 = 0$ и где $P_j$ – унитон для решения $ e^{i\theta}(I-2P_0)(I-2P_1) \dots (I-2P_{j-1})$ и $\operatorname{dim} \operatorname{im} P_j < \infty$ для всех $j=1, \dots, n$. Такое разложение решения $\Phi$ называется унитонной факторизацией решения $\Phi$. Это представление не единственно для $\Phi$.Если $\Phi \in M$ – решение, то $e^{i\theta}\Phi$ – тоже решение. Такие решения называются эквивалентными. Таким образом, любое решение из $M$ эквивалентно некоторому решению из $M_0$. Далее будем рассматривать только решения из пространства $M_0$. Если решение $\Phi$ имеет вид $\Phi = I-2P$ для некоторого ортопроектора $P\colon H\to H$ и $a(\operatorname{im} P) \subset \operatorname{im} P$, то оно называется BPS-решением. Образ ортопроектора $P$ называется BPS-подпространством. В работе [4] доказано следующее утверждение. Утверждение 1. Оператор $\Phi = I-2P$ является BPS-решением тогда и только тогда, когда образ $\operatorname{im} P$ ортопроектора $P$ либо совпадает со всем пространством $H$, либо имеет вид $\operatorname{im} P = \operatorname{ker} \Pi(a)$ для некоторого монического полинома $\Pi(a)$. Для каждого $m=1, 2, \dots$ отображение $\Pi \mapsto \operatorname{ker} \Pi(a)$ устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех монических полиномов $\Pi(z)$ степени $m$ и множеством всех BPS-решений размерности $m$. Более подробно структура BPS-решений приведена в статье [4]. Мы же воспользуемся введенными в ней обозначениями:
$$
\begin{equation*}
R_\lambda = \sum_{j=0}^\infty \frac{\lambda^j}{\sqrt{j!}}e_j,\qquad R^k_\lambda = (a^*- \bar\lambda I)^k R_\lambda
\end{equation*}
\notag
$$
для $\lambda\in \mathbb{C}$, $k=0,1,2,\dots$ . В статье [4] также было показано, что для любого $\lambda \in \mathbb{C}$ справедливо
$$
\begin{equation*}
\operatorname{ker}(a-\lambda I)=\langle R_\lambda\rangle, \qquad \operatorname{ker}(a-\lambda I)^k=\langle R_\lambda, R^1_\lambda, \dots, R^{k-1}_\lambda\rangle, \qquad k=0,1,2,\dots\, .
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым любое BPS-решение имеет вид $\operatorname{ker} \Pi(a) =\langle R^{l_j}_{\lambda_j} \mid 1\leqslant j \leqslant r, 0 \leqslant l_j \leqslant k_j-1\rangle$ для полинома ${\Pi(z)} = {(z-\lambda_1)^{k_1} \dots (z-\lambda_r)^{k_r}}$. Определение 1. Корнями BPS-подпространства $\operatorname{ker} \Pi(a)$ называются корни многочлена $\Pi(z)$. Согласно работе [6] (теоремы 2–5) справедливы следующие утверждения. Утверждение 2. Для любого решения $\Phi \in M_0$ существует единственная унитонная факторизация $\Phi =\prod_{j=0}^n(I-2P_j)$, называемая канонической, такая, что если $\Phi \ne I$, то ортопроекторы $P_0, P_1, \dots, P_n$ удовлетворяют накрывающим условиям Если $\alpha_j = \operatorname{im} P_j$, $1\leqslant j\leqslant n$, то накрывающие условия (1) равносильны равенствам
$$
\begin{equation}
\alpha_{j+1} \cap \alpha_j^\perp =0,\qquad 1 \leqslant j \leqslant n-1.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Утверждение 3. Справедливы следующие равенства для канонической унитонной факторизации $\Phi =\prod_{j=0}^n(I-2P_j)$: С учетом условия (3) условие (4) эквивалентно
$$
\begin{equation}
P_j^\perp \biggl(a + \biggl[a, \sum_{k=0}^{j-1} P_k\biggr]\biggr) P_j =0.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Утверждение 4. Пусть $\Phi = \prod_{j=0}^n (I-2P_j)$ – каноническая унитонная факторизация решения $\Phi\in M_0$ и $n\geqslant 1$. Положим $\beta_j =\operatorname{im} P_1 \dots P_j$, $1\leqslant j\leqslant n$. Тогда имеют место следующие утверждения: а) $a^*\beta_j \subset \beta_{j-1}$ для всех $j=2,\dots, n$; б) $\beta_j$ – BPS-подпространство для всех $j=1, \dots, n$; в) пусть $\pi_1, \dots, \pi_n$ – ортопроекторы, отвечающие $\beta_1, \dots, \beta_n$ (т. е. $\operatorname{im}\pi_j=\beta_j$ для $1\leqslant j \leqslant n$), тогда оператор $\tilde \Phi =\prod_{j=0}^n (I-2\pi_j)$ является решением и называется плоским решением, отвечающим решению $\Phi$. Замечание 1. Из накрывающих условий (1) следует, что оператор $P_1 \dots P_{j-1}$ взаимно однозначно отображает $\alpha_j$ на $\beta_j$. 3. Существование подчиняющего пространстваПусть $(I-2P_0) \dots (I-2 P_n)$ – каноническая унитонная факторизация решения $\Phi$, $\Phi_j = (I-2P_0) \dots (I-2 P_j)$, $\alpha_j = \operatorname{im} P_j$, $1\leqslant j \leqslant n$, $P_0 =0$. Далее считаем $n \geqslant 1$. Утверждение 5. Для любого $ j =1, \dots, n$ справедливы следующие утверждения: 1) пространство $\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_j$ является BPS-подпространством; 2) $\operatorname{im}(\Phi_j - I) \subset \alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_j$; 3) $(\Phi_j - I) \mid_{(\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_j)^\perp} =0$. Доказательство. Докажем утверждение индукцией по $j$. При $j=1$ утверждение верно. Докажем, что если оно верно для любого $j \leqslant k$, то оно верно и при $j=k+1$. Обозначим $\alpha = \alpha_1+ \cdots + \alpha_{k+1}$. Пусть $\xi \in \alpha$, тогда $\xi = \xi_1+ \cdots + \xi_{k+1}$, где $\xi_l \in \alpha_l$, $1\leqslant l \leqslant k+1$. Из предположения индукции следует, что
$$
\begin{equation*}
a(\xi_1 +\cdots + \xi_k) \in \alpha_1+ \cdots + \alpha_k \subset \alpha.
\end{equation*}
\notag
$$
Достаточно показать, что $a\xi_{k+1} \in \alpha$. Из (5) следует, что
$$
\begin{equation}
\biggl(a + \biggl[a, \sum_{l=1}^k P_l\biggr]\biggr) \xi_{k+1} \in \alpha_{k+1}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Рассмотрим второе слагаемое:
$$
\begin{equation*}
\biggl[a, \sum_{l=1}^k P_l\biggr] \xi_{k+1} = a(P_1\xi_{k+1} + \cdots + P_k \xi_{k+1}) - P_1 a \xi_{k+1} - \cdots - P_k a \xi_{k+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как по предположению индукции $\alpha_1+ \cdots + \alpha_k$ – BPS-подпространство, то
$$
\begin{equation*}
a(P_1\xi_{k+1} + \cdots + P_k \xi_{k+1}) \in \alpha_1+ \cdots + \alpha_k,
\end{equation*}
\notag
$$
а значит,
$$
\begin{equation*}
\biggl[a, \sum_{l=1}^k P_l\biggr] \xi_{k+1} \in \alpha_1+ \cdots + \alpha_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из (6) получаем Пункты 2 и 3 очевидны. Определение 2. Подпространство $\alpha_1+\alpha_2+\cdots +\alpha_n$ назовем подчиняющим для решения $\Phi$. 4. Структура подчиняющего пространстваПусть решение $\Phi = (I-2P_1) \dots (I-2 P_n)$ и $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ те же, что и в разделе 3. Согласно утверждению 4 $\beta_j =\operatorname{im} P_1 \dots P_j$, $1\leqslant j\leqslant n$, являются BPS-подпространствами и при $1\! \leqslant\! j\! \leqslant\! n-1$ выполняются включения $a^* \beta_{j+1}\! \subset \!\beta_j$. Пронумеруем корни подпространств $\beta_n, \beta_{n-1}, \dots, \beta_1 = \alpha_1$ так, чтобы $\beta_j = \langle R^q_{\lambda_s}, 1\leqslant s \leqslant r_j, 0 \leqslant q \leqslant k_s^j -1 \rangle$, $1\leqslant j \leqslant n$. Из утверждения 4 также следует, что $r_1 \geqslant r_2 \geqslant \dots \geqslant r_n$. При $2 \leqslant j \leqslant n$ и $1 \leqslant s \leqslant r_j$ выполняется $k^1_s > k^2_s > \dots >k^j_s \geqslant 1$. Так как оператор $P_1 \dots P_j$ взаимно однозначно отображает $\alpha_j$ на $\beta_j$, то $\alpha_j= \langle \xi^q_{s,j}, 1\leqslant s\leqslant r_j, 0\leqslant q\leqslant k^j_s-1 \rangle$, где $\xi^q_{s,j}$ определяется единственным образом и удовлетворяет условию Так как $\xi^q_{s,j} \in \alpha_j$, тоУтверждение 6. При $1\leqslant j \leqslant n$, $1 \leqslant s \leqslant r_j$, $0 \leqslant q \leqslant k_s^j -1$ выполнено равенство Доказательство. Для начала докажем, что Далее, воспользуемся формулой (7) и получим Пользуясь тем, что $aR^q_{\lambda_s} = q R^{q-1}_{\lambda_s} + \lambda_s R^q_{\lambda_s}$, и тем, что $R^q_{\lambda_s} \in \alpha_1$, $0 \leqslant q\leqslant k_s^j -1$, окончательно получаем что и требовалось доказать.Утверждение 7. При $1\leqslant j \leqslant n$, $1\leqslant s\leqslant r_j$, $0\leqslant q\leqslant k_s^j-1$ выполняется равенство Доказательство. Так как $\xi_{s,j}^q \in \alpha_j$, преобразуем левую часть (10): В силу того, что оператор $P_1 \dots P_j$ взаимно однозначно переводит $\alpha_j$ в $\beta_j$, равенство (10) является верным. Утверждение доказано. Утверждение 8. Корни BPS-подпространства $\alpha_1 + \cdots + \alpha_j$, $j=1, 2, \dots, n$, и $\alpha_1$ совпадают. Доказательство. Докажем утверждение по индукции. Для $j=1$ утверждение, очевидно, верно. Пусть корни подпространства $\alpha_1 +\cdots +\alpha_{j-1}$ те же, что и у $\alpha_1$. Обозначим $V_{j-1}=\alpha_1 +\cdots +\alpha_{j-1} = \operatorname{ker} \Pi_{j-1}(a)$, где $\Pi_{j-1}(z) = \prod_{s=1}^{r_1}(z - \lambda_s)^{m_s}$. Так как $\alpha_1 +\cdots +\alpha_{j-1}$ является BPS-подпространством, то $\operatorname{im} \big[a, \sum_{k=1}^{j-1}P_j\big] \subset V_{j-1}$. Тогда
$$
\begin{equation}
a\xi^q_{s,j} -\lambda_s\xi^q_{s,j} -q\xi^{q-1}_{s,j} \in V_{j-1}
\end{equation}
\tag{11}
$$
для любых $1\leqslant s \leqslant r_j$, $0\leqslant q \leqslant k^j_s -1$. Положив в (11) $q=0$, имеем $a\xi^0_{s,j} - \lambda_s \xi ^0_{s,j} = (a-\lambda_s I)\xi^0_{s,j} \in V_{j-1}$. Следовательно, $\Pi_{j-1}(a)(a-\lambda_s I)\xi^0_{s,j} = 0$. Обозначим $\Pi_{j-1,s}^{0}(z)= \Pi_{j-1}(z)(z-\lambda_s)$ и обозначим новое BPS-пространство $V_{j-1,s}^{0} = \alpha_1+\cdots +\alpha_{j-1} +\langle\xi^0_{s,j}\rangle$. При $q=1$ вновь воспользуемся (11) и тем фактом, что $V_{j-1}$ является BPS-подпространством, в результате получим
$$
\begin{equation*}
a \xi^1_{s,j} - \lambda_s \xi^1_{s,j} - \xi^0_{s,j} \in V_{j-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $a \xi^1_{s,j} - \lambda_s \xi^1_{s,j} \in V_{j-1,s}^0$. Другими словами, $(a-\lambda_sI) \xi^1_{s,j}$ лежит в BPS-пространстве $V_{j-1,s}^0 =\operatorname{ker} \Pi_{j-1,s}^{0}(a)$. Обозначим $\Pi_{j-1,s}^{1}(z)=(z-\lambda_s)\Pi_{j-1,s}^{0}(z)$ и $V_{j-1,s}^1=V_{j-1,s}^0+\langle\xi^1_{s,j}\rangle$. Повторив подобную операцию требуемое число раз для всех $\lambda_s$, получим полином $\Pi(z)=(z-\lambda_1)^{l_1}\dots(z-\lambda_r)^{l_r}$, где $l_i \geqslant m_i$, $i=1,\dots,r$, такой, что $\Pi(a)\xi^q_{s,j}=0$ для любого $s =1,\dots, r$ и для любого $q = 0, \dots, k_j^1-1$. Так как $\alpha_j =\langle\xi^q_{s,j}\rangle$, то $\Pi(a)\alpha_j =0$. Тогда $\Pi(a)(\alpha_1+\cdots+\alpha_j) =0$. Это значит, что многочлен $\Pi(z)$ соответствует BPS-решению $\alpha_1+\cdots+\alpha_j$. Следовательно, собственные значения BPS-пространств $\alpha_1$ и $\alpha=\alpha_1+\cdots+\alpha_j$ совпадают. Теорема 1. Пусть $\Psi\in M_0$ – решение, $\prod_{j=1}^n(I-2P_j)$ – его каноническая унитонная факторизация. При $1\leqslant j\leqslant n$ положим $\alpha_j=\operatorname{im} P_j$, $\alpha=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$. Тогда справедливы следующие утверждения. 1. Пространство $\alpha$ есть BPS-подпространство, $\operatorname{im}(\Phi-I)\subset\alpha$, $(\Phi- I)|_{\alpha^{\perp}}= 0$. 2. Собственные значения сужения оператора $a$ на подпространствах $\alpha$ и $\alpha_1$ совпадают. БлагодарностиАвтор выражает благодарность своему научному руководителю Александре Владимировне Домриной за постановку задачи и внимание к работе. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у нее нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bek23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|