| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Релятивистский линейный осциллятор под действием постоянной внешней силы. Амплитуды переходов. Функция Грина Ш. М. Нагиев, Р. М. Мир-Касимов Институт физики НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792301004X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеГармонический осциллятор является одной из точно решаемых и фундаментальных моделей нерелятивистской квантовой механики. Его роль в возникновении и развитии квантовой теории (нерелятивистской и релятивистской) хорошо известна. Потенциал гармонического осциллятора находит широкое применение во всех областях теоретической физики: в квантовой механике, в атомной и молекулярной физике, в статистической механике, в квантовой химии, в теории ядра, в теории колебаний, в квантовой электродинамике, в адронной физике, в кварковых моделях и т. д. (см., например, [1]–[3]). Гармонический осциллятор обладает многими важными свойствами симметрии. Например, гамильтониан гармонического осциллятора содержит операторы импульса и координаты симметричным образом и обладает высокой сепарабельностью. Он имеет бесконечный набор связанных состояний с эквидистантными уровнями энергии. Эквидистантность уровней энергии служила основой в нерелятивистской квантовой механике для создания метода вторичного квантования, позволяющего описать процессы, в которых число частиц изменяется. Эквидистантность энергетического спектра осцилляторов имеет также далеко идущие последствия: через осцилляторы полевых мод они приводят к картине частиц (бозонов) в квантовой электродинамике и в других свободных релятивистских квантовых полях с целочисленным спином (см., например, [4]). В дальнейшем развитие физики элементарных частиц начиная с середины прошлого века сделало актуальным обобщение задачи о гармоническом осцилляторе на релятивистский случай: появились четырехмерные модели осциллятора для описания спектра масс элементарных частиц [5], [6]. С появлением кварковых моделей адронов увеличилось количество исследований в этом направлении [7]–[10]. Эти четырехмерные осцилляторные модели описывались релятивистскими уравнениями типа Клейна–Гордона. Однако подчеркнем, что, в отличие от теории нерелятивистского гармонического осциллятора, которая обсуждается в каждом учебнике по квантовой механике, последовательной теории релятивистского гармонического осциллятора не существует до сих пор. Существуют только различные варианты обобщения модели нерелятивистского гармонического осциллятора на релятивистский случай. Эти варианты учитывают отдельные свойства нерелятивистского гармонического осциллятора и основываются на релятивистских уравнениях движения Клейна–Гордона [7]–[10], Дирака [11], [12], Солпитера [13], [14], конечно-разностного уравнения в релятивистском конфигурационном $\mathbf r$-представлении [15]–[25] и т. д. Поэтому проблема построения релятивистских моделей гармонического осциллятора остается актуальной и в настоящее время. В этой связи особо отметим работы [15]–[19], [22]–[25], где рассматривались точно решаемые трехмерные [15], [18], [22] и линейные [16], [17], [19], [24], [25] модели релятивистского гармонического осциллятора в рамках конечно-разностного варианта релятивистской квантовой механики [26], [27]. В работах [19], [24] релятивистская линейная модель гармонического осциллятора из работ [16], [17] была обобщена на случай, когда на осциллятор действует однородное внешнее поле $V_{g}(x)= gx$, где $F=-g$ есть постоянная внешняя сила. Релятивистская модель [19], [24], в отличие от соответствующего нерелятивистского случая, обладает таким свойством, что в зависимости от области модуля значений силы $|g|$ возможны как дискретный (при $|g| < mc \omega$), так и непрерывный (при $|g| \geqslant mc \omega$) спектры энергии. Показано также, что при наличии постоянной внешней силы волновые функции линейного релятивистского осциллятора, принадлежащие дискретному спектру, в релятивистском конфигурационном $x$-пространстве выражаются через полиномы Мейкснера–Поллачека, а в сопряженном одномерном импульсном пространстве Лобачевского – через полиномы Лагерра. Кроме того, в препринте [19] найдены динамическая группа симметрии и когерентные состояния, а также новый конечно-разностный аналог формулы Родрига для полиномов Мейкснера–Поллачека. Получена билинейная производящая функция для полиномов Мейкснера– Поллачека, с помощью которой вычислена функция Грина. Эти результаты представляют собой физический и математический интерес и актуальны и по сей день. На этот препринт ссылались в ряде работ (см., например, [23], [28]–[30]). Часть результатов, полученных в препринте [19], были изложены в недавней работе [24]. Цель настоящей работы – дальнейшее изучение физических и математических свойств релятивистской линейной модели гармонического осциллятора во внешнем однородном поле, т. е. она является продолжением работ [19], [24]. Статья имеет следующую структуру. Раздел 2 посвящен краткому описанию нерелятивистского линейного осциллятора во внешнем однородном поле. В разделе 3 обсуждается релятивистская модель линейного гармонического осциллятора во внешнем однородном поле. В разделе 4 изложена динамическая группа симметрии в случае дискретного спектра энергии и выписано действие генераторов группы на волновые функции. В разделе 5 вычислены амплитуды переходов. Когерентные состояния Барута–Жирарделло построены в разделе 6. Раздел 7 посвящен нахождению функции Грина. В разделе 8 вычислены нерелятивистский предел волновых функций, генераторов динамической группы симметрии и амплитуд переходов. Обсуждение полученных результатов проведено в разделе 9. 2. Нерелятивистский линейный осциллятор во внешнем однородном полеВ этом разделе мы кратко представим некоторые выражения, соответствующие нерелятивистскому квантовому гармоническому осциллятору, с целью сравнения их с релятивистским случаем. 2.1. Волновые функцииРешение стационарного уравнения Шредингера
$$
\begin{equation}
H_\mathrm{N}^g\psi_\mathrm{N}^g(x)\equiv \biggl(\frac{- \hbar^2}{2m}\partial_x^2 + \frac{1}{2}m\omega^2x^2 + gx \biggr)\psi_\mathrm{N}^g(x)= E_\mathrm{N}^g\psi_\mathrm{N}^g(x)
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
и энергетический спектр $E_\mathrm{N}$ для линейного гармонического осциллятора в однородном внешнем поле хорошо известны [1]. Они выражаются через полиномы Эрмита $H_n(x)$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \psi_{\mathrm{N}n}^g(x)&= \frac{с_{\mathrm N0}}{\sqrt{2^{n}n!}}H_n(\lambda_0(x + x_0))e^{- \lambda_0^2(x + x_0)^2/2},&\qquad \lambda_0 &= \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}},\\ E_{\mathrm{N}n}^g &= E_{\mathrm{N}n}^{0} - \hbar\omega\alpha^2,&\qquad E_{\mathrm{N}n}^{0}& = \hbar\omega \biggl(n + \frac{1}{2} \biggr), \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где $x_0 = g/m\omega^2$, $c_{\mathrm N0} = (\lambda_0^2/\pi)^{1/4}$, $\alpha = \lambda_0x_0/\sqrt{2}$, $n = 0,1,2,\ldots$ . Волновые функции (2.2) удовлетворяют следующему условию ортонормированности:
$$
\begin{equation}
\int_{- \infty}^{\infty} \psi_{\mathrm{N}n}^{g*}(x) \psi_{\mathrm{N}m}^g(x)\, dx\, =\delta_{nm}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Их можно получить из волновых функций $\psi_{\mathrm{N}n}^0(x)$ нерелятивистского линейного осциллятора без поля ($g = 0$) простым сдвигом,
$$
\begin{equation}
\psi_{\mathrm{N}n}^g(x)= U^g\psi_{\mathrm{N}n}^0(x)= \psi_{\mathrm{N}n}^0(x + x_0),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
с помощью оператора сдвига где $\hat{p} = - i\hbar\partial_x$ – оператор импульса. В импульсном представлении этот сдвиг сводится к умножению на простой фазовый множитель:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \phi_{\mathrm{N}n}^g(p)& = e^{ix_0 p/\hbar}\phi_{\mathrm{N}n}^0(p),\\ \phi_{\mathrm{N}n}^0(p)& = i^{n}\frac{c'_{\mathrm N0}}{\sqrt{2^{n}n!}}H_n\biggl(\frac{p}{\lambda_0\hbar} \biggr)e^{- p^2/2\lambda_0^2\hbar^2},\qquad c'_{\mathrm{N}0} = (\pi m\hbar\omega)^{- 1/4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Поскольку оператор $U^g$ унитарен и $U^g(H_\mathrm{N}^0 - E_\mathrm{N}^0 )U^{g-1} = H_\mathrm{N}^g - E_\mathrm{N}^g$, то уравнения Шредингера для нерелятивистского линейного осциллятора в однородном поле $(H_\mathrm{N}^g - E_\mathrm{N}^g)\psi_\mathrm{N}^g = 0$ и без поля $(H_\mathrm{N}^0 - E_\mathrm{N}^0)\psi_\mathrm{N}^0 = 0$ унитарно эквивалентны [31]–[33]. 2.2. Динамическая группа симметрии $SU(1,1)$Хорошо известно, что динамической группой симметрии нерелятивистского квантового линейного гармонического осциллятора является некомпактная группа $SU(1,1)$ (см., например, [34]). Алгебра Ли $su(1,1)$ этой группы порождается тремя генераторами $\Gamma_0$ (или $K_0$), $\Gamma_4$ (или $K_{1}$), $T$ (или $K_{2}$), которые удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:
$$
\begin{equation}
[\Gamma_0,\Gamma_4] =iT,\qquad [T,\Gamma_0] = i\Gamma_4,\qquad [\Gamma_4,T] = - i\Gamma_0.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Инвариантный оператор Казимира $C_2 = \Gamma_0^2 - \Gamma_4^2 - T^2$. Для неприводимого представления он кратен единичному оператору, $C_2 = s(s - 1)I$, где число $s$ определяет собственные значения оператора $C_2$. Для положительной дискретной серии $D^{+}(s)$ группы $SU(1,1)$ число $s$ действительное и $s > 0$, а собственные значения компактного генератора $\Gamma_0$ дискретны, ограничены снизу и равны $s + n$, $n = 0,1,2,\ldots$ . Им соответствуют собственные состояния $|n,s\rangle$ генератора $\Gamma_0$, т. е. Функции $|n,s\rangle$ образуют базис неприводимого унитарного представления $D^{+}(s)$. Вместо генераторов $\Gamma_4$ и $T$ удобно использовать лестничные (повышающий и понижающий) операторы $K_{\pm} = \Gamma_4 \pm iT$, для которых коммутационные соотношения (2.7) принимают вид
$$
\begin{equation}
[\Gamma_0,K_{\pm}] = \pm K_{\pm}, \qquad [K_-,K_+] = 2 \Gamma_0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Действие операторов $K_{\pm}$ на состояние $|n,s\rangle$ задается формулами
$$
\begin{equation}
K_{+}|n,s\rangle = \sqrt{(n + 1)(n + 2s)}|n + 1,s\rangle, \qquad K_{-}|n,s\rangle = \sqrt{n(n + 2s - 1)}|n - 1,s\rangle.
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
В случае нерелятивистского квантового линейного гармонического осциллятора без внешнего поля генераторы $\Gamma_0$, $\Gamma_4$, $T$ реализуются тремя дифференциальными операторами [34]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Gamma_0^{\mathrm{N}0} = \frac{H_\mathrm{N}^0}{2\hbar\omega} = \frac{1}{2\hbar\omega}\biggl(\frac{{\hat{p}}^2}{2m} + \frac{m\omega^2 x^2}{2} \biggr),\\ \Gamma_{4}^{\mathrm{N}0} = \frac{1}{2\hbar\omega}\biggl(\frac{{\hat{p}}^2}{2m} - \frac{m\omega^2 x^2}{2} \biggr),\qquad T^{\mathrm{N}0} = \frac{1}{4\hbar}(x\hat{p} + \hat{p}x). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Для оператора Казимира вычисление дает $C_2^{\mathrm{N}0} = - 3/16$. Следовательно, представления группы $SU(1,1)$ характеризуются двумя положительными числами $s = 3/4, 1/4$, которым соответствуют неприводимые унитарные представления $D^{+}(3/4)$ и $D^{+}(1/4)$. Для полноты изложения выразим генераторы (2.8) также через операторы рождения и уничтожения ($[a^-, a^+]=1$)
$$
\begin{equation}
a^{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lambda_0x - \frac{1}{\lambda_0}\partial_x \biggr),\quad a^{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}\biggl(\lambda_0x + \frac{1}{\lambda_0}\partial_x \biggr).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Получаем следующие выражения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Gamma_0^{\mathrm{N}0} = \frac{1}{2}\biggl(a^+a^- +\frac12\biggr),\\ \Gamma_{4}^{\mathrm{N}0} = -\frac{1}{4}((a^{+})^2 + (a^{-})^2),\qquad T^{\mathrm{N}0} = \frac{i}{4}((a^{+})^2 -( a^{-})^2). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Используя теперь операторы сдвига $U_\mathrm{N}$ (2.5), мы можем легко найти генераторы $\Gamma_0$, $\Gamma_4$, $T$ для нерелятивистского квантового линейного гармонического осциллятора под действием постоянной силы (2.1): $\Gamma_i^{\mathrm{N}g} = U^g\Gamma_i^{\mathrm{N}0}U^{g - 1}$, где $\Gamma_i =\Gamma_0, \Gamma_4, T$. Они имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Gamma_0^{\mathrm{N}g} = \frac{1}{2\hbar\omega}\biggl[\frac{{\hat{p}}^2}{2m} + \frac{m\omega^2(x + x_0)^2}{2}\biggr],\qquad \Gamma_{4}^{\mathrm{N}g} = \frac{1}{2\hbar\omega}\biggl[\frac{{\hat{p}}^2}{2m} - \frac{m\omega^2(x + x_0)^2}{2} \biggr],\\ T^{\mathrm{N}g} = \frac{1}{4\hbar} [(x+x_0)\hat{p}+\hat{p}(x+x_0)]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
При этом оператор Казимира остается неизменным: $C_2^{\mathrm{N}g} = U^gC_2^{\mathrm{N}0}U^{g - 1} = C_2^{\mathrm{N}0}$. Аналог формул (2.13) теперь имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Gamma_0^{\mathrm{N}g} = \frac{1}{2}\biggl(b^+b^-+\frac12\biggr),\\ \Gamma_{4}^{\mathrm{N}g} = -\frac{1}{4}((b^{+})^2 +( b^{-})^2),\qquad T^{\mathrm{N}g} = \frac{i}{4}((b^{+})^2 - (b^{-})^2), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где $b^\pm = U^g a^\pm U^{g - 1} = a^\pm + \alpha$, $[b^-, b^+]=1$. 2.3. Амплитуды переходовРассмотрим амплитуду и вероятности перехода между энергетическими состояниями нерелятивистского линейного осциллятора под действием внезапно налагаемого однородного поля. Пусть осциллятор находится в состоянии $\psi_{\mathrm{N}n}^0$ (или, в обозначениях Дирака, $|n\rangle$). Тогда амплитуда перехода из состояния $|n\rangle$ в возбужденное состояние $|m\rangle$ (перехода $n \to m$) под действием силы будет определяться матричным элементом $U_{nm}^g = \langle n | U^g | m\rangle$ оператора $U^g$ (см., например, [1]). Вычислим его двумя способами: 1) с помощью интегральной формулы
$$
\begin{equation}
U_{nm}^g = \int_{- \infty}^{\infty} \psi_{\mathrm{N}m}^{g*}(x)\psi_{\mathrm{N}n}^0(x)\, dx = \int_{- \infty}^{\infty}\psi_{\mathrm{N}n}^0(x)U^g\psi_{\mathrm{N}m}^0(x)\, dx;
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
2) с помощью алгебры операторов рождения и уничтожения $a^{\pm}$. Первый способ: интеграл (2.16) сводится к табличному интегралу [35]. Вычисление дает хорошо известный результат (см., например, [32], [36], [37]):
$$
\begin{equation}
U_{nm}^g = \begin{cases} (-1)^{n-m}\sqrt{m!/n!}\, \alpha^{n-m} e^{-\alpha^2/2} L_m^{n-m}(\alpha^2) & \text{при}\,\, n \geqslant m, \\ \sqrt{n!/m!}\,\alpha^{m - n}e^{- \alpha^2/2} L_n^{m - n}(\alpha^2)& \text{при}\,\, m \geqslant n. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Поскольку между полиномами Лагерра $L_n^{\alpha}(x)$ и полиномами Шарлье $C_n(x;a)$ [38], [39]
$$
\begin{equation}
C_n(x;a) = {}_2F_0\biggl(- n, -x; - \frac{1}{a} \biggr) = \sum_{r = 0}^{n}(- 1)^r \begin{pmatrix} n \\ r \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ r \\ \end{pmatrix}\frac{r!}{a^r},\qquad n = 0,1,2,\ldots,
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
существует связь, определяемая формулой $L_n^{x - n}(a) = \frac{(- a)^n}{n!}C_n(x;a)$, то можно выразить матричный элемент (2.17) также через полиномы Шарлье:
$$
\begin{equation}
U_{nm}^g = (- 1)^n\frac{\alpha^{m + n}}{\sqrt{m!\,n!}}e^{-\alpha^2/2} \begin{cases} C_m(n;\alpha^2)& \text{при}\,\, n \geqslant m, \\ C_n(m;\alpha^2)& \text{при}\,\, m \geqslant n. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Второй способ: воспользуемся коммутационным соотношением $[a^{-}, a^{+}]=1$ и тем, что действие операторов $a^{-}$, $a^{+}$ на ортонормированные состояния линейного гармонического осциллятора $|n\rangle = \frac{1}{\sqrt{n!}}(a^+)^n|0\rangle$ и $\langle n | m \rangle = \delta_{nm}$ задается равенствами
$$
\begin{equation}
a^{-} |n\rangle = \sqrt{n}|n - 1\rangle,\qquad a^{+} |n\rangle = \sqrt{n + 1}|n + 1\rangle.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Воспользовавшись теперь известным операторным тождеством Бейкера–Хаусдорфа
$$
\begin{equation*}
e^{A + B} = e^{-[A,B]/2}e^{A}e^{B},\qquad [[A,B],A] = [[A,B],B] = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
представим матричный элемент оператора $U^g = e^{\alpha(a^- -a^+)}=e^{-\alpha^2/2} e^{-\alpha a^+} e^{\alpha a^-}$ в виде
$$
\begin{equation}
U_{nm}^g = e^{- \alpha^2/2}\sum_{k = 0}^{\infty} \langle n | e^{- \alpha a^{+}} |k\rangle \langle k | e^{\alpha a^{-}} |m\rangle.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Методом математической индукции можно легко показать, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (a^{-})^k |n\rangle&=\biggl[\frac{n!}{(n-k)!}\biggr]^{1/2} |n-k\rangle\quad \text{при}\,\, n\geqslant k,\\ (a^{+})^k |n\rangle&=\biggl[\frac{(n+k)!}{n!}\biggr]^{1/2} |n+k\rangle \quad \text{при любых } n \text{ и } k. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Следовательно, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle n | e^{- \alpha a^{+}}|k \rangle &= (- \alpha)^{n - k}\biggl(\frac{k!}{n!} \biggr)^{1/2}C_n^{k},\quad n \geqslant k,\\ \langle k | e^{\alpha a^{-}}|m \rangle &= \alpha^{m - k}\biggl(\frac{k!}{m!} \biggr)^{1/2}C_{m}^{k},\quad m \geqslant k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
где $C_n^{k}$ – биномиальные коэффициенты. Из (2.23) следует, что в сумме (2.21) $k$ будет принимать значения $0,1,2,\ldots,\mu$, где $\mu = \min(n,m)$. Подстановка (2.23) в (2.21) приводит к формуле (2.19). Отметим, что из операторных равенств $U^gU^{g +} = 1$ и $U^{g_1 + g_2} = U^{g_1}U^{g_2}$ следуют соответственно условие ортогональности и теорема сложения для полиномов Шарлье. Эти формулы приведены в работе [23]. 3. Релятивистский линейный осциллятор во внешнем однородном полe3.1. Одномерное релятивистское конфигурационное $\mathbf{r}$-пространствоКонечно-разностный вариант релятивистской квантовой механики, развитый в работах [26], [27], основывается на концепции релятивистского конфигурационного $\mathbf{r}$-представления и обладает многими важными чертами нерелятивистской квантовой механики. Основное отличие конечно-разностной релятивистской квантовой механики от нерелятивистской квантовой механики состоит в том, что в первом случае волновая функция удовлетворяет конечно-разностному уравнению с шагом, равным комптоновской длине волны частицы $\lambda_\mathrm{C}=\hbar/mc$. Здесь канонически-сопряженным к $\mathbf{r}$-пространству импульсным $\mathbf{p}$-пространством является пространство Лобачевского, реализованное на верхнем поле массовой оболочки частицы $p_0^2 - \mathbf{p}^2 = m^2 c^2$, $p_0 > 0$. В одномерном случае переход в релятивистское конфигурационное $x$-пространство
$$
\begin{equation}
\psi(x)= \frac{mc}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \frac{dp}{p_0}\,\xi(p,x)\psi(p),\qquad p_0 = \sqrt{m^2c^2 + p^2},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
и обратный переход в одномерное $p$-пространство Лобачевского
$$
\begin{equation}
\psi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int dx\, \xi^{*}(p,x)\psi(x)
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
осуществляются с помощью разложения волновых функций по полной ортогональной системе функций – по релятивистским плоским волнам [16]
$$
\begin{equation}
\xi(p,x) = \biggl(\frac{p_0 - p}{mc} \biggr)^{- ix/\lambda_\mathrm{C}} = e^{ix\chi/\lambda_\mathrm{C}},\qquad \chi = \ln\frac{p_0 + p}{mc}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Они реализуют базис неприводимого унитарного представления группы движения одномерного пространства Лобачевского и удовлетворяют следующим условиям полноты и ортогональности:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{mc}{2\pi\hbar}\int \frac{dp}{p_0}\,\xi^{*}(p,x)\xi(p,x')& = \delta(x - x'),\\ \frac{mc}{2\pi\hbar}\int dx\, \xi^{*}(p,x)\xi(p',x) &= \delta(\chi - \chi'). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В нашем случае одномерное $p$-пространство Лобачевского реализовано на массовой поверхности $p_0^2 - p^2 = m^2c^2$, $p_0 > 0$. Релятивистские плоские волны (3.3) имеют правильный нерелятивистский предел, т. е. $\lim_{c \to \infty} \xi(p,x) = e^{ipx/\hbar}$. 3.2. Уравнение движения: конфигурационное представлениеРелятивистский линейный гармонический осциллятор при наличии постоянной внешней силы $F = - g$ в релятивистском конфигурационном $x$-пространстве описывается конечно-разностным уравнением [19], [24]
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, H^g(x)\psi^g(x)\equiv [H^0(x)+ gx]\psi^g(x)= E^g\psi^g(x), \\ H^0(x)= mc^2\biggl[ \operatorname{ch} (i\lambda_\mathrm{C}\partial_x) + \frac{m\omega^2}{2}x(x + i\lambda_\mathrm{C})e^{i\lambda_\mathrm{C}\partial_x}\biggr]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Очевидно, что гамильтониан (3.5) имеет правильный нерелятивистский предел, т. е. $\lim_{c \to \infty}[H^g(x)- mc^2] = H_\mathrm{N}^g(x)$. Здесь мы ограничиваем рассмотрение только состояниями дискретного спектра. В этом случае спектр энергии $E_n$ и соответствующие этому спектру волновые функции $\psi_n^g(x)$ выражаются следующими формулами:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, E_n^g = \hbar\omega\delta(n + \nu),\qquad n = 0,1,2,\ldots, \\ \psi_n^g(x)= c_n^g\omega_0^{ix/\lambda_\mathrm{C}}Г \Gamma\biggl(\nu + \frac{ix}{\lambda_\mathrm{C}} \biggr)\exp\biggl[\frac{x}{\lambda_\mathrm{C}}\biggl(\varphi - \frac{\pi}{2} \biggr) \biggr] P_n^{\nu}\biggl(\frac{x}{\lambda_\mathrm{C}};\varphi \biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь использованы обозначения
$$
\begin{equation}
\delta = \sqrt{1 -\biggl(\frac{g}{mc\omega}\biggr)^2}, \qquad \omega_0 = \frac{\hbar\omega}{mc^2},\qquad \nu = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{\omega_0^2}},\qquad \varphi = \arcsin \delta,
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
а $P_n^{\nu}(x;\varphi)$ – полиномы Мейкснера–Поллачека [38], [39]:
$$
\begin{equation*}
P_n^{\nu}(x;\varphi) = \frac{(2\nu)_n}{n!}e^{in\varphi}\,_2F_1(- n,\nu + ix;2\nu;1 - e^{- 2i\varphi}).
\end{equation*}
\notag
$$
Ортонормированность волновых функций (3.6) задается как
$$
\begin{equation}
(\psi_n^g,\psi_{m}^g) = \int_{- \infty}^{\infty} \psi_n^{g*}(x)\psi_{m}^g(x)\, dx=\delta_{nm},
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
откуда для постоянной нормировки получаем
$$
\begin{equation}
c_n^g = ( 2i\delta)^{\nu} e^{- i(n + \nu)\varphi}\sqrt{\frac{n!}{2\pi\lambda_\mathrm{C} \Gamma(n + 2\nu)}}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Отметим, что параметр $\nu$ в (3.6) включает в себя энергию покоя, так как
$$
\begin{equation*}
\lim_{c \to \infty} (\hbar\omega\delta\nu - mc^2) = \frac12 \hbar\omega- \frac12 m\omega^2x_0^2.
\end{equation*}
\notag
$$
3.3. Уравнение движения: импульсное представлениеВ импульсном представлении уравнение (3.5) записывается в виде дифференциального уравнения
$$
\begin{equation}
H^g(p)\psi^g(p) \equiv \hbar\omega\biggl[- \zeta\partial_{\zeta}^2 + i\rho\zeta\partial_{\zeta} + \frac{\zeta}{4} + \frac{1}{\omega_0^2\zeta} \biggr]\psi^g(p) = E^g\psi^g(p),
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
где импульсная переменная $\zeta$ определена в виде
$$
\begin{equation}
\zeta = \frac{2c(p_0 + p)}{\hbar\omega} = \frac{2}{\omega_0}e^{\chi},\qquad 0 \leqslant \zeta < \infty.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Волновые функции (3.6) в импульсном представлении [19], [24]
$$
\begin{equation}
\psi_n^g(p) = c'^{g}_n\zeta^{\nu}e^{(i\rho - \delta)\zeta/2}L_n^{2\nu - 1}(\delta\zeta),\qquad c'^{g}_n = \delta^{\nu}\sqrt{\frac{n!}{mc\Gamma(n + 2\nu)}},
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
выражаются через полиномы Лагерра [38]
$$
\begin{equation*}
L_n^{\alpha}(x)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!} {}_1F_1(-n,\alpha+1;x), \qquad (\alpha)_n=\frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для них условие ортонормированности записывается в виде
$$
\begin{equation*}
(\psi_n^g,\psi_{m}^g) = mc\int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^{g*} (p)\psi_{m}^g(p)\,\frac{dp}{p_0}=\delta_{nm}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подчеркнем, что в работах [19], [24] получено интегральное соотношение между полиномами Лагерра и полиномами Мейкснера–Поллачека
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty e^{-(1-i \operatorname{ctg} \varphi)t/2}& t^{\nu+ix-1} L_n^{2\nu-1}(t)\, dt={} \nonumber \\ &=(2\sin\varphi)^{\nu + ix}e^{(\pi/2 - \varphi)(i\nu - x)}\Gamma(\nu + ix)e^{-in\varphi}P_n^{\nu}(x;\varphi). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
4. Динамическая группа симметрииОтметим, что динамической группой симметрии релятивистского линейного гармонического осциллятора при наличии однородного внешнего поля (3.5), как и в нерелятивистском случае (2.1), является группа $SU(1,1)$ [19], [24]. Генераторы этой группы в релятивистском конфигурационном $x$-представлении реализуются в виде конечно-разностных эрмитовых операторов
$$
\begin{equation}
\Gamma_0^g(x)= \frac{H^g(x)}{\hbar\omega\delta},\qquad \Gamma_{4}^g(x)= \frac{\delta}{\omega_0}e^{-i\lambda_\mathrm{C}\partial_x} - \Gamma_0^g(x), \qquad T^g(x)= \frac{x}{\lambda_\mathrm{C}} + \frac{\rho}{\omega_0}e^{-i\lambda_\mathrm{C}\partial_x}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
В импульсном $p$-представлении они являются дифференциальными операторами вида
$$
\begin{equation}
\Gamma_0^g(p) = \frac{H^g(p)}{\hbar\omega\delta},\qquad \Gamma_{4}^g(p) = \frac{1}{2}\delta\zeta - \Gamma_0^g(p),\qquad T^g(p) = \frac{1}{2}\rho\zeta + i\zeta\partial_{\zeta}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Оператор Казимира $C_2^g = (\Gamma_0^g)^2 - (\Gamma_4^g)^2 - (T^g)^2$ в данном случае имеет значение $C_2^g = \nu(\nu-1)$, т. е. $s = \nu$ или $s = - (\nu - 1)$. Значению $s = \nu > 0$ соответствует унитарное неприводимое представление $D^+(\nu)$ группы $SU(1,1)$, а собственные значения компактного генератора $\Gamma_0^g$ равны $s + n = n + \nu$, $n = 0,1,2,\ldots$ . Таким образом, мы получаем алгебраическим способом правильный спектр (3.6) для оператора $H^g = \hbar\omega\delta\Gamma_0^g$. Его собственные функции (3.6) и (3.12) образуют базис неприводимого представления $D^+(\nu)$ в $x$- и $p$-представлениях соответственно. Приведем также явный вид повышающего и понижающего операторов $K_{\pm}^g = \Gamma_{4}^g \pm iT^g$ для релятивистского линейного гармонического осциллятора:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K_{\pm}^g(x)&= \pm \frac{1}{\omega_0}ie^{\mp i\varphi}e^{- i\lambda_\mathrm{C}\partial_x} \pm \frac{ix}{\lambda_\mathrm{C}} - \Gamma^g_0(x),\\ K_{\pm}^g(p) &= \pm \frac{1}{2}ie^{\mp i\varphi}\zeta \mp \zeta\partial_{\zeta} - \Gamma^g_0(p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Действие операторов $\Gamma_0^g$, $K_+^g$ и $K_-^g$ на волновые функции (3.6) и (3.12) дается формулами
$$
\begin{equation}
\Gamma_0^g\psi_n^g = (n + \nu)\psi_n^g,\qquad K_+^g\psi_n^g = \varepsilon_{n + 1}\psi_{n + 1}^g,\qquad K_-^g\psi_n^g = \varepsilon_n\psi_{n - 1}^g,
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
где $\varepsilon_n = - \sqrt{n(n + 2\nu - 1)}$. Непосредственной проверкой мы можем легко убедиться в справедливости двух последних соотношений (4.4). Например, рассмотрим третье соотношение и для удобства применим импульсное представление. С учетом (4.3) и (4.4) имеем
$$
\begin{equation}
K_-^g\psi_n^g = \sqrt{\frac{n!}{(2\nu)_n}}\psi_0^g\biggl[z\frac{d}{dz}L_n^{2\nu - 1}(z) - nL_n^{2\nu - 1}(z) \biggr],
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
где $z = \delta\zeta$. Если теперь учесть, что для полиномов Лагерра имеет место cледующая формула дифференцирования [38]:
$$
\begin{equation*}
z\frac{d}{dz}L_n^{2\nu - 1}(z) - nL_n^{2\nu - 1}(z) = - (n + 2\nu - 1)L_{n - 1}^{2\nu - 1}(z),
\end{equation*}
\notag
$$
то из (4.5) будет следовать третье соотношение в (4.4). Точно так же проверяется справедливость второго соотношения в (4.4). Отметим также, что, как хорошо известно, ортонормированные состояния $\psi_n^g$ получаются $n$-кратным действием оператора $K_+^g$ на основное состояние $\psi_0^g$, т. е.
$$
\begin{equation}
\psi_n^g = \frac{1}{\sqrt{n!(2\nu)_n}}(-K^g_+)^n \psi^g_0, \qquad (\psi_n^g,\psi_{m}^g)=\delta_{nm}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Полностью аналогично нерелятивистскому случаю (2.4) волновые функции (3.6) или (3.12) можно получить из волновых функций $\psi_n^0$ релятивистского линейного гармонического осциллятора без поля $(g = 0)$ с помощью унитарного преобразования (доказательство приведено в приложении):
$$
\begin{equation}
\psi_n^g = S^g\psi_n^0,\qquad S^g = e^{i\beta\Gamma_{4}^0}e^{i\gamma\Gamma_0^0} = e^{i\beta(K^0_+ + K^0_-)/2} e^{i\gamma\Gamma^0_0},
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\beta = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + \rho}{1 - \rho} = \frac{1}{2}\ln\frac{mc\omega + g}{mc\omega - g},\qquad \gamma = \frac{\pi}{2} - \varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
а $\Gamma_0^0$, $\Gamma_{4}^0$ и $T^0$ – генераторы динамической группы симметрии релятивистского линейного гармонического осциллятора без поля. Явный вид этих генераторов получается соответственно из (4.1) и (4.2) при $g = 0$. Генераторы $\Gamma_0^g$, $\Gamma_{4}^g$, $T^g$ выражаются через генераторы $\Gamma_0^0$, $\Gamma_{4}^0$, $T^0$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma_{0}^g &= S^g\Gamma_{0}^0 S^{g +} = \frac{1}{\delta}\Gamma_0^0 + \frac{\rho}{\delta}T^0,\\ \Gamma_{4}^g &= S^g\Gamma_{4}^0 S^{g +} = -\frac{\rho^2}{\delta}\Gamma_0^0 + \delta\Gamma_{4}^0 - \frac{\rho}{\delta}T^0,\\ T^g &= S^gT^0S^{g +} = \rho\Gamma_0^0 + \rho\Gamma_{4}^0 + T^0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Соотношения (4.8) можно записать в матричной форме $\Gamma^g = R\Gamma^0$, где введены обозначения
$$
\begin{equation}
\Gamma^g = \begin{pmatrix} \Gamma_0^g \\ \Gamma_{4}^g \\ T^g \\ \end{pmatrix},\qquad R = \begin{pmatrix} \hphantom{-}\dfrac{1}{\delta} & 0 & \hphantom{-}\dfrac{\rho}{\delta} \\ -\dfrac{\rho^2}{\delta} & \delta & - \dfrac{\rho}{\delta} \\ \hphantom{-}\rho & \rho & \hphantom{-}1 \\ \end{pmatrix},\qquad \Gamma^0 = \begin{pmatrix} \Gamma_0^0 \\ \Gamma_{4}^0 \\ T^0 \\ \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Из первого равенства в (4.9) следует, что $H^g = \delta S^g H^0 S^{g +}$, т. е. с точностью до постоянного множителя гамильтонианы $H^g$ и $H^0$ и, следовательно, их собственные функции $\psi_n^g$ и $\psi_n^0$ унитарно эквивалентны (см. (4.7)), поэтому $(H^g - E^g)\psi^g = S^g\delta(H^0 - E^0)\psi^0 = 0$. Подчеркнем, что соотношение (4.6) приводит к конечно-разностному аналогу формулы Родрига для полиномов Мейкснера–Поллачека
$$
\begin{equation}
P_n^{\nu}(x;\varphi) = \frac{(- 1)^{n}}{n!}e^{in\varphi}\frac{1}{\psi_0^g(x)}[K^g_+(x)]^n \psi^g_0(x).
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Для полиномов Лагерра формула (4.6) дает следующий аналог соотношения Родрига:
$$
\begin{equation}
L_n^{2\nu - 1}(\zeta\sin\varphi) = \frac{(- 1)^{n}}{n!}\frac{1}{\psi_0^g(\zeta)}[K^g_+(p)]^n \psi^g_0(p).
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Из (4.10) и (4.11) можно получить различные соотношения для полиномов Мейкснера–Поллачека и полиномов Лагерра соответственно. В частности, они позволяют получить повышающий и понижающий операторы для полиномов Мейкснера–Поллачека
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat{A}(x)&= (i\nu - x )e^{- i\partial_x} - (i\nu + x )e^{i\partial_x} + 2x,\\ \hat{A}^+ (x)&= (i\nu - x )e^{- i(2\varphi + \partial_x)} - (i\nu + x)e^{i(2\varphi + \partial_x)} + 2x \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
и для полиномов Лагерра
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat{A}(\zeta) &= \zeta\partial_{\zeta}^2 + (\alpha + 1)\partial_{\zeta},\\ \hat{A}^+ (\zeta) &= \zeta\partial_{\zeta}^2 + (\alpha + 1 - 2\zeta)\partial_{\zeta} + \zeta - \alpha - 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Отметим, что операторы (4.12) и (4.13) связаны между собой с помощью релятивистского преобразования Фурье (3.1) и (3.2). Их действие на полиномы $P_n^{\nu}(x;\varphi)$ и $L_n^{\alpha}(\zeta)$ дается формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat{A}(x)P_n^{\nu}(x;\varphi) &= 2(n + 2\nu -1)\sin\varphi P_{n - 1}^{\nu}(x;\varphi),\\ \hat{A}^+ (x)P_n^{\nu}(x;\varphi) &= 2(n + 1)\sin\varphi P_{n + 1}^{\nu}(x;\varphi) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \hat{A} (\zeta)L_n^{\alpha}(\zeta) &= - (n + \alpha)L_{n - 1}^{\alpha}(\zeta),\\ \hat{A}^+ (\zeta)L_n^{\alpha}(\zeta) &= - (n + 1)L_{n + 1}^{\alpha}(\zeta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
5. Амплитуды переходовРассмотрим теперь амплитуды переходов между энергетическими состояниями релятивистского линейного осциллятора под действием внезапно налагаемого однородного поля. Пусть осциллятор находится в состоянии $\psi_n^0$. Тогда амплитуда перехода $n \to m$ под действием силы будет определяться матричным элементом $S_{nm}^g = (\psi_m^g,\psi_n^0) =(\psi_m^0,S^{g+}\psi_n^0)$ оператора $S^g$. Вычислим его, как и в нерелятивистском случае в разделе 2, двумя способами. Первый способ – прямое вычисление интеграла для $S_{nm}^g$. Вычисление удобно провести в $p$-представлении, где имеем
$$
\begin{equation}
S_{nm}^g = mc \int_{- \infty}^{\infty} \psi_{m}^{g*} (p)\psi_n^0(p)\,\frac{dp}{p_0}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Этот интеграл сводится к следующему табличному интегралу [35]:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty x^\lambda & e^{-px} L^\lambda_m (bx) L^\lambda_n (cx)\, dx =\frac{\Gamma(m+n+\lambda+1)(p-b)^m (p-c)^n}{m!\,n!\,p^{m+n+\lambda+1}}\times{}\\ &\times {}_2F_{1}\biggl(- m, - n; - m - n - \lambda;\frac{p( p - b - c )}{( p - b )( p - c )} \biggr),\qquad \operatorname{Re} p > 0,\, \operatorname{Re}\lambda > - 1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В нашем случае $\lambda = 2\nu - 1$, $p = (1 + \delta - i\rho)/2$, $b = \delta$, $c = 1$. Поэтому для $S_{nm}^g$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{nm}^g ={}& e^{if} \frac{\Gamma(m+n+2\nu)}{\sqrt{m!\,n!\,\Gamma(m+2\nu)\Gamma(n+2\nu)}} \frac{\operatorname{th}^{m+n}(\beta/2)}{ \operatorname{ch} ^{2\nu}(\beta/2)}\times{} \nonumber \\ &\times {}_2F_{1}\biggl( - m, - n; - m - n - 2\nu + 1; \operatorname{cth} ^2\frac{1}{2}\beta \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $f = ( m + \nu )\varphi + ( n - \nu )\pi/2$. Воспользовавшись теперь соотношением между ортогональными полиномами Мейкснера и гипергеометрической функцией [39]
$$
\begin{equation*}
M_n(x;\beta,c) = \frac{(\beta + x)_n}{(\beta)_n}\, {}_2F_{1}\biggl(- n, - x; - n - x - \beta + 1;\frac{1}{c}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
перепишем матричный элемент (5.2) в виде
$$
\begin{equation}
S_{nm}^g = e^{if}\sqrt{\frac{(2\nu)_{m}(2\nu)_n}{m!\,n!}}\frac{\operatorname{th}^{m + n}(\beta/2)}{ \operatorname{ch} ^{2\nu}(\beta/2)}M_{m}\biggl(n;2\nu,\operatorname{th}^2\biggl(\frac{\beta}{2}\biggr)\biggr).
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Второй способ – вычисление с помощью алгебры лестничных операторов $K_+^0$ и $K_-^0$. При этом для удобства мы будем использовать дираковские обозначения для состояния $\psi_n^0 = |n\rangle$ и матричного элемента $S_{nm}^g =(\psi^0_m, S^{g+}\psi^0_n)= \langle m| S^{g+} |n\rangle$. Тогда, учитывая формулу (A.2), имеем
$$
\begin{equation}
S_{nm}^g = e^{- i\gamma(m + \nu)}Q_{mn},\qquad Q_{mn} = \langle m| e^{-itK^0_+}e^{u\Gamma^0_0}e^{-itK^0_-} |n\rangle,
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $t = \operatorname{th}(\beta/2)$, $u = \ln(1 - t^2)$. Для вычисления величины $Q_{mn}$ воспользуемся разложением единицы для полной и ортонормированной системы состояний $|n \rangle$. В результате получаем следующее выражение:
$$
\begin{equation}
Q_{mn} = \sum_{k = 0}^{\infty} e^{u(k + \nu)} \langle m | e^{-itK^0_+} |k \rangle \langle k | e^{-itK^0_-} |n \rangle.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Аналогично (2.22) методом математической индукции можно показать, что действие натуральных степеней операторов $K_-^0$ и $K_+^0$ на состояния релятивистского линейного гармонического осциллятора $|n \rangle$ задается формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (K^0_-)^l |n\rangle &= (-1)^l \biggl[\frac{n!\,(2\nu)_n}{(n-l)!\,(2\nu)_{n-l}}\biggr]^{1/2} |n-l \rangle \qquad \text{для}\,\,\, l \leqslant n,\\ (K^0_+)^l |n\rangle &= (-1)^l \biggl[\frac{(n+l)!\,(2\nu)_{n+l}}{n!\,(2\nu)_n}\biggr]^{1/2} |n+l \rangle \qquad \text{для любых}\,\,\, l,n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
В частности, при $n = 0$ из (5.6) следует (4.6). С помощью формул (5.6) для матричных элементов, входящих в (5.5), находим
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \langle m | e^{-it K_+^0}|k \rangle &= (it)^{m - k}C_{m}^{k}\biggl[\frac{k!\,(2\nu)_{m}}{m!\,(2\nu)_{k}}\biggr]^{1/2}, &\qquad m& \geqslant k,\\ \langle k | e^{-it K_-^0}|n \rangle &= (it)^{n - k}C_{n}^{k}\biggl[\frac{k!\,(2\nu)_{n}}{n!\,(2\nu)_{k}}\biggr]^{1/2}, &\qquad n& \geqslant k. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Из выражений (5.7) ясно, что суммирование по $k$ в (5.5) проводится от нуля до $\mu = \operatorname{min}(n,m)$. Теперь подстановка (5.7) в (5.5) приводит к следующему явному виду величины $Q_{mn}$:
$$
\begin{equation}
Q_{mn} = \sqrt{\frac{(2\nu)_{m}(2\nu)_n}{m!\,n!}}\frac{i^{m + n}\operatorname{th}^{m + n}(\beta/2)}{ \operatorname{ch} ^{2\nu}(\beta/2)}\sum_{k = 0}^{\mu}{C_{m}^{k}C_n^{k}\frac{k!}{(2\nu)_{k}}}\biggl(-\frac{1}{ \operatorname{sh} ^2(\beta/2)} \biggr)^{k},
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
где $\mu = \operatorname{min}(m,n)$. Поскольку $e^{- i\gamma(m + \nu)}i^{m + n} = e^{if}$ и
$$
\begin{equation}
M_{m}(n;2\nu,\operatorname{th}^2(\beta/2)) = \sum_{k = 0}^{\mu} C_{m}^{k}C_n^{k}\frac{k!}{(2\nu)_{k}}\biggl(- \frac{1}{ \operatorname{sh} ^2(\beta/2)} \biggr)^{k},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
заключаем, что выражение (5.4) с учетом (5.8) и (5.9) действительно совпадает с полученным первым способом результатом (5.3) для амплитуды перехода $S_{nm}^g$. В заключение раздела отметим, что из группового свойства $S^{g_2}S^{g_1} = S^{g_2 + g_1}$ оператора $S^g$ можно получить теорему сложения для полиномов Мейкснера [23]. 6. Когерентные состояния Барута–ЖирарделлоВ работе [28] были построены обобщенные когерентные состояния – когерентные состояния Переломова [41] для рассматриваемого релятивистского линейного гармонического осциллятора. Здесь мы построим для данной модели когерентные состояния Барута–Жирарделло $|\alpha\rangle$ [42], которые определяются как собственные состояния понижающего оператора $\tilde{K}_- \equiv - K_-$:
$$
\begin{equation}
\tilde{K}_- | \alpha \rangle = \alpha | \alpha\rangle,
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
где $\alpha$ – произвольное комплексное число. Стандартное вычисление [42] приводит к следующему выражению для когерентных состояний Барута–Жирарделло:
$$
\begin{equation}
| \alpha \rangle = \frac{\alpha^{\nu-1/2}}{\sqrt{I_{2\nu-1}(2|\alpha|)}} \sum_{n=0}^\infty \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!\,\Gamma(n+2\nu)}} |n \rangle.
\end{equation}
\tag{6.2}
$$
Они неортогональны и нормированы на единицу. Это явно видно из выражения для их скалярного произведения
$$
\begin{equation}
\langle\alpha | \beta \rangle = \frac{I_{2\nu-1}(2\sqrt{\alpha^*\beta}\,)}{\sqrt{I_{2\nu-1}(2|\alpha|)I_{2\nu-1}(2|\beta|)}},
\end{equation}
\tag{6.3}
$$
где $I_{\mu}(z)$ – модифицированная функция Бесселя. При получении (6.3) мы применили формулу [43]
$$
\begin{equation*}
\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!\,\Gamma(n + \mu + 1)} = x^{- \mu}I_{\mu}(2x).
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в (6.2) выражение для состояний $|n\rangle$ через полиномы Лагерра (3.12), с помощью производящей функции для этих полиномов
$$
\begin{equation}
\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{\Gamma(n + \alpha + 1)}L_n^{\alpha}(t) = (tz)^{- \alpha/2}e^{z}J_{\alpha}(2\sqrt{tz})
\end{equation}
\tag{6.4}
$$
получим явный вид когерентных состояний в $p$-представлении:
$$
\begin{equation}
\psi_{\alpha}^g(p) = N_{\alpha}^{g'}\zeta^{1/2}e^{(i\rho - \delta)\zeta/2}J_{2\nu - 1}(2\sqrt{\alpha\delta\zeta}),
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
где $J_{\mu}(z)$ – функция Бесселя, а $N_{\alpha}^{g'} = e^{\alpha}\sqrt{\delta/[mcI_{2\nu - 1}(2|\alpha|)]}$. Когерентные состояния (6.5) нормированы условием
$$
\begin{equation*}
mc\int_0^{\infty}\psi_{\alpha}^{g*}(p)\psi_{\alpha}^g(p)\,\frac{dp}{p_0} = 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогичным образом находим явный вид когерентных состояний в $x$-представлении:
$$
\begin{equation}
\psi_{\alpha}^g(x)= N_{\alpha}^g\omega_0^{ix/\lambda_\mathrm{C}}\Gamma\biggl(\nu + \frac{ix}{\lambda_\mathrm{C}} \biggr)\exp\biggl[\frac{x}{\lambda_\mathrm{C}} \biggl(\varphi - \frac{\pi}{2}\biggr) \biggr] {}_1F_1\biggl(\nu + \frac{ix}{\lambda_\mathrm{C}};2\nu; - \alpha(1 - e^{- 2i\varphi}) \biggr),
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
где $N_{\alpha}^g = (2\alpha\sin\varphi)^{\nu}[\Gamma(2\nu)]^{-1} [2\pi\alpha\lambda_\mathrm{C}I_{2\nu-1}(2|\alpha|)]^{-1/2}$. При выводе формулы (6.6) мы воспользовались линейной производящей функцией для полиномов Мейкснера–Поллачека
$$
\begin{equation}
\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^{n}}{(2\nu)_n}P_n^{\nu}(x;\varphi) = e^{ze^{i\varphi}} {}_1F_1(\nu + ix;2\nu; - 2iz\sin \varphi).
\end{equation}
\tag{6.7}
$$
В справедливости (6.7) можно убедиться следующим образом. Умножим обе части равенства (6.4) согласно (3.13) на $e^{-( 1 - i \operatorname{ctg} \varphi)t/2}t^{\nu + ix- 1}$ и проинтегрируем по $t$ в интервале $(0,\infty)$, $\alpha = 2\nu - 1$. Затем, меняя местами суммирование и интегрирование, а также учитывая (3.13) и интегральную формулу [35]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty x^{\alpha-1} e^{-px^2} J_\lambda(cx)\, dx={}&c^\lambda p^{-(\alpha+\lambda)/2} \frac{\Gamma((\alpha+\lambda)/2)}{\Gamma(\lambda+1)}\times{} \\ &\qquad\times {}_1F_1\biggl(\frac{\alpha+\lambda}{2};\lambda+1; - \frac{c^2}{4p} \biggr),\qquad \operatorname{Re} \lambda >0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
приходим к (6.7).
7. Функция ГринаВ данном разделе мы вычислим функцию Грина (фейнмановский пропагатор) для рассматриваемого стационарного релятивистского линейного осциллятора по известной формуле
$$
\begin{equation}
G^g(x_2,x_{1};t) = \sum_{n = 0}^{\infty} \psi_n^g(x_2)\psi_n^{g*} (x_{1})e^{- iE_n t/\hbar},\qquad t = t_2 - t_1 > 0.
\end{equation}
\tag{7.1}
$$
Согласно своему физическому смыслу функция Грина в $x$-представлении является амплитудой вероятности перехода частицы, находящейся в точке $x_1$ в момент времени $t_1$, в точку $x_2$ в момент времени $t_2$. Она является решением соответствующего уравнения Шредингера. Эволюция состояний системы во времени определяется оператором эволюции $\hat{U}(t)$. Функцию Грина (7.1) можно найти также как матричный элемент оператора $\hat{U}(t)$. Чтобы найти функцию Грина по формуле (7.1), сначала выведем формулу для билинейной производящей функции для полиномов Мейкснера–Поллачека. Используя одну из билинейных производящих функций для полиномов Лагерра [38]
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,z^n}{\Gamma(n+\alpha+1)}& L_n^\alpha(x)L_n^\alpha(y)={}\\ &=\frac{1}{1 - z} e^{- z(x + y)/(1 - z)} (xyz)^{- \alpha/2}I_{\alpha} \biggl(\frac{2\sqrt{xyz}}{1-z}\biggr), \qquad |z|<1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а также формулы (3.13), находим следующую билинейную производящую функцию для полиномов Мейкснера–Поллачека [19]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,z^n}{(2\nu)_n} & P_n^\nu(x_1;\varphi_1) P_n^\nu(x_2;\varphi_2)=[1-2z\cos(\varphi_2 -\varphi_1)+z^2]^{-\nu}\times{} \nonumber \\ &\times[1-ze^{i(\varphi_2 +\varphi_1)}]^{i(x_2+x_1)} [1-ze^{i(\varphi_2 -\varphi_1)}]^{-ix_1} [1-ze^{i(\varphi_1 -\varphi_2)}]^{-ix_2} \times{} \nonumber \\ &\times {}_2F_{1}\biggl(\nu + ix_{1},\nu + ix_2;2\nu;\frac{- 4z\sin\varphi_{1}\sin\varphi_2}{1 - 2z\cos(\varphi_2 - \varphi_{1}) + z^2} \biggr),\qquad |z| < 1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.2}
$$
Теперь после проведения некоторых вычислений для функции Грина (7.1) получаем выражение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G^g(x_2,x_{1};t)={}& \frac{(4z\sin^2\varphi)^{\nu}}{2\pi \Gamma(2\nu)}\omega^{i(x_2 - x_{1})}\Gamma(\nu - ix_{1})\Gamma(\nu + ix_2)e^{(x_2 + x_{1})(\varphi - \pi/2)} \times{} \nonumber \\ &\times (1 - z)^{- 2\nu - i(x_2 + x_{1})}(1 - ze^{2i\varphi})^{i(x_2 + x_{1})}\times{} \nonumber \\ &\times {}_2F_{1}\biggl(\nu + ix_{1},\nu + ix_2;2\nu;\frac{\sin^2\varphi}{\sin^2(\frac{\omega t\sin\varphi}{2})} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7.3}
$$
где $\lambda_\mathrm{C}=1$ и $z = e^{-i\omega t \sin\varphi}$. В импульсном представлении функция Грина (7.1) имеет вид
$$
\begin{equation}
G^g( p_2,p_{1};t) = (\sin\varphi)^{2\nu}\frac{\sqrt{\zeta_{1}\zeta_2 z}}{1 - z}e^{\frac{1}{2}i(\zeta_2 - \zeta_{1})\cos\varphi}e^{-\frac{(1 + z)(\zeta_2 + \zeta_{1})}{2(1 - z)}\sin\varphi} I_{2\nu - 1} \biggl(2\frac{\sqrt{\zeta_{1}\zeta_2 z}}{1 - z}\, \biggr).
\end{equation}
\tag{7.4}
$$
8. Нерелятивистский предел волновых функций, генераторов и амплитуд переходовВ этом разделе мы покажем, что волновые функции (3.6) и (3.12), генераторы (4.1), (4.2) и (4.3), а также амплитуды переходов (5.3) имеют правильный нерелятивистский предел. Для вычисления этих пределов применим следующие приближенные формулы, которые справедливы при $|x| \ll 1$ и $|z| \to \infty$:
$$
\begin{equation*}
\sqrt{1 + x} \cong 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2,\qquad \ln(1 + x) \cong x - \frac{1}{2}x^2,\qquad \Gamma(z) \cong \sqrt{\frac{2\pi}{z}} e^{z\ln z - z}.
\end{equation*}
\notag
$$
8.1. Нерелятивистский предел волновой функции: координатное представлениеДля вычисления предела волновой функции (3.6) сначала найдем асимптотику каждого из множителей по отдельности при $\nu \to \infty$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, (2i\delta)^{\nu} \cong \exp\biggl(\nu \ln 2 + i\frac{\nu\pi}{2} - \frac{1}{2}\xi_0^2\biggr),\qquad e^{- i(n + \nu)\varphi} \cong (- i)^{n}\exp\biggl(- i\frac{\nu\pi}{2} + i\xi_0\sqrt{\nu}\biggr), \\ \omega_0^{ix/\lambda_\mathrm{C}} \cong e^{-i\xi\sqrt{\nu}\ln\nu},\qquad e^{x(\varphi - \pi/2)/\lambda_\mathrm{C}} \cong e^{-\xi\xi_0},\qquad \delta^{\nu} \cong e^{- \xi_0^2/2},\qquad \varphi \cong \frac{\pi}{2} - \frac{\xi_0}{\sqrt{\nu}}, \\ \Gamma\biggl(\nu + \frac{ix}{\lambda_\mathrm{C}}\biggr) \cong \sqrt{\frac{2\pi}{\nu}}\exp\biggl(\nu\ln\nu - \nu + i\xi\sqrt{\nu}\ln\nu - \frac{1}{2}\xi^2\biggr), \\ [\Gamma(n + 2\nu)]^{- 1/2} \cong \sqrt[4]{\frac{\nu}{\pi}}\exp\biggl(\nu - \nu\ln 2 \nu - \frac{n}{2}\ln 2\nu\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.1}
$$
где введены обозначения $\xi = \lambda_0 x$, $\xi_0 = \lambda_0 x_0$. Из (8.1) для асимптотики нормировочной постоянной получаем выражение
$$
\begin{equation}
c_n^g \cong (- i)^{n}\frac{c_{\mathrm N0}}{\sqrt{2^{n}n!}}\sqrt{\frac{\nu}{2\pi}}\,n!\,\nu^{- n/2}\exp\biggl(-\frac{1}{2}\xi_0^2 + i\xi_0\,\sqrt{\nu} + \nu - \nu\ln\nu\biggr).
\end{equation}
\tag{8.2}
$$
Если теперь учесть (8.1), (8.2) и предельную формулу для полиномов Мейкснера–Поллачека [23], [24]
$$
\begin{equation}
\lim_{\nu \to \infty} \nu^{- n/2}P_n^{\nu}\biggl(\xi\sqrt{\nu};\arccos\frac{\xi_0}{\sqrt{\nu}}\biggr) = \frac{1}{n!}H_n(\xi + \xi_0),
\end{equation}
\tag{8.3}
$$
легко находим нерелятивистский предел волновой функции (3.6):
$$
\begin{equation}
\lim_{\nu \to \infty} \psi_n^g(x )e^{- i\sqrt{\nu}\xi_0} = (- i)^{n}\frac{c_{\mathrm N0}}{\sqrt{2^{n}n!}}e^{-(\xi + \xi_0)^2/2}H_n(\xi + \xi_0).
\end{equation}
\tag{8.4}
$$
8.2. Нерелятивистский предел волновой функции: импульсное представлениеДля вычисления предела волновой функции (3.12) удобно ввести новый параметр $\mu = mc^2/\hbar\omega$, после чего найдем асимптотику каждого из множителей по отдельности при $\mu \to \infty$. Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \zeta \cong 2\mu + 2\eta\sqrt{\mu} + \eta^2,\qquad \zeta^{\nu} \cong e^{(\mu +1/2)\ln 2\mu+\nu\sqrt{\mu}}, \\ e^{(i\rho - \delta)\zeta/2} \approx \exp\biggl(i\sqrt{\mu}\xi_0 + i\eta\xi_0 + \frac{1}{2}\xi_0^2 - \mu - \eta\sqrt{\mu} - \frac{1}{2}\eta^2\biggr), \\ \Gamma(n + 2\nu) \cong \sqrt{\frac{\pi}{\mu}}\exp[- 2\mu + (2\mu + n + 1)\ln 2\mu], \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.5}
$$
где $\eta = p/\sqrt{m\hbar\omega}$. Отсюда следует асимптотика нормировочной постоянной
$$
\begin{equation}
c'^{g}_n \cong \frac{c'_{\mathrm N0}}{\sqrt{2^{n}n!}}\sqrt{2^{n}}n!\exp\biggl[-\frac{1}{2}\xi_0^2 + \mu - \biggl(\mu + \frac{n + 1}{2}\biggr)\ln 2\mu\biggr].
\end{equation}
\tag{8.6}
$$
Воспользовавшись теперь асимптотическими формулами (8.5), (8.6) и предельной формулой для полиномов Лагерра [39]
$$
\begin{equation*}
\lim_{\mu \to \infty} \mu^{- n/2} L_n^{2\mu}(2\mu + 2\eta\sqrt{\mu}) = \frac{(- 1)^{n}}{n!} H_n(\eta),
\end{equation*}
\notag
$$
получаем нерелятивистский предел волновой функции (3.12) в импульсном представлении:
$$
\begin{equation}
\lim_{\mu \to \infty} \psi_n^g(p) e^{- i\sqrt{\mu}\xi_0} = (- 1)^{n}\frac{c'_{\mathrm N0}}{\sqrt{2^{n}n!}} e^{i\eta\xi_0 - \eta^2/2} H_n(\eta).
\end{equation}
\tag{8.7}
$$
8.3. Нерелятивистский предел генераторов динамической группы симметрииПриведем пределы повышающего и понижающего операторов $K_{\pm}^g$ (4.3):
$$
\begin{equation}
\lim_{c \to \infty}\sqrt{\frac{\omega_0}{2}}K_{\pm}^g(x)= -\frac{i}{\sqrt{2}\lambda_0}\partial_x \pm \frac{i}{\sqrt{2}}\lambda_0(x + x_0),
\end{equation}
\tag{8.8}
$$
$$
\begin{equation}
\lim_{c \to \infty}\sqrt{\frac{\omega_0}{2}}K_{\pm}^g(p) = \frac{p}{\sqrt{2}\lambda_0\hbar} \pm \frac{i}{\sqrt{2}}\lambda_0(i\hbar\partial_{p} + x_0).
\end{equation}
\tag{8.9}
$$
8.4. Нерелятивистский предел амплитуд переходовОтметим, что унитарный оператор $S^g$ (4.7), связывающий волновые функции релятивистского линейного осциллятора с внешним полем и без поля, в нерелятивистском пределе совпадает с точностью до несущественного постоянного фазового множителя с оператором сдвига $U^g$ (2.5), т. е.
$$
\begin{equation}
\lim_{c \to \infty} S^g e^{i\sqrt{\nu}\xi_0} = U^g.
\end{equation}
\tag{8.10}
$$
Следовательно, в нерелятивистском пределе матричный элемент (5.3) (релятивистская амплитуда перехода) будет совпадать с точностью до постоянного фазового множителя с нерелятивистской амплитудой переходов (2.19). В этом непосредственно можно убедиться, если учесть, что при $\nu \to \infty$ асимптотически имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{th}^{m + n}\frac{1}{2}\beta \cong \biggl(\frac{\alpha}{\sqrt{2\nu}}\biggr)^{m + n},\qquad \operatorname{ch} ^{2\nu}\biggl(\frac{1}{2}\beta\biggr) \cong e^{\alpha^2/2}, \\ (2\nu)_{m}(2\nu)_n \cong (2\nu)^{m + n},\qquad e^{if} \cong i^{m + n} e^{- i\xi_0\sqrt{\nu}} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8.11}
$$
и справедлива предельная формула для полиномов Мейкснера–Поллачека [39]
$$
\begin{equation*}
\lim_{\nu \to \infty}M_{m}\biggl(n;2\nu,\operatorname{th}^2\frac{1}{2}\beta\biggr) = C_{m}(n;\alpha^2).
\end{equation*}
\notag
$$
9. ЗаключениеВ настоящей работе мы продолжили исследование физических свойств релятивистской модели нерелятивистского линейного гармонического осциллятора при наличии постоянного однородного внешнего поля [19], [24]. Эта релятивистская модель обладает многими важными свойствами симметрии, присущими нерелятивистскому линейному гармоническому осциллятору, такими как точная решаемость, существование динамической группы симметрии и когерентных состояний, линейность дискретного энергетического спектра $E_n$ по квантовому числу $n$ или бесконечность числа и эквидистантность уровней энергии, возможность вероятностной интерпретации волновых функций, унитарная эквивалентность моделей с полем и без поля и т. д. Волновые функции данной модели, как и в случае отсутствия поля, в релятивистском конфигурационном $x$-пространстве выражаются через полиномы Мейкснера–Поллачека, а в импульсном $p$-пространстве Лобачевского – через полиномы Лагерра. Мы определили действие генераторов динамической группы симметрии $SU(1,1)$ на релятивистские волновые функции, вычислили двумя способами (способом прямого вычисления интегралов и алгебраическим способом) амплитуды переходов между дискретными энергетическими состояниями рассматриваемой системы. Кроме того, мы построили когерентные состояния как собственные состояния понижающего оператора (когерентные состояния Барута–Жирарделло) и нашли функции Грина. На примерах волновых функций, генераторов динамической группы симметрии и амплитуд переходов явным вычислением показали, что эти релятивистские величины имеют правильный нерелятивистский предел. Приложение A.Докажем равенство (4.7). Пользуясь формулой Бейкера–Хаусдорфа [40]
$$
\begin{equation}
e^{zK_+^0 - z^{*}K_-^0} = e^{e^{i\theta}tK_+^0} e^{u\Gamma_0^0} e^{e^{-i\theta}tK_-^0},
\end{equation}
\tag{A.1}
$$
где $z = re^{i\theta}$, $t = \operatorname{th} r$, $u = - 2\ln \operatorname{ch} r = \ln(1 - t^2)$, представим оператор $S^g$ (4.7) в распутанном нормальном виде:
$$
\begin{equation}
S^g = e^{itK_+^0}e^{u\Gamma_0^0}e^{itK_-^0}e^{i\gamma\Gamma_0^0},
\end{equation}
\tag{A.2}
$$
где в нашем случае $z = i\beta/2$, $t = \operatorname{th}(\beta/2) = \rho/(1 + \delta)$ и $u = - 2\ln \operatorname{ch} (\beta/2)$. Оператор (A.1) можно записать также в распутанном антинормальном виде:
$$
\begin{equation}
e^{zK_+^0 - z^{*}K_-^0} = e^{-e^{-i\theta}tK_-^0} e^{-u\Gamma_0^0} e^{e^{i\theta}tK_+^0}.
\end{equation}
\tag{A.3}
$$
С другой стороны, учитывая операторное представление (4.6) для ортонормированных состояний релятивистского линейного гармонического осциллятора во внешнем однородном поле, получим
$$
\begin{equation}
S^g\psi_n^0 = \frac{1}{\sqrt{n!(2\nu)_n}}S^g (-K_+^0)^n \psi^0_0 = \frac{1}{\sqrt{n!(2\nu)_n}} (-K_+^g)^n S^g\psi^0_0.
\end{equation}
\tag{A.4}
$$
Теперь достаточно показать, что $S^g\psi_0^0 = \psi_0^g$. Имеем
$$
\begin{equation}
S^g\psi_0^0 = e^{(i\gamma + u)\nu}\sum_{n = 0}^{\infty} (-it)^n \sqrt{\frac{(2\nu)_n}{n!}} \psi^0_n.
\end{equation}
\tag{A.5}
$$
В дальнейшем вычисление проводим в $x$-пространстве. Подставим явный вид в (A.5) и воспользуемся производящей функцией для полиномов Мейкснера–Поллачека [38]
$$
\begin{equation*}
\sum_{n = 0}^{\infty}z^{n}P_n^{\nu}(x;\varphi) = (1 - ze^{i\varphi})^{- \nu + ix}(1 - ze^{- i\varphi})^{- \nu - ix},\qquad |z| < 1,
\end{equation*}
\notag
$$
при $\varphi = \pi/2$. В результате приходим к выражению
$$
\begin{equation}
S^g\psi_0^0 = \frac{2^{\nu}}{\sqrt{2\pi\lambda_\mathrm{C}\Gamma(2\nu)}} e^{i\gamma\nu}\omega_0^{ix/\lambda_\mathrm{C}} \Gamma\biggl(\nu + \frac{ix}{\lambda_\mathrm{C}}\biggr)\biggl(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\biggr)^{\nu} \biggl(\frac{1 +it}{1 -it}\biggr)^{ix/\lambda_\mathrm{C}}.
\end{equation}
\tag{A.6}
$$
Если подставить теперь в (A.6) значение параметра $t$ из (A.2), то после простых преобразований получим, что правая часть равенства (A.6) действительно совпадает с волновой функцией $\psi_0^g$ (3.6) основного состояния релятивистского линейного осциллятора в однородном внешнем поле. Этим завершается доказательство соотношения (4.7). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NagMir23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|