| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Связанные иерархии КП и BКП и соответствующие симметрические функции Цянь-Цянь Ян, Чуань-Чжун Ли College of Mathematics and Systems Science, Shandong University of Science and Technology, Shandong, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923040025 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВершинные операторы, изначально возникшие в теории струн, стали играть ключевую роль во многих областях математики и физики [1]. Используя результаты теории симметрических функций, можно вычислить такие величины, как матричные элементы и следы произведений вершинных операторов. Эти величины выражаются через составные функции Шура и суперсимметричные функции Шура [2]–[4]. В работе [5] такое представление вершинных операторов применялось для исследования интегрируемых систем типа Кадомцева–Петвиашвили (КП). Для связанных интегрируемых систем типа КП необходимы два вершинных оператора $\Gamma$ и $\widehat\Gamma$, которые определяют бесконечномерную алгебру, лежащую в основе иерархии. В настоящей статье мы определяем двухкомпонентные вершинные операторы иерархии КП и иерархии КП типа B (иерархии BКП) и используем реализацию двухкомпонентных вершинных операторов в терминах симметрических функций для анализа этих иерархий. Алгебраическая теория иерархии КП, одного из важнейших представителей классических интегрируемых систем, возникает во многих областях математики и физики, таких как перечислительная алгебраическая геометрия, топологические поля и теория струн [6]. Интегрируемые системы тесно связаны с симметрическими функциями [7]–[10]. Как известно, решениями иерархии КП являются функции Шура [11], а решениями иерархии BКП являются Q-функции Шура [12]. Для связанных интегрируемых систем требуются двухкомпонентные функции Шура. В работе [13] была развита новая теория интегрируемых систем со значениями в алгебре Фробениуса. В работе [14] была построена новая иерархия, названная фробениусовой иерархией КП, которая принимает значения в максимальной коммутативной подалгебре алгебры $gl(m,\mathbb{C})$. В работе [15] были построены решения фробениусовой иерархии КП, которые выражаются через связанные функции Шура, являющиеся обобщением функций Шура. В работе [16] решения сильно связанной иерархии BКП были выражены через Q-функции Шура, а также определена сильно связанная иерархия универсальных характеров типа B, которая представляет собой обобщение иерархии КП [17], [18]. В работе [19] была введена двухкомпонентная иерархия универсальных характеров, определяемая $S_2$-значной скрученной формулой Якоби–Труди. В работе [20] было построено решение, выражающееся через симплектическую функцию Шура, для двухкомпонентной симплектической иерархии КП, которая обобщается на двухкомпонентную симплектическую иерархию универсальных характеров. Следует отметить, что двухкомпонентная функция Шура является частным случаем двухкомпонентного универсального характера, т. е. $S_{[\lambda,\hat\lambda]}(t)=S_{[\lambda,\varnothing;\hat\lambda,\varnothing]}(t,\hat t\,)$, а двухкомпонентная Q-функция Шура является частным случаем двухкомпонентного универсального характера типа B, т. е. $Q_{[\lambda,\hat\lambda]}(t)=Q_{[\lambda,\varnothing;\hat\lambda,\varnothing]}(t,\hat t\,)$, где $t=(t_1,t_2, \ldots)$ и $\hat t=(\hat t_1,\hat t_2,\ldots)$. В настоящей статье мы определяем двухкомпонентные функции Шура и Q-функции Шура с параметром $\epsilon$, которые являются обобщением упомянутых выше функций Шура. Связанная иерархия КП и BКП с параметром $\epsilon$, которую мы также определяем, представляет собой обобщение сильно связанных иерархий КП и BКП и является разновидностью “большой” иерархии BКП [21]–[23]. Затем мы исследуем билинейные уравнения Хироты, используя соотношения Плюккера, и рассматриваем применения предложенной реализации вершинных операторов через двухкомпонентные симметрические функции для интегрируемых систем типа КП. Использованные в нашей работе уравнения Плюккера записаны в терминах составных функций Шура. Характерная особенность составных функций Шура (одной переменной) связана с тем, что полиномы Шура являются решениями иерархии КП [11]. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы начинаем с перечисления некоторых основных результатов теории симметрических функций. Эти результаты полезны при последующем анализе иерархии КП и иерархии BКП. В разделе 3 мы представляем связанную иерархию КП с параметром $\epsilon$, показываем, как для этой иерархии из уравнений Плюккера получается билинейная форма Хироты, выраженная через некоторые симметрические функции, определяем двухкомпонентные функции Шура и двухкомпонентные вершинные операторы этой иерархии, а также исследуем действие двухкомпонентных вершинных операторов на двухкомпонентные функции Шура. В разделе 4 мы представляем связанную иерархию BКП с параметром $\epsilon $, определяем двухкомпонентные Q-функции Шура и двухкомпонентные вершинные операторы этой иерархии и проводим полностью аналогичный исследованиям в разделе 3 анализ связанной иерархии BКП с заменой функций Шура на Q-функции Шура. В разделе 5 приведены некоторые выводы. 2. Обзор результатов о симметрических функцияхВ этом разделе мы перечисляем некоторые результаты теории симметрических функций [5], [24], [25]. 2.1. Функции ШураРазбиение $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ – это последовательность неотрицательных целых чисел, такая что $\lambda_1\geqslant\lambda_2\geqslant\cdots\geqslant\lambda_n$. Число $l(\lambda)=n$ называется длиной разбиения $\lambda$, а сумма $|\lambda|\equiv\sum_{i=1}^{n}\lambda_i$ называется весом разбиения $\lambda$. Функция Шура $s_\lambda(x)$ бесконечного числа аргументов $x=(x_1,x_2,\ldots)$ определяется с помощью формулы Якоби–Труди как где $h_m(x)$ – полностью симметричные функции, производящая функция которых задается формулой
$$
\begin{equation}
\sum_{m=0}^{\infty} h_m(x) t^m=\prod_{i=1}^{\infty}(1-x_i t)^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Пусть $\mathbb{C}[x]=\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$ есть алгебра формальных степенных рядов от переменных $x=(x_1,x_2,\ldots)$ и $\Lambda$ – векторное пространство, натянутое на все мономиальные симметрические функции из $\mathbb{C}[x]$, которое называется подалгеброй симметрических функций. Множество функций Шура $s_\lambda(x)$, где $\lambda$ пробегает все разбиения, образует интегральный базис кольца $\Lambda$. В кольце $\Lambda$ вводится скалярное произведение, относительно которого функции Шура являются ортонормированными, $\langle s_\lambda,s_\mu\rangle=\delta_{\lambda\mu}$. Еще один ортогональный базис образуют степенные суммы $p_\lambda\equiv p_{\lambda_1}p_{\lambda_2}\ldots p_{\lambda_n}$ симметрических функций, $\langle p_\lambda,p_\mu\rangle=z_\lambda\delta_{\lambda\mu}$, где $z_\lambda=\prod_{i\geqslant 1}i^{m_i}m_i!$ и $m_i=m_i(\lambda)$ – число составляющих разбиения $\lambda$, равных $i$. Производящая функция симметрического полинома $p_m(x)$ задается как
$$
\begin{equation}
\sum_{m=1}^{\infty}p_m(x)t^{m-1}=\frac{d}{dt}\ln\prod_{i=1}^{\infty}(1-x_i t)^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Пусть $f$ – симметрическая функция, $D(f)$ обозначает сопряженное умножение на $f$. Тогда имеет место следующий результат: Связь между функциями Шура и степенными суммами проясняет соотношение, содержащее ряд из функций Шура:
$$
\begin{equation}
J(x;y)\equiv\sum_\lambda s_\lambda(x)s_\lambda(y)=\prod_{i,j=1}^{\infty}(1-x_iy_i)^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Формула (2.3) для производящей функции полиномов $p_m$ вместе с (2.5) влечет
$$
\begin{equation}
\sum_\lambda s_\lambda(x)s_\lambda(y)=\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m(x)p_m(y)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Другой ряд, составленный из функций Шура, имеет вид
$$
\begin{equation}
I(x;y)\equiv\sum_\lambda(-1)^{|\lambda|}s_\lambda(x)s_{\lambda'}(y)\prod_{i,j=1}^{\infty}(1-x_iy_i),
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $\lambda'$ – транспонированная диаграмма для $\lambda$. Приведем некоторые полезные для наших рассуждений свойства различных функций Шура. Произведение функций Шура, индексированных двумя разными разбиениями, дается выражением
$$
\begin{equation}
s_\mu^{}(x)s_\nu^{}(x)=\sum_\lambda c_{\mu\nu}^\lambda s_\lambda^{}(x),
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где коэффициенты $c_{\mu\nu}^\lambda$ определяются по правилу Литтлвуда–Ричардсона. Косая функция Шура, отвечающая косой диаграмме $\lambda/\mu$, определяется как
$$
\begin{equation}
s_{\lambda/\mu}^{}=\sum_\nu c_{\mu\nu}^\lambda s_\nu^{}(x).
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Эквивалентным образом $s_{\lambda/\mu}(x)=D(s_\mu(x))s_\lambda(x)$. Заметим, что $s_{\lambda/\mu}(x)=s_\lambda(x)$, когда $\mu=0$, и $s_{\lambda/\mu}(x)$ отлична от нуля, только если диаграмма Юнга, отвечающая разбиению $\mu$, лежит внутри диаграммы, отвечающей разбиению $\lambda$. Связь между косой функцией Шура и функцией Шура задается формулой
$$
\begin{equation}
s_\lambda(x,y)=\sum_\mu s_{\lambda/\mu}(x)s_\mu(y),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где составной аргумент $(x,y)$ обозначает набор переменных $(x_1,x_2,\ldots,y_1,y_2,\ldots)$. Суперсимметричная функция Шура от переменных $x$ и $y$ определяется как
$$
\begin{equation}
s_\lambda(x/y)=\sum_\mu (-1)^{|\mu|}s_{\lambda/\mu}(x)s_{\mu'}(y).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Суперсимметричные функции Шура удовлетворяют следующему соотношению:
$$
\begin{equation}
s_\mu^{}(x/y)s_\nu^{}(x/y)=\sum_\lambda C_{\mu\nu}^\lambda s_\lambda^{}(x/y).
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Составные функции Шура определяются формулой
$$
\begin{equation}
s_{\bar{\nu};\mu}=\sum_\xi (-1)^{|\xi|}s_{\nu/\xi'}\biggl(\frac{1}{x}\biggr)s_{\mu/\xi}(x).
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Составные и суперсимметричные функции Шура естественным образом возникают при работе с вершинными операторами, реализованными в терминах функций Шура. 2.2. Q-функции ШураПусть $\Gamma$ – кольцо симметрических функций, натянутое на степенные суммы $p_m(x)$ с нечетными $m$. Q-функции Шура, играющие важную роль в иерархии BКП, образуют базис кольца $\Gamma$. Впервые они были введены в контексте проективных представлений симметрических групп. Можно задать Q-функцию, соответствующую строгому разбиению $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, через пфаффиан:
$$
\begin{equation}
Q_\lambda(x)=\frac{1}{D(x)}\operatorname{Pf} \begin{pmatrix} \phantom{-}A(x) & W_\alpha(x) \\-W_\alpha^{\mathrm T}(x) & O \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где $x=(x_1,\ldots,x_{\hat n})$ – набор из $\hat n$ переменных, разбиение $\alpha=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, если $n+\hat n$ четно, и $\alpha=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n, 0)$, если $n+\hat n$ нечетно,
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D(x)=\prod_{1\leqslant i< j\leqslant\hat n}\frac{x_j-x_i}{x_j+x_i},\qquad A(x)=\biggl(\frac{x_j-x_i}{x_j+x_i}\biggr)_{1\leqslant i,j\leqslant\hat n}, \\ W_\alpha(x)=\bigl(\chi(\alpha_j)x_i^{\alpha_j}\bigr)_{\substack{1\leqslant i\leqslant\hat n\\ 1\leqslant j\leqslant n}}\,,\qquad \chi(r)=\begin{cases} 2, & r>0, \\ 1, & r=0. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В этой статье мы используем другое определение Q-функции:
$$
\begin{equation}
Q_\lambda(x)=\prod_{j<k}\frac{1-R_{jk}}{1+R_{jk}}q_\lambda(x),
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где $q_\lambda(x)=q_{\lambda_1}(x)\ldots q_{\lambda_n}(x)$ и производящая функция для $q_m(x)$ задается как
$$
\begin{equation}
\sum_{m=0}^{\infty} q_m(x) y^m=\prod_{i=1}^{\infty}\frac{1+x_i y}{1-x_i y}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Оператор Юнга $R_{jk}$ действует на $l$-кортежи, добавляя единицу к $j$-й компоненте и вычитая единицу из $k$-й компоненты. Его действие на $q_\lambda$ имеет вид $R_{jk}q_\lambda=q_{R_{jk}(\lambda)}$. Например,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Q_{(m,n)}^{}=\frac{1-R_{12}}{1+R_{12}} q_{(m,n)}&=(1-2R_{12}+2R_{12}^2-2R_{12}^3+\cdots)q_{(m,n)}= \notag\\ &=q_mq_n+2\sum_{k\geqslant1}(-1)^k q_{m+k} q_{n-k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Определение (2.15) можно обобщить на симметрические функции Холла–Литтлвуда. Q-функции удовлетворяют соотношению, аналогичному (2.5),
$$
\begin{equation}
\sum_{\lambda\in\mathrm{DP}}\frac{1}{b_\lambda}Q_\lambda(x)Q_\lambda(y)=\prod_{i,j=1}^{\infty}\frac{1+x_iy_j}{1-x_iy_j},
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $\mathrm{DP}$ – множество строгих разбиений (с различными частями) и $b_\lambda=2^{l(\lambda)}$. Из (2.3) имеем
$$
\begin{equation}
\prod_{i,j=1}^{\infty}\frac{1+x_iy_j}{1-x_iy_j}=\exp\biggl(2\sum_{\text{odd}\ m}\frac{1}{m}p_m(x)p_m(y)\biggr),
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
где “odd $m$” под знаком суммы и аналогичные выражения далее означают, что суммирование ведется по нечетным индексам. Это соотношение обеспечивает искомую связь между Q-функциями и нечетными степенными суммами:
$$
\begin{equation}
\sum_{\lambda\in\mathrm{DP}}\frac{1}{b_\lambda}Q_\lambda(x)Q_\lambda(y)=\exp\biggl(2\sum_{\text{odd}\ m}\frac{1}{m}p_m(x) p_m(y)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Существует скалярное произведение, относительно которого Q-функции являются ортогональными,
$$
\begin{equation}
\langle Q_\lambda(x),Q_\mu(x)\rangle=b_\lambda\delta_{\lambda\mu}.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Это скалярное произведение отличается от введенного выше скалярного произведения для функций Шура на множитель 2. В частности,
$$
\begin{equation}
D(p_m(x))=\frac{m}{2} \frac{\partial}{\partial p_m(x)}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Косая Q-функция задается как
$$
\begin{equation}
Q_\lambda (x/y)=\sum_{\nu\in\mathrm{DP}}(-1)^{|\nu|}Q_{\lambda/\nu}(x)Q_\nu(y),
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
а составная Q-функция – как
$$
\begin{equation}
Q_{\bar{\nu};\mu}(z)=\sum_{\xi\in\mathrm{DP}}(-1)^{|\xi|}\frac{b_\xi}{b_\nu}Q_{\mu/\xi}(z)Q_{\nu/\xi}\biggl(\frac{1}{z}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
3. Связанная иерархия КП и двухкомпонентные функции ШураВ этом разделе мы вводим связанную иерархию КП с параметром $\epsilon$, задаем двухкомпонентные функции Шура и двухкомпонентные вершинные операторы для этой иерархии, а также исследуем действие двухкомпонентных вершинных операторов на двухкомпонентные функции Шура. 3.1. Связанная иерархия КПЭта иерархия задается уравнениями Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial L_1}{\partial x_n}&=\frac{1}{2} \bigl[\bigl((L_1+\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}+(L_1-\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}\bigr)_{+},L_1\bigr]+{} \\ &\quad +\frac{1}{2}\sqrt{\epsilon}\, \bigl[\bigl((L_1+\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}-(L_1-\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}\bigr)_{+},L_2\bigr]= \\ &=[B_{n1},L_1]+\epsilon [B_{n2},L_2], \\ \frac{\partial L_2}{\partial x_n}&=\frac{1}{2} \bigl[\bigl((L_1+\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}+(L_1-\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}\bigr)_{+},L_2\bigr]+{} \\ &\quad +\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}}\, \bigl[\bigl((L_1+\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}-(L_1-\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}\bigr)_{+},L_1\bigr]= \\ &=[B_{n1},L_2]+[B_{n2},L_1], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
L_1=\partial+\sum_{i=1}^{\infty} u_{i1}\partial^{-i}, \qquad L_2=\sum_{i=1}^{\infty} u_{i2}\partial^{-i}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, B_{n1}&=\frac{1}{2}\bigl((L_1+\sqrt{\epsilon}L_2)^{n}+(L_1-\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}\bigr)_{+}, \\ B_{n2}&=\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}}\bigl((L_1+\sqrt{\epsilon}L_2)^{n}-(L_1-\sqrt{\epsilon} L_2)^{n}\bigr)_{+}; \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
здесь $\partial\equiv\partial/\partial x_1$, а $P_{+}$ обозначает дифференциальную операторную часть псевдодифференциального оператора $P$. Эквивалентным образом можно задать связанную иерархию КП в форме Сато
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\partial W_1}{\partial x_n}&=B_{n1} W_1+\epsilon B_{n2}W_2-W_1\partial^{n}, \\ \frac{\partial W_2}{\partial x_n}&=B_{n2} W_1+B_{n1} W_2-W_2\partial^{n}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
используя одевающее преобразование
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_1&=\frac{1}{W_1^{2}-\epsilon W_2^2}\bigl(W_1\,\partial W_1-\epsilon W_2\,\partial W_2\bigr), \\ L_2&=\frac{1}{W_1^{2}-\epsilon W_2^2}\bigl(W_2\,\partial W_1-W_1\,\partial W_2\bigr) ,\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где
$$
\begin{equation}
W_1=1+\sum_{i=1}^{\infty} w_{i1}\partial^{-i},\qquad W_2=\sum_{i=1}^{\infty} w_{i2}\partial^{-i}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Связанную иерархию КП также можно записать как двухкомпонентную линейную систему
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} L_1w_1+\epsilon L_2w_2&=zw_1,&\qquad\frac{\partial w_1}{\partial x_n}&=B_{n1}w_1+\epsilon B_{n2}w_2, \\ L_2w_1+L_1w_2&=zw_2,&\qquad \frac{\partial w_2}{\partial x_n}&=B_{n2}w_1+B_{n1}w_2, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $z$ – спектральный параметр, не зависящий от $x_n$, т. е. $\partial z/\partial x_n=0$. Здесь две волновые функции $w_1(x,z)$ и $w_2(x,z)$ задаются как
$$
\begin{equation}
w_1(x,z)=W_1\exp\Bigl(\,\sum x_k z^k\Bigr),\qquad w_2(x,z)=W_2\exp\Bigl(\,\sum x_k z^k\Bigr),
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
а их сопряженные $w_1^*$ и $w_2^*(x,z)$ – как
$$
\begin{equation}
w_1^*(x,z)=W_1^*\exp\Bigl(\,\sum x_k^{}z^k\Bigr),\qquad w_2^*(x,z)=W_2^*\exp\Bigl(\,\sum x_k^{}z^k\Bigr),
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $W^*$ – оператор, формально сопряженный к $W$. В терминах волновой функции и сопряженной волновой функции мы имеем еще одну эквивалентную форму связанной иерархии КП:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\oint\frac{dz}{2\pi i}\bigl(w_1(x,z)w_1^*(x,z)+\epsilon w_2(x,z)w_2^*(x,z)\bigr)=0, \\ &\oint\frac{dz}{2\pi i}\bigl(w_2(x,z)w_1^*(x,z)+w_1(x,z)w_2^*(x,z)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Это “билинейное тождество” для данной иерархии. Если задана пара волновых функций $w_1(x,z)$ и $w_2(x,z)$, можно получить две соответствующие тау-функции $\tau(x)$ и $\sigma(x)$ с помощью формул
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, w_1(x,z)&=\frac{\exp\bigl(\sum_k x_k z^k\bigr)}{\tau^2(x)-\epsilon\sigma^2(x)}\times{} \\ &\quad \times\biggl(\tau(x)\exp\biggl(-\sum_k\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\tau(x)- \epsilon\sigma(x)\exp\biggl(-\sum_k\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\sigma(x)\biggr), \\ w_2(x,z)&=\frac{\exp\bigl(\sum_k x_k z^k\bigr)}{\tau^2(x)-\epsilon\sigma^2(x)}\times{} \\ &\quad \times\biggl(-\sigma(x)\exp\biggl(-\sum_k\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\tau(x)+ \tau(x)\exp\biggl(-\sum_k\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\sigma(x)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате имеем представление иерархии через тау-функции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \oint\frac{dz}{2\pi i}\exp\biggl(\,\sum_{k=1}^{\infty} z^k (x_k-y_k)\biggr) \exp\biggl(-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{-k}}{k}&\biggl(\frac{\partial}{\partial x_k}-\frac{\partial}{\partial y_k}\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\times(\tau(x)\tau(y)+\epsilon\sigma(x)\sigma(y))=0, \\ \oint\frac{dz}{2\pi i}\exp\biggl(\,\sum_{k=1}^{\infty} z^k (x_k-y_k)\biggr) \exp\biggl(-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{-k}}{k}&\biggl(\frac{\partial}{\partial x_k}-\frac{\partial}{\partial y_k}\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\times(\tau(x)\sigma(y)+\sigma(x)\tau(y))=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Заменяя переменные $x$ и $y$ на $x-y$ и $x+y$, приходим к билинейной форме Хироты
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_m S_m(-2y) S_{m+1}(\widetilde D)\exp\Bigl(\,\sum y_k D_k\Bigr)(\tau\cdot\tau+\epsilon\sigma\cdot\sigma)=0, \\ &\sum_m S_m(-2y) S_{m+1}(\widetilde D)\exp\Bigl(\,\sum y_k D_k\Bigr)(\tau\cdot\sigma+\sigma\cdot\tau)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $S_m$ – элементарные полиномы Шура и $\widetilde D=(\frac{D_1}{1},\frac{D_2}{2},\frac{D_3}{3},\ldots)$. Производящая функция полиномов $S_m$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\exp\biggl(\,\sum_{k=1}^{\infty} x_k z^k\biggr)=\sum_{k=0}^{\infty} S_k(x)z^k,
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
а производная Хироты $D_k$ определяется как
$$
\begin{equation}
P(D_k)(\tau\cdot\tau)=P\biggl(\frac{\partial}{\partial x_k}-\frac{\partial}{\partial y_k}\biggr)\tau(x)\tau(y)\big|_{y=x}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
для любого полинома $P$. 3.2. От билинейного тождества к уравнениям ПлюккераПолиномы Шура $S_\lambda(x)=\det(S_{\lambda_i-i+j}(x))$ являются решениями иерархии КП. Если сравнивать полиномы и функции Шура, то $S_\lambda(x)=s_\lambda(u)$, если $x_k=\frac{1}{k}p_k(u)$ с $u=(u_1, u_2,\ldots) $. Для записи билинейного тождества (3.11) через функцию Шура сделаем замену переменных $x_k=\frac{1}{k}p_k(u)$ и $y_k=\frac{1}{k}p_k(v)$. В силу (2.4) эта замена переменных сопровождается заменами $\partial/\partial x_k=D(p_k(u))$ и $\partial/\partial y_k=D(p_k(v))$. Введем многомерную переменную $z=(z_1,z_2,\ldots)$ и в конце положим $z_1=z$, $0=z_2=z_3=\cdots{}$. Билинейное тождество (3.11) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0=\oint&\frac{dz}{2\pi i}\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m(z) p_m(u)\biggr) \exp\biggl(-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\;\times\exp\biggl(-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m(z)p_m(v)\biggr) \exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_m(v))\biggr)\times{} \\ &\kern184pt\times(\tau(u)\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)), \\ 0=\oint&\frac{dz}{2\pi i}\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m(z)p_m(u)\biggr) \exp\biggl(-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\;\times\exp\biggl(-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m(z) p_m(v)\biggr) \exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}p_m\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_m(v))\biggr)\times{} \\ &\kern184pt\times(\tau(u)\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Рассматривая $\tau$ и $\sigma$ как симметрические функции от $u$, получаем, используя соответственно (2.6) и (2.7),
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 0=\oint&\frac{dz}{2\pi i}\biggl(\,\sum_\lambda s_\lambda(u)s_\lambda(z)\biggr) \biggl(\,\sum_{\rho}(-1)^{|\rho|}s_{\rho'}\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(s_{\rho}(u))\biggr)\times{} \notag\\ &\times\biggl(\,\sum_\mu (-1)^{|\mu|}s_\mu(v)s_{\mu'}(z)\biggr) \biggl(\,\sum_\nu s_\nu\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(s_\nu(v))\biggr)(\tau(u)\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)), \notag\\ {} \\ 0=\oint&\frac{dz}{2\pi i}\biggl(\,\sum_\lambda s_\lambda(u)s_\lambda(z)\biggr) \biggl(\,\sum_{\rho}(-1)^{|\rho|}s_{\rho'}\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(s_{\rho}(u))\biggr)\times{} \notag\\ &\times\biggl(\,\sum_\mu (-1)^{|\mu|}s_\mu(v)s_{\mu'}(z)\biggr) \biggl(\,\sum_\nu s_\nu\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(s_\nu(v))\biggr)(\tau(u)\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Полученные уравнения можно записать в более компактной форме, используя суперсимметричные функции Шура:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&=\oint\frac{dz}{2\pi i}\biggl(\,\sum_\nu s_\nu(u/v)s_\nu (z)\biggr) \biggl(\,\sum_\xi D(s_\xi(u/v))s_\xi\biggl(\frac{1}{z}\biggr)\!\biggr) (\tau(u)\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)), \\ 0&=\oint\frac{dz}{2\pi i}\biggl(\,\sum_\nu s_\nu(u/v)s_\nu (z)\biggr) \biggl(\,\sum_\xi D(s_\xi(u/v))s_\xi\biggl(\frac{1}{z}\biggr)\!\biggr) (\tau(u)\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая $\tau$ и $\sigma$ как симметрические функции от $u$, мы можем выразить их как линейные комбинации функций Шура:
$$
\begin{equation}
\tau(u)=\sum_\lambda a^\lambda s_\lambda(u),\qquad \sigma(u)=\sum_{\hat\lambda}b^{\hat\lambda}s_{\hat\lambda}(u).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Подставим $\tau$ и $\sigma$ из (3.17) в (3.16), получим по определению косых функций Шура
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0=\oint\frac{dz}{2\pi i}\sum\biggl(s_\lambda(u) s_\lambda(z)& (-1)^{|\rho|}s_{\rho'}\biggl(\frac{1}{z}\biggr) (-1)^{|\mu|}s_\mu(v)s_{\mu'}(z)s_\nu\biggl(\frac{1}{z}\biggr)\times{} \\ &\times \bigl(a^{\eta_1}s_{\eta_1/\rho}(u)a^{\xi_1}s_{\xi_1/\nu}(v)+\epsilon b^{\eta_2}s_{\eta_2/\rho}(u)b^{\xi_2}s_{\xi_2/\nu}(v)\bigr)\biggr), \\ 0=\oint\frac{dz}{2\pi i}\sum\biggl(s_\lambda(u)s_\lambda(z)& (-1)^{|\rho|}s_{\rho'}\biggl(\frac{1}{z}\biggr) (-1)^{|\mu|}s_\mu(v)s_{\mu'}(z)s_\nu\biggl(\frac{1}{z}\biggr)\times{} \\ &\times \bigl(a^{\eta_3}s_{\eta_3/\rho}(u)a^{\xi_3}s_{\xi_3/\nu}(v)+\epsilon b^{\eta_4}s_{\eta_4/\rho}(u)b^{\xi_4}s_{\xi_4/\nu}(v)\bigr)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (2.9) и (2.10), выводим уравнения для косых функций Шура от $z$ и $z^{-1}$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \oint\frac{dz}{2\pi i}\sum \biggl(&s_\beta(u)s_{\beta/\zeta}(z)s_{\eta'_1/\zeta'}\biggl(-\frac{1}{z}\biggr) a^{\eta_1}s_\alpha(v)s_{\alpha'/\chi'}(-z)s_{\xi_1/\chi}\biggl(\frac{1}{z}\biggr)a^{\xi_1}+{} \\ &\;\;+\epsilon s_\beta(u)s_{\beta/\zeta}(z)s_{\eta'_2/\zeta'}\biggl(-\frac{1}{z}\biggr) b^{\eta_2} s_\alpha(v)s_{\alpha'/\chi'}(-z)s_{\xi_2/\chi}\biggl(\frac{1}{z}\biggr)b^{\xi_2}\biggr)=0, \\ \oint\frac{dz}{2\pi i}\sum \biggl(&s_\beta(u)s_{\beta/\zeta}(z)s_{\eta'_3/\zeta'}\biggl(-\frac{1}{z}\biggr) a^{\eta_3}s_\alpha(v)s_{\alpha'/\chi'}(-z)s_{\xi_3/\chi}\biggl(\frac{1}{z}\biggr) b^{\xi_3}+{} \\ &\;\;+s_\beta (u)s_{\beta/\zeta}(z)s_{\eta'_4/\zeta'}\biggl(-\frac{1}{z}\biggr)b^{\eta_4} s_\alpha(v)s_{\alpha'/\chi'}(-z)s_{\xi_4/\chi}\biggl(\frac{1}{z}\biggr)a^{\xi_4}\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы видим, что функции от $z$ и $z^{-1}$ дают комбинации, используемые для определения составных функций Шура (2.13), в результате получаем уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \oint\frac{dz}{2\pi i} \biggl(&\,\sum_{\eta_1,\xi_1}(-1)^{|\eta_1|+|\alpha|}a^{\eta_1}a^{\xi_1}s_{\bar{\eta_1}';\beta}(z)s_{\bar{\xi_1}';\alpha'}(z)+{} \\ &\;\;+\epsilon\sum_{\eta_2,\xi_2}(-1)^{|\eta_2|+|\alpha|}b^{\eta_2}b^{\xi_2}s_{\bar{\eta_2}';\beta}(z)s_{\bar{\xi_2}';\alpha'}(z)\biggr)=0, \\ \oint\frac{dz}{2\pi i} \biggl(&\,\sum_{\eta_3,\xi_3}(-1)^{|\eta_3|+|\alpha|}a^{\eta_3}b^{\xi_3}s_{\bar{\eta_3}';\beta}(z)s_{\bar{\xi_3}';\alpha'}(z)+{} \\ &\;\;+\epsilon\sum_{\eta_4,\xi_4}(-1)^{|\eta_4|+|\alpha|}b^{\eta_4}a^{\xi_4}s_{\bar{\eta_4}';\beta}(z)s_{\bar{\xi_4}';\alpha'}(z)\biggr)=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
которые должны быть выполнены для любых $\alpha$ и $\beta$, если функции (3.17) дают решение иерархии КП. Мы уже положили $z_1=z$, $z_2=z_3=\cdots=0$ в многомерной переменной $z$, поэтому представленные выше функции Шура и косые функции Шура фактически являются функциями одной переменной. Для функций Шура одной переменной функция $s_\lambda(z)$ отлична от нуля только в том случае, когда $\lambda$ является разбиением, состоящим из одной части, при этом $s_{(m)}(z)=h_m(z)$ – полностью симметричная функция. Для косых функций Шура одной переменной функция $s_{\lambda/\mu}$ отлична от нуля только в том случае, когда косая диаграмма $\lambda-\mu$ является “горизонтальной полосой”, при этом $s_{\lambda/\mu}(z)=z^{|\lambda|-|\mu|}$. Косая диаграмма $\lambda/\mu$ – это конфигурация клеток, в которой клетка в $i$-й строке $i$ и в $j$-м столбце присутствует тогда и только тогда, когда $\mu_i<j\leqslant\lambda_i$. Горизонтальная полоса означает, что $\lambda_j'-\mu_j'\leqslant 1$ для всех $j$ (здесь $\lambda_j'$ – количество клеток в $j$-м столбце диаграммы). Тогда составные функции Шура, фигурирующие в (3.18), можно найти в явном виде. Непосредственными вычислениями получаем два набора нетривиальных уравнений Плюккера, справедливых для всех $\alpha$ и $\beta$ при $|\alpha|+|\beta|\leqslant 5$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a^{(0)}a^{(2,2)}&+a^{(1,1)}a^{(2)}-a^{(2,1)}a^{(1)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(2,2)}+b^{(1,1)}b^{(2)}-b^{(2,1)}b^{(1)}\bigr)=0, \\ a^{(0)}a^{(3,2)}&+a^{(1,1)}a^{(3)}-a^{(3,1)}a^{(1)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(3,2)}+b^{(1,1)}b^{(3)}-b^{(3,1)}b^{(1)}\bigr)=0, \\ a^{(0)}a^{(2,2,1)}&+a^{(1,1,1)}a^{(2)}-a^{(2,1,1)}a^{(1)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(2,2,1)}+b^{(1,1,1)}b^{(2)}-b^{(2,1,1)}b^{(1)}\bigr)=0, \\ a^{(0)}a^{(4,2)}&+a^{(1,1)}a^{(4)}-a^{(4,1)}a^{(1)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(4,2)}+b^{(1,1)}b^{(4)}-b^{(4,1)}b^{(1)}\bigr)=0, \\ a^{(0)}a^{(3,3)}&+a^{(2,1)}a^{(3)}-a^{(3,1)}a^{(2)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(3,3)}+b^{(2,1)}b^{(3)}-b^{(3,1)}b^{(2)}\bigr)=0, \\ a^{(0)}a^{(3,2,1)}&+a^{(1,1,1)}a^{(3)}-a^{(3,1,1)}a^{(1)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(3,2,1)}+b^{(1,1,1)}b^{(3)}-b^{(3,1,1)}b^{(1)}\bigr)=0, \\ a^{(0)}a^{(2,2,1,1)}&+a^{(1,1,1,1)}a^{(2)}-a^{(2,1,1,1)}a^{(1)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(2,2,1,1)}+b^{(1,1,1,1)}b^{(2)}-b^{(2,1,1,1)}b^{(1)}\bigr)=0, \\ a^{(0)}a^{(2,2,2)}&+a^{(1,1,1)}a^{(2,1)}-a^{(2,1,1)}a^{(1,1)}+{} \\ &+\epsilon\bigl(b^{(0)}b^{(2,2,2)}+b^{(1,1,1)}b^{(2,1)}-b^{(2,1,1)}b^{(1,1)}\bigr)=0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a^{(0)}b^{(2,2)}&+a^{(1,1)}b^{(2)}-a^{(2,1)}b^{(1)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(2,2)}+b^{(1,1)}a^{(2)}-b^{(2,1)}a^{(1)}=0, \\ a^{(0)}b^{(3,2)}&+a^{(1,1)}b^{(3)}-a^{(3,1)}b^{(1)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(3,2)}+b^{(1,1)}a^{(3)}-b^{(3,1)}a^{(1)}=0, \\ a^{(0)}b^{(2,2,1)}&+a^{(1,1,1)}b^{(2)}-a^{(2,1,1)}b^{(1)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(2,2,1)}+b^{(1,1,1)}a^{(2)}-b^{(2,1,1)}a^{(1)}=0, \\ a^{(0)}b^{(4,2)}&+a^{(1,1)}b^{(4)}-a^{(4,1)}b^{(1)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(4,2)}+b^{(1,1)}a^{(4)}-b^{(4,1)}a^{(1)}=0, \\ a^{(0)}b^{(3,3)}&+a^{(2,1)}b^{(3)}-a^{(3,1)}b^{(2)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(3,3)}+b^{(2,1)}a^{(3)}-b^{(3,1)}a^{(2)}=0, \\ a^{(0)}b^{(3,2,1)}&+a^{(1,1,1)}b^{(3)}-a^{(3,1,1)}b^{(1)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(3,2,1)}+b^{(1,1,1)}a^{(3)}-b^{(3,1,1)}a^{(1)}=0, \\ a^{(0)}b^{(2,2,1,1)}&+a^{(1,1,1,1)}b^{(2)}-a^{(2,1,1,1)}b^{(1)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(2,2,1,1)}+b^{(1,1,1,1)}a^{(2)}-b^{(2,1,1,1)}a^{(1)}=0, \\ a^{(0)}b^{(2,2,2)}&+a^{(1,1,1)}b^{(2,1)}-a^{(2,1,1)}b^{(1,1)}+{} \\ &+b^{(0)}a^{(2,2,2)}+b^{(1,1,1)}a^{(2,1)}-b^{(2,1,1)}a^{(1,1)}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Метод вычислений, необходимых для получения уравнений Плюккера с помощью составной функции Шура, можно найти в приложении к статье [5]. Из уравнений Плюккера мы получаем билинейные уравнения для $\tau(x)$ и $\sigma(x)$. Во-первых, положив $\tau=\tau(u,w)$, $\sigma= \sigma(u,w)$, имеем разложения
$$
\begin{equation}
\tau(u,w)=\sum_\alpha a^{\alpha}s_\alpha(u,w),\qquad \sigma(u,w)=\sum_{\hat\alpha}b^{\hat\alpha}s_{\hat\alpha}(u,w).
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
С учетом (2.13) эти разложения принимают вид
$$
\begin{equation}
\tau(u,w)=\sum_{\alpha,\beta}a^{\alpha}s_{\alpha/\beta}(u)s_\beta(w),\qquad \sigma(u,w)=\sum_{\hat\alpha,\hat\beta}b^{\hat\alpha}s_{\hat\alpha/\hat\beta}(u)s_{\hat\beta}(w).
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
Во-вторых, рассмотрим $\tau(u,w)$ и $\sigma(u,w)$ как функции от $w$. Тогда функции
$$
\begin{equation*}
a^{\beta}(u)\equiv \sum_\beta a^{\alpha}s_{\alpha/\beta}(u),\qquad b^{\hat\beta}(u)\equiv\sum_{\hat\beta}b^{\hat\alpha}s_{\hat\alpha/\hat\beta}(u)
\end{equation*}
\notag
$$
также удовлетворяют уравнениям (3.19) и (3.20). Отсюда имеем
$$
\begin{equation}
a^{\beta}(u)=S_\beta(\tilde\partial_{x}\tau(x)),\qquad b^{\hat\beta}(u)=S_{\hat\beta}(\tilde\partial_{x}\sigma(x)),
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
где $\tilde\partial=(\partial_{x_1},\frac{1}{2}\partial_{x_2},\ldots)$. Это означает, что каждое уравнение Плюкера имеет билинейный эквивалент в частных производных. Для доказательства (3.23) заметим, что
$$
\begin{equation*}
a^{\beta}(u)\equiv D(s_\beta(u))\tau(u),\qquad b^{\hat\beta}(u)\equiv D(s_{\hat\beta}(u))\sigma(u)
\end{equation*}
\notag
$$
имеют производящие функции, заданные как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_\beta a^{\beta}(u)s_\beta(t)&=D\biggl(\,\sum_\beta s_\beta(t)s_\beta(u)\biggr)\tau(u)= \\ &=\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}p_m(t)\frac{\partial}{\partial p_m(u)}\biggr)\tau(u)= \sum_\beta s_\beta(t)S_\beta(y)\tau(u), \\ \sum_{\hat\beta}b^{\hat\beta}(u)s_{\hat\beta}(t)&=D\biggl(\,\sum_{\hat\beta}s_{\hat\beta}(t)s_{\hat\beta}(u)\biggr)\sigma(u)= \\ &=\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}p_m(t)\frac{\partial}{\partial p_m(u)}\biggr)\sigma(u)= \sum_{\hat\beta}s_{\hat\beta}(t)S_{\hat\beta}(y)\sigma(u), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
с фиктивными переменными $y_m=\frac{1}{m}\frac{\partial}{\partial p_m(u)}$. После преобразования $x_k=\frac{1}{k}p_k(u)$ и $y_k=\frac{1}{k}p_k(v)$ мы возвращаемся к обычным переменным иерархии КП. Уравнения (3.23) можно вывести, используя соотношение (2.4) и формулу Фробениуса $s_{\rho}(t)=\sum_\lambda z_\lambda^{-1}\chi_\lambda^{\rho}p_\lambda(t)$, где $\chi_\lambda^{\rho}$ – характер симметрической группы. Из первых уравнений в (3.19) и (3.20) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(S_{(0)}(\tilde\partial)\tau(x))(S_{(2,2)}(\tilde\partial)\tau(x))+ (S_{(2)}(\tilde\partial)\tau(x))(S_{(1,1)}(\tilde\partial)\tau(x))-{} \\ &\kern180pt -(S_{(2,1)}(\tilde\partial)\tau(x))(S_{(1)}(\tilde\partial)\tau(x))+{} \\ &\quad +\epsilon\bigl( (S_{(0)}(\tilde\partial)\sigma(x))(S_{(2,2)}(\tilde\partial)\sigma(x))+ (S_{(2)}(\tilde\partial)\sigma(x))(S_{(1,1)}(\tilde\partial)\sigma(x))-{} \\ &\kern180pt -(S_{(2,1)}(\tilde\partial)\sigma(x))(S_{(1)}(\tilde\partial)\sigma(x))\bigr)=0, \\ &(S_{(0)}(\tilde\partial)\tau(x))(S_{(2,2)}(\tilde\partial)\sigma(x))+ (S_{(2)}(\tilde\partial)\tau(x))(S_{(1,1)}(\tilde\partial)\sigma(x))-{} \\ &\kern180pt -(S_{(2,1)}(\tilde\partial)\tau(x))(S_{(1)}(\tilde\partial)\sigma(x))+{} \\ &\quad+\bigl( (S_{(0)}(\tilde\partial)\sigma(x))(S_{(2,2)}(\tilde\partial)\tau(x))+ (S_{(2)}(\tilde\partial)\sigma(x))(S_{(1,1)}(\tilde\partial)\tau(x))-{} \\ &\kern180pt -(S_{(2,1)}(\tilde\partial)\sigma(x))(S_{(1)}(\tilde\partial)\tau(x))\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычисляя полиномы Шура, мы находим, что эти уравнения совпадают с уравнениями связанной иерархии КП в билинейной форме Хироты
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(4D_1D_3-D_1^{4}-3D_2^2)(\tau\cdot\tau+\epsilon\sigma\cdot\sigma)=0, \\ &(4D_1D_3-D_1^{4}-3D_2^2)(\tau\cdot\sigma+\sigma\cdot\tau)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Разность между билинейными эквивалентами следующих двух уравнений в (3.19) и (3.20) дает вторые уравнения связанной иерархии КП в билинейной форме Хироты
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(D_1^3 D_2-3D_1D_4+2D_2D_3)(\tau\cdot\tau+\epsilon\sigma\cdot\sigma)=0, \\ &(D_1^3 D_2-3D_1D_4+2D_2D_3)(\tau\cdot\sigma+\sigma\cdot\tau)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
3.3. Двухкомпонентные функции Шура и решения иерархии КППриведем некоторое обобщение корреляционной формулы для функции Шура, чтобы более ясно описать решения связанной иерархии КП. Для пары разбиений $\lambda$ и $\hat\lambda$ двухкомпонентные функции Шура $s_{[\lambda,\hat\lambda]}=s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)$ и $\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}=\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)$ представляют собой полиномы от $x=(x_1,x_2,\ldots)$, которые задаются следующим образом с помощью $S_2$-значной скрученной формулы Якоби–Труди:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)&=\sum_{i=0}^l\epsilon^{[i/2]}\sum_{\sum_{j=1}^l\!\alpha_j=2i}s_{\lambda^{(\alpha)}}(x), \\ \hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)&=\sum_{i=0}^l\epsilon^{[i/2]}\sum_{\sum_{j=1}^l\!\alpha_j=2i+1}s_{\hat\lambda^{(\alpha)}}(x). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Здесь $l=l(\lambda)=l(\hat\lambda)$, разбиения задаются как $\lambda^{(\alpha)}=(\lambda_1^{(\alpha_1)},\ldots,\lambda_l^{(\alpha_l)})$ для $\alpha_i=0,1$, при этом $\lambda_i^{(0)}=\lambda_i$, $\lambda_i^{(1)}=\hat\lambda_i$, где $i\in\mathbb{N}$. Заметим, что $s_\lambda(x)=s_{[\lambda,\varnothing]}(x)$. Таким образом, функцию Шура можно рассматривать как частный случай двухкомпонентной функции Шура. Далее приведем некоторые полезные формулы для двухкомпонентных функций Шура. Производящие функции полиномов $p_m'(x)$ и $\hat p_m'(x)$ определяются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_{m=1}^{\infty} p'_m (x,\hat x)t^{m-1}&=\frac{d}{dt}\ln\prod_{i=1}\frac{1-x_it}{(1-x_i t)^2-(\hat x_it)^2}, \\ \sum_{m=1}^{\infty}\hat p'_m (x,\hat x)t^{m-1}&=\frac{d}{dt}\ln\prod_{i=1} \frac{\hat x_i t}{(1-x_i t)^2-(\hat x_it)^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
Связь между двухкомпонентными функциями Шура и степенными суммами задается равенствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J'(x;y;\hat x;\hat y)&\equiv\sum_{\lambda,\hat\lambda} \bigl(s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(y)+\epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat x)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat y)\bigr)= \\ &=\prod_{i,j=1}^{\infty}\frac{1-x_iy_j-\epsilon\hat x_i\hat y_j}{(1-x_iy_j-\epsilon\hat x_i\hat y_j)^{2}-\epsilon(x_i\hat y_j+\hat x_iy_j)}, \\ \hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)&\equiv\sum_{\lambda,\hat\lambda} \bigl(s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat y)+\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat x)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(y)\bigr)= \\ &=\prod_{i,j=1}^{\infty}\frac{x_i\hat y_j+\hat x_iy_j}{(1-x_iy_j-\epsilon\hat x_i\hat y_j)^{2}-\epsilon(x_i\hat y_j+\hat x_iy_j)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Формулы (3.28) и (3.29) влекут
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_{\lambda,\hat\lambda}& \bigl(s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(y)+ \epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat x)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat y)\bigr)= \\ &=\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}(p'_m(x,\hat x) p'_m(y,\hat y)+\epsilon\hat p'_m(x,\hat x)\hat p'_m(y,\hat y))\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad \times \operatorname{ch} \biggl(\sqrt{\epsilon}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}(p'_m(x,\hat x)\hat p'_m(y,\hat y)+\hat p'_m(x,\hat x) p'_m(y,\hat y))\biggr), \\ \sum_{\lambda,\hat\lambda}& \bigl(s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat y)+\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat x)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(y)\bigr)= \\ &=\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}(p'_m(x,\hat x) p'_m(y,\hat y)+\epsilon\hat p'_m(x,\hat x)\hat p'_m(y,\hat y))\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad\times \operatorname{sh} \biggl(\sqrt{\epsilon}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}(p'_m(x,\hat x)\hat p'_m(y,\hat y)+\hat p'_m(x,\hat x)p'_m(y,\hat y))\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует еще один ряд из двухкомпонентных функций Шура:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I'(x;y;\hat x;\hat y)&\equiv\sum_{\lambda,\hat\lambda}(-1)^{|\lambda|} \bigl(s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)s_{[\lambda',\hat{\lambda'}]}(y)+ \epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat x)\hat s_{[\lambda',\hat\lambda']}(\hat y)\bigr)= \\ &=\prod_{i,j=1}^{\infty}(1-x_iy_j-\epsilon\hat x_i\hat y_j), \\ \hat I'(x;y;\hat x;\hat y)&\equiv\sum_{\lambda,\hat\lambda}(-1)^{|\lambda|} \bigl(s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)\hat s_{[\lambda',\hat{\lambda'}]}(\hat y)+ \hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(\hat x)s_{[\lambda',\hat\lambda']}(y)\bigr)= \\ &=\prod_{i,j=1}^{\infty}(-x_i\hat y_j-\hat x_iy_j). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Двухкомпонентные косые функции Шура определяются через двухкомпонентные функции Шура как
$$
\begin{equation}
s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(x)=\sum_{\lambda,\hat\lambda} c_{\mu\nu}^\lambda s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x),\qquad \hat s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(x)=\sum_{\lambda,\hat\lambda} c_{\mu\nu}^\lambda\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x),
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
где коэффициенты $c_{\mu\nu}^\lambda$ задаются по правилу Литтлвуда–Ричардсона. Это определение эквивалентно
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(x)&= D(s_{[\mu,\hat\mu]}(x))s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)+ \epsilon D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(x))\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x), \\ \hat s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(x)&= D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(x))s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)+ D(s_{[\mu,\hat\mu]}(x))\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В частности, $s_{[\lambda/\varnothing,\hat\lambda/\varnothing]}=s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)$. Суперсимметричные двухкомпонентные функции Шура от переменных $x$ и $y$ определяются соотношениями
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x/y,\hat x/\hat y)&=\sum_{\mu,\hat\mu}(-1)^{|\mu|} \bigl(s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(x)s_{[\mu',\hat\mu']}(y)+ \epsilon\hat s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(\hat x)\hat s_{[\mu',\hat\mu']}(\hat y)\bigr), \\ \hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(x/y,\hat x/\hat y)&=\sum_{\mu,\hat\mu}(-1)^{|\mu|} \bigl(\hat s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(\hat x)s_{[\mu',\hat\mu']}(y)+ s_{[\lambda/\mu,\hat\lambda/\hat\mu]}(x)\hat s_{[\mu',\hat\mu']}(\hat y)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Двухкомпонентные составные функции Шура задаются через двухкомпонентные функции Шура и двухкомпонентные косые функции Шура:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, s_{[\bar{\nu}/\xi,\bar{\hat{\nu}}/\hat\xi]}(x,\hat x)&=\sum_{\xi,\hat\xi}(-1)^{|\xi|} \biggl(\!s_{[\nu/\xi' ,\hat{\nu}/\hat\xi']}\biggl(\frac{1}{x}\biggr)s_{[\mu/\xi,\hat\mu/\hat\xi]}(x)+ \epsilon\hat s_{[\nu/\xi' ,\hat{\nu}/\hat\xi']}\biggl(\frac{1}{\hat x}\biggr)\hat s_{[\mu/\xi,\hat\mu/\hat\xi]}(\hat x)\!\biggr), \\ \hat s_{[\bar{\nu}/\xi,\bar{\hat{\nu}}/\hat\xi]}(x,\hat x)&=\sum_{\xi,\hat\xi}(-1)^{|\xi|} \biggl(\!s_{[\nu/\xi' ,\hat{\nu}/\hat\xi']}\biggl(\frac{1}{x}\biggr)\hat s_{[\mu/\xi,\hat\mu/\hat\xi]}(\hat x)+ \hat s_{[\nu/\xi' ,\hat{\nu}/\hat\xi']}\biggl(\frac{1}{\hat x}\biggr)s_{[\mu/\xi,\hat\mu/\hat\xi]}(x)\!\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вершинные операторы, определяющие вершинное представление алгебры $a_{\infty}$ на $\mathbb{C}[x_1,x_2,\ldots]$, которое лежит в основе связанной иерархии КП, задаются следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)&=\frac{1}{2} \exp\biggl(\,\sum_j\bigl[(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}-(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j\bigr]x_j\biggr)\times{} \\ &\kern80pt\times\exp\biggl(-\sum_j\frac{1}{j} \biggl[\frac{1}{(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}}-\frac{1}{(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_j}\biggr)+{} \\ &\quad+\frac{1}{2}\exp\biggl(\,\sum_j\bigl[(a-\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}-(b-\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j\bigr]x_j\biggr)\times{} \\ &\kern80pt\times\exp\biggl(-\sum_j\frac{1}{j} \biggl[\frac{1}{(a-\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}}-\frac{1}{(b-\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_j}\biggr), \\ \widehat\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)&=\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}} \exp\biggl(\,\sum_j\bigl[(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}-(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j\bigr]x_j\biggr)\times{} \\ &\kern80pt\times\exp\biggl(-\sum_j\frac{1}{j} \biggl[\frac{1}{(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}}-\frac{1}{(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_j}\biggr)+{} \\ &\quad+\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}} \exp\biggl(\,\sum_j\bigl[(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}-(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j\bigr]x_j\biggr)\times{} \\ &\kern80pt\times\exp\biggl(-\sum_j\frac{1}{j} \biggl[\frac{1}{(a-\sqrt{\epsilon}\hat a)^{j}}-\frac{1}{(b-\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^j}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_j}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Действуя вершинными операторами на решения связанной иерархии КП, мы получаем новые решения. Как нам теперь известно, двухкомпонентные функции Шура могут быть решениями связанной иерархии КП. Особенно интересно, как действуют на них произведения экспонент от операторов $\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)$ и $\widehat\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)$, которые могут быть записаны как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\prod_i\exp\bigl(c_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr) \operatorname{ch} \bigl(\sqrt{\epsilon}c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)= \prod_i\bigl(1+c_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr), \\ &\prod_i\sqrt{\epsilon}\exp\bigl(c_i\Gamma (a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr) \operatorname{sh} \bigl(\sqrt{\epsilon} c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)= \prod_i\bigl(c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассматривая $a$, $b$ и $\hat a$, $\hat b$ как многомерные переменные $a=(a_1,a_2,\ldots)$, $b=(b_1,b_2,\ldots)$ и $\hat a=(\hat a_1,\hat a_2,\ldots)$, $\hat b=(\hat b_1,\hat b_2,\ldots)$ и используя преобразование $x_k=\frac{1}{k}p_k(u)$, приходим к следующим выражениям для $\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)$ и $\widehat\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma&(a,b,\hat a,\hat b\,)=\exp \biggl(\,\sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u)+\epsilon\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{ch} \biggl(\sqrt{\epsilon}\, \sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u) +\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times \exp\biggl(\,\sum_m\frac{1}{m}\biggl(p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u))+ \epsilon\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{ch} \biggl(\sqrt{\epsilon}\, \sum_m\frac{1}{m}\biggl(\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u)) +\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)+{} \\ &\qquad\qquad+\epsilon\cdot \exp\biggl(\,\sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u)+\epsilon\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{sh} \biggl(\sqrt{\epsilon}\, \sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u) +\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times\exp\biggl(\,\sum_m\frac{1}{m} \biggl(p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u))+ \epsilon\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{sh} \biggl(\sqrt{\epsilon}\, \sum_m\frac{1}{m}\biggl(\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u))+ \hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)\!\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat\Gamma&(a,b,\hat a,\hat b\,)=\exp\biggl(\,\sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u)+ \epsilon\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{ch} \biggl(\sqrt{\epsilon} \sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u)+\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times\exp\biggl(\,\sum_m\frac{1}{m} (p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u))+ \epsilon\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{sh} \biggl(\sqrt{\epsilon}\sum_m\frac{1}{m} \biggl(\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u))+ \hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)\!\biggr)+{} \\ &\qquad\qquad+\exp\biggl(\,\sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u)+\epsilon\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{ch} \biggl(\sqrt{\epsilon}\sum_m\frac{1}{m}(p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat p_m(u)+\hat p'_m(a/b,\hat a/\hat b\,) p_m(u))\biggr)\times{} \\ &\times\exp\biggl(\,\sum_m\frac{1}{m} \biggl(p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u))+ \epsilon\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\times \operatorname{sh} \biggl(\sqrt{\epsilon}\sum_m\frac{1}{m} \biggl(\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(p_m(u))+ +\hat p'_m\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat p_m(u))\biggr)\!\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Эти выражения можно переписать в терминах двухкомпонентных функций Шура:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)= \sum_{\lambda,\mu,\hat\lambda,\hat\mu}&(-1)^{|\mu|} s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,) s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u)s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &+\epsilon s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) \hat s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &+\epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &+\epsilon^2\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) \hat s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &+\epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) \hat s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &+\epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &+\epsilon s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) \hat s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &+\epsilon s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(u)) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \hat{\Gamma}&(a,b,\hat a,\hat b\,)= \sum_{\lambda,\mu,\hat\lambda,\hat\mu}(-1)^{|\mu|} s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) \hat s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &\kern80pt +s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &\kern80pt+\epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) \hat s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &\kern80pt +\epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &\kern80pt +\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &\kern 80pt +\epsilon\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &\kern80pt +s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,) \hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(s_{[\mu,\hat\mu]}(u))+{} \\ &\kern80pt +\epsilon s_{[\lambda,\hat\lambda]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\lambda,\hat\lambda]}(u) \hat s_{[\mu',\hat\mu']}\biggl(\frac{1}{a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b},\frac{1}{\hat a} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b}\biggr)D(\hat s_{[\mu,\hat\mu]}(u)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Действие этих операторов на двухкомпонентные функции Шура имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)&s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+\epsilon\widehat\Gamma (a,b,\hat a,\hat b\,)\hat s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)= \\ &=(-1)^{|\alpha|}\sum_{\beta,\hat\beta} \bigl(s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\beta,\hat\beta]}(u)+ \epsilon\hat s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\beta,\hat\beta]}(u)\bigr), \\ \widehat\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)&s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+\Gamma (a,b,\hat a,\hat b\,)\hat s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)= \\ &=(-1)^{|\alpha|}\sum_{\beta,\hat\beta} \bigl(\hat s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a/b,\hat a/\hat b\,)s_{[\beta,\hat\beta]}(u)+ s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a/b,\hat a/\hat b\,)\hat s_{[\beta,\hat\beta]}(u)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В более общем случае имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i) s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+\epsilon\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\hat s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)= \\ &=(-1)^{|\alpha|}\prod_{1\leqslant i<j\leqslant n}I'(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\beta,\hat\beta} \bigl(s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]} (a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n)s_{[\beta,\hat\beta]}(u)+{} \\ &\kern48pt+\epsilon \hat s_{[\bar\alpha' ;\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n) \hat s_{[\beta,\hat\beta]}(u)\bigr)+{} \\ &\quad+\epsilon(-1)^{|\alpha|}\prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}\hat I'(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\beta,\hat\beta} \bigl(\hat s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n) s_{[\beta,\hat\beta]}(u)+{} \\ &\kern48pt +s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}' ;\hat\beta]}(a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n) \hat s_{[\beta,\hat\beta]}(u)\bigr), \\ \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i) s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\hat s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)= \\ &=(-1)^{|\alpha|}\prod_{1\leqslant i< j\leqslant n} I'(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\beta,\hat\beta} \bigl(\hat s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n) s_{[\beta,\hat\beta]}(u)+{} \\ &\kern48pt +s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n) \hat s_{[\beta,\hat\beta]}(u)\bigr)+{} \\ &\quad+(-1)^{|\alpha|} \prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}\hat I'(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\beta,\hat\beta} \bigl(s_{[\bar\alpha';\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n) s_{[\beta,\hat\beta]}(u)+{} \\ &\kern48pt +\epsilon \hat s_{[\bar\alpha' ;\beta,\bar{\hat\alpha}';\hat\beta]}(a_1,\ldots,a_n/b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n/\hat b_1,\ldots,\hat b_n) \hat s_{[\beta,\hat\beta]}(u)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I'(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)&=I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z) J'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon\hat I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z) J'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon^2\hat I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z) J'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon\hat I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z)J'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon\hat I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y), \\ \hat I'(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)&=I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z) J'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\hat I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z) J'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon\hat I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z) J'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +I'(x;y;\hat x;\hat y) I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon \hat I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z) J'(x;z;\hat x;\hat z)\hat{J}'(x;y;\hat x;\hat y)+{} \\ &\quad +\epsilon \hat I'(x;y;\hat x;\hat y)\hat I'(w;z;\hat w;\hat z)\hat{J}'(x;z;\hat x;\hat z) J'(x;y;\hat x;\hat y); \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
ряды $I'(x;y;w;z)$ и $\hat I'(x;y;w;z)$ определены в (3.30). Тогда действие произведения экспонент от $\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)$ и $\widehat\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)$ на двухкомпонентную функцию Шура принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\bigl(1+c_i\Gamma(a_i,b_i\hat a_i,\hat b_i)\bigr)s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+ \epsilon c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\hat s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)= \\ &=(-1)^{|\alpha|}\sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt c_{i_1}\ldots c_{i_n} \!\!\!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\!\!\! I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\gamma,\hat\gamma} \bigl(s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}';\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n}) s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\kern48pt+\epsilon\hat s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}';\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n}) \hat s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr)+{} \\ &+\epsilon(-1)^{|\alpha|} \sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt c_{i_1}\ldots c_{i_n} \!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\! \hat I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\gamma,\hat\gamma} \bigl(\hat s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}' ;\hat\gamma]}(a_{i_1},\ldots,a_{i_n}; b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\kern48pt+s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}';\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots, \hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})\hat s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\bigl(1+c_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)\hat s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u) + c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)s_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)= \\ &=(-1)^{|\alpha|}\sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt c_{i_1}\ldots c_{i_n} \!\!\!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\!\!\! I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\gamma,\hat\gamma} \bigl(\hat s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}';\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots, \hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\kern48pt +s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}';\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots, \hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})\hat s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr)+{} \\ &+(-1)^{|\alpha|}\sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N} \sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt c_{i_1}\ldots c_{i_n} \!\!\!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\!\!\! \hat I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\qquad\times\sum_{\gamma,\hat\gamma} \bigl(s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}';\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots, \hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{}\\ &\kern48pt +\epsilon\hat s_{[\bar\alpha';\gamma,\bar{\hat\alpha}';\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots, \hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})\hat s_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает решения связанной иерархии КП, если вернуться к переменным $x_k$. Если $\alpha=0$ и $\hat\alpha=0$, то мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\bigl(1+c_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)\cdot 1+ \epsilon c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\cdot 1\bigr)= \\ &=\sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt c_{i_1}\cdots c_{i_n} \!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\! \biggl( I'\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggl)\times{} \\ &\kern146pt\times\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\Xi^m x_m\biggr) \operatorname{ch} \biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\widehat\Xi^m x_m\biggr)+{} \\ &\kern130pt+\epsilon\hat I'\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\kern146pt\times\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\Xi^m x_m\biggr) \operatorname{sh} \biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\widehat\Xi^m x_m\biggr)\!\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\bigl(1+c_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)\cdot 1+c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\cdot 1\bigr)= \\ &=\sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt c_{i_1}\cdots c_{i_n} \!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\! \biggl(I'\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\kern146pt\times\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\Xi^m x_m\biggr) \operatorname{sh} \biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\widehat\Xi^m x_m\biggr)+{} \\ &\kern130pt+\hat I'\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\kern146pt\times\exp\biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\Xi^mx_m\biggr) \operatorname{ch} \biggl(\,\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{\alpha=1}^m\widehat\Xi^mx_m\biggr)\!\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Xi^m&=\frac{1}{2}\bigl((a_{i\alpha}+\sqrt{\epsilon}\,\hat a_{i\alpha})^m+ (a_{i\alpha}-\sqrt{\epsilon}\,\hat a_{i\alpha})^m- (b_{i\alpha}+\sqrt{\epsilon}\,\hat b_{i\alpha})^m- (b_{i\alpha}-\sqrt{\epsilon}\,\hat b_{i\alpha})^m\bigr), \\ \widehat\Xi^m&=\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}\,}\bigl((a_{i\alpha}+\sqrt{\epsilon}\,\hat a_{i\alpha})^m- (a_{i\alpha}-\sqrt{\epsilon}\,\hat a_{i\alpha})^m- (b_{i\alpha}+ \sqrt{\epsilon}\,\hat b_{i\alpha})^m+ (b_{i\alpha}-\sqrt{\epsilon}\,\hat b_{i\alpha})^m\bigr) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Этот частный случай $\alpha=0$ и $\hat\alpha=0$ соответствует знаменитым $N$-солитонным решениям.
4. Связанная иерархия BКП и Q-функцииВ этом разделе мы показываем, как можно провести совешенно аналогичный анализ иерархии BКП, заменив функции Шура Q-функциями Шура, а двухкомпонентные функции Шура – двухкомпонентными Q-функциями Шура. 4.1. Связанная иерархия BКП и уравнения ПлюккераСвязанная иерархия BКП определена на бесконечномерной алгебре $b_{\infty}$. Она допускает представление Лакса типа (3.1), где $x=(x_1,x_2,x_3,\ldots)$ заменен на $x=(x_1,x_3,x_5,\ldots)$. Кроме того, двухкомпонентные операторы Лакса $L_1$ и $L_2$ должны удовлетворять так называемому условию типа B $L_i^*=-\partial L_i\partial^{-1}$ ($i=1,2$), где звездочка в верхнем индексе обозначает сопряжение псевдодифференциальных операторов. Соответствующая связанная иерархия BКП имеет две волновые функции и две тау-функции, которые мы вновь обозначаем как $w(x,z)$, $\hat w(x,z)$ и как $\tau(x)$, $\sigma(x)$. Волновые функции удовлетворяют билинейному тождеству
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\oint\frac{dz}{2\pi iz}(w(x,z)w(y,-z)+\epsilon\hat w(x,z)\hat w (y,-z))=1, \\ &\oint\frac{dz}{2\pi iz}(w(x,z)\hat w(y,-z)+\hat w(x,z) w (y,-z))=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Связь между волновыми функциями и тау-функциями задается равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, w(x,z)&=\frac{1}{\tau^2(x)-\epsilon\sigma^2(x)}\exp\biggl(\,\sum_{k\ \text{odd}}x_kz^k\biggr)\times{} \\ &\quad\times\biggl( \tau(x)\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\tau(x)- \epsilon\sigma(x)\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\sigma(x)\biggr), \\ \hat w(x,z)&=\frac{1}{\tau^2(x)-\epsilon\sigma^2(x)}\exp\biggl(\,\sum_{k\ \text{odd}} x_k z^k\biggr)\times{} \\ &\quad\times\biggl(-\sigma(x)\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\tau(x)+ \tau(x)\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{z^{-k}}{k}\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)\sigma(x)\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем билинейное тождество для тау-функций
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau(x)\tau(y)&{}+\epsilon\sigma(x)\sigma(y)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi i} \exp\biggl(\,\sum_{l\ \text{odd}}^{\infty} z^l (x_l-y_l)\biggr) \exp\biggl(-2\sum_{l\ \text{odd}}^{\infty}\frac{z^{-l}}{l}\biggl(\frac{\partial}{\partial x_l}-\frac{\partial}{\partial y_l}\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\kern186pt \times(\tau(x)\tau(y)+\epsilon\sigma(x)\sigma(y)), \\ \tau(x)\sigma(y)&{}+\sigma(x)\tau(y)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi i} \exp\biggl(\,\sum_{l\ \text{odd}}^{\infty} z^l (x_l-y_l)\biggr) \exp\biggl(-2\sum_{l\ \text{odd}}^{\infty}\frac{z^{-l}}{l}\biggl(\frac{\partial}{\partial x_l}-\frac{\partial}{\partial y_l}\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\kern186pt \times(\tau(x)\sigma(y)+\sigma(x)\tau(y)) . \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Как и для иерархии КП, сделаем замену переменных $x_k=\frac{2}{k}p_k(u)$, $y_k=\frac{2}{k}p_k(v)$ (при нечетных $k$), тогда соответственно $\partial/\partial x_k=D(p_k(u))$, $\partial/\partial y_k=D(p_k(v))$. Введем многомерную переменную $z=(z_1,z_2,\ldots)$, как выше, получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau(u)&\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi iz} \exp\biggl(2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k(z) p_k(u)\biggr) \exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_k(u))\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad\times \exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k(z) p_k(v)\biggr) \exp\biggl(2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_k(v))\biggr)\times{} \\ &\kern220pt \times(\tau(u)\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)), \\ \tau(u)&\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi iz} \exp\biggl(2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k(z) p_k(u)\biggr) \exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_k(u))\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad\times \exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k(z) p_k(v)\biggr) \exp\biggl(2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(p_k(v))\biggr)\times{} \\ &\kern220pt \times(\tau(u)\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя соотношение (2.20) и соответствующее тождество
$$
\begin{equation}
\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k}p_k(z)p_k(u)\biggr)= \sum_{\lambda\in\mathrm{DP}}\frac{1}{b_\lambda}(-1)^{|\lambda|}Q_\lambda(z)Q_\lambda(u),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
получаем билинейное тождество в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau(u)&\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi iz} \biggl(\,\sum_\lambda\frac{1}{b_\lambda}Q_\lambda(z)Q_\lambda(u)\biggr) \biggl(\,\sum_\mu\frac{1}{b_\mu}(-1)^{|\mu|}Q_\mu\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(Q_\mu(u))\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad\times \biggl(\,\sum_\nu\frac{1}{b_\nu}(-1)^{|\nu|}Q_\nu(z)Q_\nu(v)\biggr) \biggl(\,\sum_\eta\frac{1}{b_\eta}Q_\eta\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(Q_\eta(v))\biggr)\times{} \\ &\kern200pt\times(\tau(u)\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)), \\ \tau(u)&\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi iz} \biggl(\,\sum_\lambda\frac{1}{b_\lambda}Q_\lambda(z)Q_\lambda(u)\biggr) \biggl(\,\sum_\mu\frac{1}{b_\mu}(-1)^{|\mu|}Q_\mu\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(Q_\mu(u))\biggr)\times{} \\ &\qquad\qquad \times \biggl(\,\sum_\nu\frac{1}{b_\nu}(-1)^{|\nu|}Q_\nu(z)Q_\nu(v)\biggr) \biggl(\,\sum_\eta\frac{1}{b_\eta}Q_\eta\biggl(\frac{1}{z}\biggr)D(Q_\eta(v))\biggr)\times{} \\ &\kern200pt \times(\tau(u)\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)).\\ \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Его можно записать более компактно через суперсимметричные Q-функции (2.23):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau(u)&\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi iz} \biggl(\,\sum_{\nu\in\mathrm{DP}}\frac{1}{b_\nu}Q_\nu(u/v)Q_\nu(z)\biggr) \biggl(\,\sum_{\xi\in\mathrm{DP}}\frac{1}{b_\xi} D(Q_\xi(u/v))Q_\xi\biggl(\frac{1}{z}\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\kern200pt\times(\tau(u)\tau(v)+\epsilon\sigma(u)\sigma(v)), \\ \tau(u)&\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)= \\ &=\oint\frac{dz}{2\pi iz} \biggl(\,\sum_{\nu\in\mathrm{DP}}\frac{1}{b_\nu}Q_\nu(u/v)Q_\nu(z)\biggr) \biggl(\,\sum_{\xi\in\mathrm{DP}}\frac{1}{b_\xi} D(Q_\xi(u/v))Q_\xi\biggl(\frac{1}{z}\biggr)\!\biggr)\times{} \\ &\kern200pt\times(\tau(u)\sigma(v)+\sigma(u)\tau(v)). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тау-функции $\tau$ и $\sigma$ разлагаются как
$$
\begin{equation}
\tau (u)=\sum_{\alpha\in\mathrm{DP}}a_1^{\alpha}Q_\alpha(u),\qquad \sigma(u)=\sum_{\hat\alpha\in\mathrm{DP}}a_2^{\hat\alpha}Q_{\hat\alpha}(u).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Если они являются решениями иерархии BКП, то из (4.2) для всех $\alpha,\beta\in\mathrm{DP}$ получаем уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &a_1^{\alpha}a_1^{\beta}+\epsilon a_2^{\hat\alpha}a_2^{\hat\beta}= \notag\\ &\;=\oint\frac{dz}{2\pi iz}\! \biggl(\,\sum_{\eta,\xi}(-1)^{|\eta|+|\beta|}a_1^{\eta}a_1^{\xi}Q_{\bar{\eta};\alpha}(z)Q_{\bar{\xi};\beta}(z)+ \epsilon\sum_{\hat\eta,\hat\xi}(-1)^{|\hat\eta|+|\hat\beta|} a_2^{\hat\eta}a_2^{\hat\xi}Q_{\bar{\hat\eta};\hat\alpha}(z)Q_{\bar{\hat\xi};\hat\beta}(z)\!\biggr), \notag\\ {} \\ &a_1^{\alpha}a_2^{\hat\beta}+a_2^{\hat\alpha}a_1^{\beta}= \notag\\ &\;=\oint\frac{dz}{2\pi iz}\! \biggl(\,\sum_{\eta,\hat\xi}(-1)^{|\eta|+|\hat\beta|}a_1^{\eta}a_2^{\hat\xi}Q_{\bar{\eta};\alpha}(z)Q_{\bar{\hat\xi};\hat\beta}(z)+ \sum_{\hat\eta,\xi}(-1)^{|\hat\eta|+|\beta|}a_2^{\hat\eta}a_1^{\xi}Q_{\bar{\hat\eta};\hat\alpha}(z)Q_{\bar{\xi};\beta}(z)\!\biggr). \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Q-функция Шура одной переменной также имеет простой вид: $Q_\lambda(z)\neq 0$, только если $\lambda$ – разбиение, состоящее из одной части, при этом $Q_{(m)}(z)=2z^m$, если $m\neq 0$, и $Q_{(0)}(z)=1$. Косая Q-функция Шура $Q_{\lambda/\mu}(z)\neq 0$, только если косая диаграмма $\lambda-\mu$ есть горизонтальная полоса. При этом функция $Q_{\lambda/\mu}(z)$ задается выражением
$$
\begin{equation}
Q_{\lambda/\mu}(z)=2^{l(\lambda)-l(\mu)}F_{\mu(r)}^\lambda z^r,\qquad r=|\lambda|-|\mu|.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Процедура вычисления коэффициентов $F_{\mu (r)}^\lambda$ состоит в следующем. Если разбиения заданы как $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_{n+1})$ и $\mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_n)$, где $\lambda_i,\mu_i>0$ для $i\leqslant n$, то $F_{\mu (r)}^\lambda=2^{p-q}$, где $p$ – количество строк, для которых $\lambda_j>\mu_j$, за исключением $(n+1)$-й строки, а $q$ – количество строк, для которых $\lambda_{j+1}=\lambda_j$. Находя составные Q-функции Шура, мы приходим к следующим двум системам нетривиальных уравнений Плюккера для $|\alpha|+|\beta|\leqslant 8$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_1^{(0)}a_1^{(3,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_1^{(3,1)}-a_1^{(2,1)}a_1^{(3)}-a_1^{(3,2)}a_1^{(1)}+{} \\ &+\epsilon(a_2^{(0)}a_2^{(3,2,1)}+a_2^{(2)}a_2^{(3,1)}-a_2^{(2,1)}a_2^{(3)}-a_2^{(3,2)}a_2^{(1)})=0, \\ a_1^{(0)}a_1^{(4,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_1^{(4,1)}-a_1^{(2,1)}a_1^{(4)}-a_1^{(4,2)}a_1^{(1)}+{} \\ &+\epsilon(a_2^{(0)}a_2^{(4,2,1)}+a_2^{(2)}a_2^{(4,1)}-a_2^{(2,1)}a_2^{(4)}-a_2^{(4,2)}a_2^{(1)})=0, \\ a_1^{(0)}a_1^{(4,3,1)}&{}+a_1^{(3)}a_1^{(4,1)}-a_1^{(3,1)}a_1^{(4)}-a_1^{(4,3)}a_1^{(1)}+{} \\ &+\epsilon(a_2^{(0)}a_2^{(4,3,1)}+a_2^{(3)}a_2^{(4,1)}-a_2^{(3,1)}a_2^{(4)}-a_2^{(4,3)}a_2^{(1)})=0, \\ a^{(0)}a_1^{(5,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_1^{(5,1)}-a_1^{(2,1)}a_1^{(5)}-a_1^{(5,2)}a_1^{(1)}+{} \\ &+\epsilon(a_2^{(0)}a_2^{(5,2,1)}+a_2^{(2)}a_2^{(5,1)}-a_2^{(2,1)}a_2^{(5)}- a_2^{(5,2)}a_2^{(1)})=0, \\ a_1^{(0)}a_1^{(5,3,1)}&{}+a_1^{(3)}a_1^{(5,1)}-a_1^{(3,1)}a_1^{(5)}-a_1^{(5,3)}a_1^{(1)}+{} \\ &+\epsilon(a_2^{(0)}a_2^{(5,3,1)}+a_2^{(3)}a_2^{(5,1)}-a_2^{(3,1)}a_2^{(5)}- a_2^{(5,3)}a_2^{(1)})=0, \\ a_1^{(0)}a_1^{(6,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_1^{(6,1)}-a_1^{(2,1)}a_1^{(6)}-a_1^{(6,2)}a_1^{(1)}+{} \\ &+\epsilon(a_2^{(0)}a_2^{(6,2,1)}+a_2^{(2)}a_2^{(6,1)}-a_2^{(2,1)}a_2^{(6)}- a_2^{(6,2)}a_2^{(1)})=0,\ldots{} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_1^{(0)}a_2^{(3,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_2^{(3,1)}-a_1^{(2,1)}a_2^{(3)}-a_1^{(3,2)}a_2^{(1)}+{} \\ &+a_2^{(0)}a_1^{(3,2,1)}+a_2^{(2)}a_1^{(3,1)}-a_2^{(2,1)}a_1^{(3)}-a_2^{(3,2)}a_1^{(1)}=0, \\ a_1^{(0)}a_2^{(4,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_2^{(4,1)}-a_1^{(2,1)}a_2^{(4)}-a_1^{(4,2)}a_2^{(1)}+{} \\ &+a_2^{(0)}a_1^{(4,2,1)}+a_2^{(2)}a_1^{(4,1)}-a_2^{(2,1)}a_1^{(4)}-a_2^{(4,2)}a_1^{(1)}=0, \\ a_1^{(0)}a_2^{(4,3,1)}&{}+a_1^{(3)}a_2^{(4,1)}-a_1^{(3,1)}a_2^{(4)}-a_1^{(4,3)}a_2^{(1)}+{} \\ &+a_2^{(0)}a_1^{(4,3,1)}+a_2^{(3)}a_1^{(4,1)}-a_2^{(3,1)}a_1^{(4)}-a_2^{(4,3)}a_1^{(1)}=0, \\ a_1^{(0)}a_2^{(5,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_2^{(5,1)}-a_1^{(2,1)}a_2^{(5)}-a_1^{(5,2)}a_2^{(1)}+{} \\ &+a_2^{(0)}a_1^{(5,2,1)}+a_2^{(2)}a_1^{(5,1)}-a_2^{(2,1)}a_1^{(5)}-a_2^{(5,2)}a_1^{(1)}=0, \\ a_1^{(0)}a_2^{(5,3,1)}&{}+a_1^{(3)}a_2^{(5,1)}-a_1^{(3,1)}a_2^{(5)}-a_1^{(5,3)}a_2^{(1)}+{} \\ &+a_2^{(0)}a_1^{(5,3,1)}+a_2^{(3)}a_1^{(5,1)}-a_2^{(3,1)}a_1^{(5)}-a_2^{(5,3)}a_1^{(1)}=0, \\ a_1^{(0)}a_2^{(6,2,1)}&{}+a_1^{(2)}a_2^{(6,1)}-a_1^{(2,1)}a_2^{(6)}-a_1^{(6,2)}a_2^{(1)}+{} \\ &+a_2^{(0)}a_1^{(6,2,1)}+a_2^{(2)}a_1^{(6,1)}-a_2^{(2,1)}a_1^{(6)}-a_2^{(6,2)}a_1^{(1)}=0,\ldots{}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Q-полиномы Шура $Q_\lambda(x)$ связаны с Q-функциями Шура так же, как полиномы Шура связаны с функциями Шура. Сделаем замену переменной $x_m=\frac{2}{m}p_m(u)$. Затем положим $\overline{Q}_\lambda(x)=Q_\lambda(u)$. Функция в правой части этого равенства вычисляется с использованием определения (2.15), в котором $q_m(u)$ связана с элементарными полиномами Шура соотношением $q_m(u)=S_m(\bar x)$, поскольку
$$
\begin{equation}
\sum_{m=0}^{\infty} t^m q_m(u)=\exp\biggl(2\sum_{m\ \text{odd}}\frac{t^m}{m}p_m(u)\biggr)=\sum_{m=0}^{\infty} S_m(\bar x) t^m,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где $\bar x=(x_1,0,x_3,0,x_5,\ldots)$. Как и в случае иерархии КП, билинейные уравнения в частных производных для $\tau(x)$ и $\sigma(x)$ соответствуют двум наборам уравнений Плюккера (4.6) и (4.7). Тау-функции составного аргумента можно разложить как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tau(u,w)&=\sum_\alpha a_1^{\alpha}Q_\alpha (u,w)=\sum_{\alpha,\beta}a_1^{\alpha}Q_{\alpha/\beta}(u)Q_\beta(w), \\ \sigma(u,w)&=\sum_{\hat\alpha}a_2^{\hat\alpha}Q_{\hat\alpha}(u,w)=\sum_{\hat\alpha,\hat\beta}a_2^{\hat\alpha}Q_{\hat\alpha/\hat\beta}(u)Q_{\hat\beta}(w).\\ \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По тем же причинам, что и выше, функции
$$
\begin{equation*}
a_1^{\beta}(u)=\sum_\beta a_1^{\alpha}Q_{\alpha/\beta}(u),\qquad a_2^{\hat\beta}(u)=\sum_{\hat\beta}a_2^{\alpha}Q_{\alpha/\hat\beta}(u)
\end{equation*}
\notag
$$
удовлетворяют (4.4). Функции $a_1^{\beta}(u)$ и $a_2^{\hat\beta}(u)$ можно выразить через производящие функции следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \sum_\beta&a_1^{\beta}Q_\beta(t)=\sum_\beta b_{1\beta}^{-1} D(Q_\beta(u))\tau(u)Q_\beta(t)= \\ &=D\biggl(\exp\biggl(2\sum_{m\ \text{odd}}\frac{1}{m}p_m(t) p_m(u)\biggr)\!\biggr)\tau(u)= \exp\biggl(\,\sum_{m\ \text{odd}}p_m(t)\frac{\partial}{\partial p_m(u)}\biggr)\tau(u), \\ \sum_\beta&a_2^{\hat\beta}Q_{\hat\beta}(t)=\sum_{\hat\beta} b_{2\hat\beta}^{-1} D(Q_{\hat\beta}(u))\sigma(u)Q_{\hat\beta}(t)= \\ &=D\biggl(\exp\biggl(2\sum_{m\ \text{odd}}\frac{1}{m}p_m(t) p_m(u)\biggr)\!\biggr)\sigma(u)= \exp\biggl(\,\sum_{m\ \text{odd}}p_m(t)\frac{\partial}{\partial p_m(u)}\biggr)\sigma(u). \\ \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для фиктивной переменной $y=(y_1,y_2,\ldots)$ положим $\frac{\partial}{\partial p_m(u)}=\frac{2}{m}p_m(y)$. Тогда, используя (2.20) и устраняя посредством проецирования $Q_\beta(t)$ и $\widehat Q_{\hat\beta}(t)$, имеем
$$
\begin{equation}
a_1^{\beta}(u)=b_{1\beta}^{-1}Q_\beta(y)\tau(u),\qquad a_2^{\hat\beta}(u)=b_{2\hat\beta}^{-1}Q_{\hat\beta}(y)\sigma(u).
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Эти функции, выраженные через Q-полиномы, принимают вид
$$
\begin{equation*}
a_1^{\beta}(u)=b_{1\beta}^{-1}Q_\beta(\tilde\partial_p)\tau(u)\,\qquad a_2^{\hat\beta}(u)=b_{2\beta}^{-1}Q_{\hat\beta}(\tilde\partial_p)\sigma(u),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tilde\partial_p\equiv\bigl(\frac{\partial}{\partial p_1(u)},\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial p_2(u)},\ldots\bigr)$. Получаем окончательные выражения в терминах исходной переменой $x$ иерархии BКП:
$$
\begin{equation}
a_1^{\alpha}(u)=b_{1\alpha}^{-1}Q_\alpha (2\tilde\partial)\tau(x),\qquad a_2^{\hat\alpha}(u)=b_{2\hat\alpha}^{-1}Q_{\hat\alpha}(2\tilde\partial)\sigma(x),
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
где $\tilde\partial\equiv\bigl(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial x_2},\ldots\bigr)$. Для первых уравнений в наборах уравнений Плюккера (4.6) и (4.7) мы имеем соответствующие билинейные уравнения в частных производных
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\bigl(Q_{(0)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(3,2,1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)+ \bigl(Q_{(2)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(3,1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)-{} \\ &\quad-\bigl(Q_{(2,1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(3)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)- \bigl(Q_{(3,2)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)+{} \\ &\quad+\epsilon\bigl(Q_{(0)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl(Q_{(3,2,1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)+ \epsilon\bigl(Q_{(2)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl( Q_{(3,1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)-{} \\ &\quad-\epsilon\bigl(Q_{(2,1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl(Q_{(3)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)- \epsilon\bigl(Q_{(3,2)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl( Q_{(1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)=0, \\ &\bigl(Q_{(0)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(3,2,1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)+ \bigl(Q_{(2)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(3,1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)-{} \\ &\quad-\bigl(Q_{(2,1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(3)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr) -\bigl(Q_{(3,2)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)\bigl(Q_{(1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)+{} \\ &\quad+\bigl(Q_{(0)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl(Q_{(3,2,1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)+ \bigl(Q_{(2)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl( Q_{(3,1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)- \\ &\quad-\bigl(Q_{(2,1)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl(Q_{(3)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)- \bigl(Q_{(3,2)}(2\tilde\partial)\sigma(x)\bigr)\bigl( Q_{(1)}(2\tilde\partial)\tau(x)\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя явный вид Q-полиномов Шура, можно показать, что они эквивалентны уравнениям связанной иерархии BКП в билинейной форме Хироты
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(D^6_1-5D_1^3D_3^{}+9D_1^{}D_5^{})(\tau\cdot\tau+\epsilon\sigma\cdot\sigma)=0, \\ &(D^6_1-5D_1^3D_3^{}+9D_1^{}D_5^{})(\tau\cdot\sigma+\sigma\cdot\tau)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем разности между третьим и четвертым уравнением в системах (4.6) и (4.7), получим вторые уравнения связанной иерархии BКП
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &(D_1^8+7D_1^5D_3^{}-35D_1^2D_3^2-21D_1^3D_5^{}-42D_3^{}D_5^{}+90D_1^{}D_7^{})(\tau\cdot\tau+\epsilon\sigma\cdot\sigma)=0, \\ &(D_1^8+7D_1^5D_3^{}-35D_1^2D_3^2-21D_1^3D_5^{}-42D_3^{}D_5^{}+90D_1^{}D_7^{})(\tau\cdot\sigma+\sigma\cdot\tau)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
4.2. Двухкомпонентные Q-функции Шура и решения иерархии BКПЧтобы исследовать решения связанной иерархии BКП, определим двухкомпонентные Q-функции Шура
$$
\begin{equation}
Q_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)=\prod_{i<k}\frac{1-R_{jk}}{1+R_{jk}}q_{[\lambda,\hat\lambda]}(x),\qquad \widehat Q_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)=\prod_{i<k}\frac{1-R_{jk}}{1+R_{jk}}\hat q_{[\lambda,\hat\lambda]}(x),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где
$$
\begin{equation*}
q_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)=\sum_{i=0}^l\epsilon^{[i/2]}\sum_{\sum_{j=1}^l\alpha_j=2i}\kern-8pt q_{\lambda^{(\alpha)}}(x),\qquad \hat q_{[\lambda,\hat\lambda]}(x)=\sum_{i=0}^l\epsilon^{[i/2]}\sum_{\sum_{j=1}^l\alpha_j=2i+1}\kern-8pt q_{\hat\lambda^{(\alpha)}}(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $l=l(\lambda)=l(\hat\lambda)$, разбиения имеют вид $\lambda^{(\alpha)}=(\lambda_1^{(\alpha_1)},\ldots,\lambda_l^{(\alpha_l)})$ для $\alpha_i=0,1$, при этом $\lambda_i^{(0)}=\lambda_i$, $\lambda_i^{(1)}=\hat\lambda_i$, где $i\in\mathbb{N}$. Можно показать, что $Q_\lambda(x)=Q_{[\lambda,\varnothing]}(x)$. Определение оператора Юнга $R_{jk}$ такое же, как и для обычных Q-функций Шура. Например, двухкомпонентные Q-функции Шура $Q_{[(m,n),(\hat m,\hat n)]}$ и $\widehat Q_{[(m,n),(\hat m,\hat n)]}$, отвечающие разбиениям $\lambda=(m,n)$ и $\hat\lambda=(\hat m,\hat n)$, задаются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{[(m,n),(\hat m,\hat n)]}&=(1-2R_{12}+2R^2_{12}-2R^3_{12}+\ldots)q_{[(m,n),(\hat m,\hat n)]}= \\ &=q_mq_n+\epsilon q_{\hat m}q_{\hat n}+2\sum_{k\geqslant 1}(-1)^k q_{m+k}q_{n-k}+2\epsilon\sum_{k\geqslant 1}(-1)^k q_{\hat m+k}q_{\hat n-k}, \\ \widehat Q_{[(m,n),(\hat m,\hat n)]}&=(1-2R_{12}+2R^2_{12}-2R^3_{12}+\ldots)\hat q_{[(m,n),(\hat m,\hat n)]}= \\ &=q_mq_{\hat n}+q_{\hat m}q_n+2\sum_{k\geqslant 1}(-1)^k q_{m+k}q_{\hat n-k}+2\sum_{k\geqslant 1}(-1)^k q_{\hat m+k}q_{n-k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Двухкомпонентные косые Q-функции Шура определяются как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{[\lambda/\mu]}(z,\hat z)&=2^{l(\lambda)-l(\mu)-1} F_{\mu(r)}^\lambda \bigl((z+\sqrt{\epsilon}\hat z)^r+(z-\sqrt{\epsilon}\hat z)^r\bigr), \\ \widehat Q_{[\lambda/\mu]}(z,\hat z)&=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}2^{l(\lambda)-l(\mu)-1}F_{\mu(r)}^\lambda \bigl((z+\sqrt{\epsilon}\hat z)^r-(z-\sqrt{\epsilon}\hat z)^r\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а двухкомпонентные составные Q-функции Шура – как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_{[\bar{\nu};\mu,\bar{\hat{\nu}};\hat\mu]}(z,\hat z)&= \sum_{\xi,\hat\xi\in\mathrm{DP}}(-1)^{|\xi|}\frac{b_\xi}{b_\nu} \biggl(Q_{\mu/\xi}(z,\hat z)Q_{\nu/\xi}\biggl(\frac{1}{z},\frac{1}{\hat z}\biggr)+ \epsilon\widehat Q_{\hat\mu/\hat\xi}(z,\hat z)\widehat Q_{\hat\mu/\hat\xi}\biggl(\frac{1}{z},\frac{1}{\hat z}\biggr)\!\biggr), \\ \widehat Q_{[\bar{\nu};\mu,\bar{\hat{\nu}};\hat\mu]}(z,\hat z)&= \sum_{\xi,\hat\xi\in\mathrm{DP}}(-1)^{|\xi|}\frac{b_\xi}{b_\nu} \biggl(Q_{\mu/\xi}(z,\hat z)\widehat Q_{\hat{\nu}/\hat\xi}\biggl(\frac{1}{z},\frac{1}{\hat z}\biggr)+ \widehat Q_{\hat\mu/\hat\xi}(z,\hat z)Q_{\mu/\xi}\biggl(\frac{1}{z},\frac{1}{\hat z}\biggr)\!\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вершинное представление алгебры $b_{\infty}$ на $\mathbb{C}[x_1,x_3,\ldots]$, которое лежит в основе связанной иерархии BКП, определяется двухкомпонентными вершинными операторами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)&=\frac{1}{2} \exp\biggl(\,\sum_{k\ \text{odd}}\bigl[(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^k-(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k\bigr]x_k\biggr)\times{} \\ &\kern40pt\times\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k} \biggl[\frac{1}{(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^k}-\frac{1}{(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)+{} \\ &\quad+\frac{1}{2}\exp\biggl(\,\sum_{k\ \text{odd}}\bigl[(a-\sqrt{\epsilon}\hat a)^k-(b-\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k\bigr]x_k\biggr)\times{} \\ &\kern40pt\times\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k} \biggl[\frac{1}{(a-\sqrt{\epsilon}\hat a)^k}-\frac{1}{(b-\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr), \\ \widehat\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)&=\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}} \exp\biggl(\,\sum_{k\ \text{odd}}\bigl[(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^k-(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k\bigr]x_k\biggr)\times{} \\ &\kern40pt\times\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k} \biggl[\frac{1}{(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^k}-\frac{1}{(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr)+{}\\ &\quad+\frac{1}{2\sqrt{\epsilon}}\exp\biggl(\,\sum_{k\ \text{odd}}\bigl[(a+\sqrt{\epsilon}\hat a)^k-(b+\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k\bigr]x_k\biggr)\times{} \\ &\kern40pt\times\exp\biggl(-2\sum_{k\ \text{odd}}\frac{1}{k} \biggl[\frac{1}{(a-\sqrt{\epsilon}\hat a)^k}-\frac{1}{(b-\sqrt{\epsilon}\,\hat b\,)^k}\biggr]\frac{\partial}{\partial x_k}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Их также можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\prod_i\exp\bigl(c_i\Gamma (a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr) \operatorname{ch} \bigl(\sqrt{\epsilon} c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)= \prod_i\bigl(1+c_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr), \\ &\prod_i\sqrt{\epsilon} \exp\bigl(c_i\Gamma (a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr) \operatorname{sh} \bigl(\sqrt{\epsilon} c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)= \prod_i\bigl(c_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
с произвольными скалярными $a_i$, $b_i$, $c_i$. Делая замену $x_k=\frac{2}{k}p_k(u)$ и проводя рассуждения, аналогичные случаю иерархии КП, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\Gamma(a,b,\hat a,\hat b\,)b_\alpha^{-1}Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+ \epsilon \widehat\Gamma(a, b,\hat a,\hat b\,) b_\alpha^{-1}\widehat Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)= \\ &\quad=(-1)^{|\alpha|}\sum_{\gamma,\hat\gamma} b_{\gamma}^{-1} \bigl(Q_{[\bar\alpha;\gamma ,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a,b,\hat a,\hat b\,)Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+ \epsilon \widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma ,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a,b,\hat a,\hat b\,)\widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr), \\ &\Gamma(a, b,\hat a,\hat b\,)b_\alpha^{-1}\widehat Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+ \widehat\Gamma(a, b,\hat a,\hat b\,) b_\alpha^{-1}Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)= \\ &\quad=(-1)^{|\alpha|}\sum_{\gamma,\hat\gamma} b_{\gamma}^{-1} \bigl(Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a,b,\hat a,\hat b\,) \widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+ \widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma ,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a,b,\hat a,\hat b\,)Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В более общем случае имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)b_\alpha^{-1}Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+ \epsilon\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)b_\alpha^{-1}\widehat Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)= \\ &=(-1)^{|\alpha|} \prod_{1\leqslant i< j\leqslant n} I(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\quad\times\sum_{\gamma}b_{\gamma}^{-1} \bigl(Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n) Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\kern50pt+\epsilon\widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n)\widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr)+{} \\ &\;+\epsilon(-1)^{|\alpha|}\prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}\hat I(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\quad\times\sum_{\gamma}b_{\gamma}^{-1} \bigl(\widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha} ;\hat\gamma]}(a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n) Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\kern50pt+Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n)\widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i) b_\alpha^{-1}Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+ \Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)b_\alpha^{-1} \widehat Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)=& \\ &=(-1)^{|\alpha|} \prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}I(x/w;y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\quad\times\sum_{\gamma} b_{\gamma}^{-1} \bigl(\widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n) Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\kern50pt+Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n)\widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr)+{} \\ &\;+(-1)^{|\alpha|} \prod_{1\leqslant i< j\leqslant n}\hat I(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)\times{} \\ &\quad\times\sum_{\gamma} b_{\gamma}^{-1} \bigl(Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n) Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\kern50pt+\epsilon \widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_1,\ldots,a_n;b_1,\ldots,b_n,\hat a_1,\ldots,\hat a_n;\hat b_1,\ldots,\hat b_n)\widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
I(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)=\frac{I_1}{I_1^2-\epsilon I_2^2} I_3,\qquad \hat I(x/w; y/z;\hat x/\hat w;\hat y/\hat z)=-\frac{I_2}{I_1^2-\epsilon I_2^2} I_4,
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1&=\bigl[(1+xz+\epsilon\hat x\hat z)(1+xw+\epsilon\hat x\hat w)+\epsilon(\hat x z+x\hat z)(\hat xw+x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1+yz+\epsilon\hat y\hat z)(1+yw+\epsilon\hat y\hat w)+\epsilon(\hat y z+y\hat z)(\hat y w+y\hat w)\bigr]+{} \\ &\quad+\epsilon\bigl[(1+xz+\epsilon\hat x\hat z)(\hat zw+w\hat x)+(\hat xz+x\hat z)(1+xw+\epsilon\hat x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1+yz+\epsilon\hat y\hat z)(\hat y w+y\hat w)+(\hat yz+y\hat z)(1+yw+\epsilon\hat y\hat w)\bigr], \\ I_2&=\bigl[(1+xz+\epsilon\hat z\hat z)(1+xw+\epsilon\hat x\hat w)+\epsilon(\hat x z+x\hat z)(\hat x w+x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1+yz+\epsilon\hat y\hat z)(\hat y w+y\hat w)+(\hat y z+y\hat z)(1+yw+\epsilon\hat y\hat w)\bigr]+{} \\ &\quad+\bigl[(1+xz+\epsilon\hat x\hat z)(\hat x w+x\hat w)+(\hat xz+x\hat z)(1+xw+\epsilon\hat x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1+yz+\epsilon\hat y\hat z)(1+yw+\epsilon\hat y\hat w)+\epsilon(\hat y z+y\hat z)(\hat y w+y\hat w)\bigr], \\ I_3&=\bigl[(1-xz-\epsilon\hat x\hat z)(1-xw-\epsilon\hat x\hat w)+\epsilon(\hat x z+x\hat z)(\hat xw+x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1-yz-\epsilon\hat y\hat z)(1-yw-\epsilon\hat y\hat w)+\epsilon(\hat y z+y\hat z)(\hat y w+y\hat w)\bigr]+{} \\ &\quad+\epsilon\bigl[(1-xz-\epsilon\hat x\hat z)(\hat zw+w\hat x)+(\hat xz+x\hat z)(1- xw-\epsilon\hat x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1- yz-\epsilon\hat y\hat z)(\hat y w+y\hat w)+(\hat yz+y\hat z)(1-yw-\epsilon\hat y\hat w)\bigr], \\ I_4&=-\bigl[(1-xz-\epsilon\hat z\hat z)(1- xw-\epsilon\hat x\hat w)+\epsilon(\hat x z+x\hat z)(\hat x w+x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1- yz-\epsilon\hat y\hat z)(\hat y w+y\hat w)+(\hat y z+y\hat z)(1- yw-\epsilon\hat y\hat w)\bigr]-{} \\ &-\bigl[(1- xz-\epsilon\hat x\hat z)(\hat x w+x\hat w)+(\hat xz+x\hat z)(1-xw-\epsilon\hat x\hat w)\bigr]\times{} \\ &\qquad\quad\times\bigl[(1-yz-\epsilon\hat y\hat z)(1- yw-\epsilon\hat y\hat w)+\epsilon(\hat y z+y\hat z)(\hat y w+y\hat w)\bigr]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда результат действия произведения экспонент от $\Gamma(a, b,\hat a,\hat b\,)$ и $\widehat\Gamma(a, b,\hat a,\hat b\,)$ на двухкомпонентные Q-функции Шура задается формулами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}&\bigl(\bigl(1+a_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr) b_\alpha^{-1}Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+ \epsilon a_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i) b_\alpha^{-1} \widehat Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)= \\ &=(-1)^{|\alpha|} \sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt a_{i_1}\cdots a_{i_n} \!\!\!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\!\!\! I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\quad\times\sum_{\gamma,\hat\gamma}b_{\gamma}^{-1} \bigl(Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]}(a_{i_1},\ldots,a_{i_n}; b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\qquad\qquad +\epsilon\widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n}) \widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr)+{} \\ &\;+\epsilon(-1)^{|\alpha|}\sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt a_{i_1}\cdots a_{i_n} \!\!\!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\!\!\! \hat I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\quad\times\sum_{\gamma,\hat\gamma} b_{\gamma}^{-1} \bigl(\widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha} ;\hat\gamma]}(a_{i_1},\ldots,a_{i_n}; b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\qquad\qquad +Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n}) \widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \prod_{i=1}^{n}& \bigl(\bigl(1+a_i\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i)\bigr)b_\alpha^{-1}\widehat Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)+ a_i\widehat\Gamma(a_i,b_i,\hat a_i,\hat b_i) b_\alpha^{-1}Q_{[\alpha,\hat\alpha]}(u)\bigr)= \\ &=(-1)^{|\alpha|}\sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N} \sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt a_{i_1}\cdots a_{i_n} \!\!\!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\!\!\! I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\quad\times \sum_{\gamma,\hat\gamma}b_{\gamma}^{-1} \bigl(\widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\qquad\qquad +Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n}; \hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})\widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr)+{} \\ &\;+(-1)^{|\alpha|} \sum_{n=0\vphantom{i_n\leqslant N}}^{N}\sum_{1\leqslant i_1<\cdots<i_n\leqslant N}\kern-20pt a_{i_1}\cdots a_{i_n} \!\!\!\prod_{1\leqslant\eta<\xi\leqslant n}\!\!\! \hat I\biggl(a_{i_\eta}/b_{i_\eta};\frac{1}{a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{b_{i_\xi}}; \hat a_{i_\eta}/\hat b_{i_\eta};\frac{1}{\hat a_{i_\xi}} \!\left/\vphantom{\bigg|}\right.\!\! \frac{1}{\hat b_{i_\xi}}\biggr)\times{} \\ &\quad\times\sum_{\gamma,\hat\gamma} b_{\gamma}^{-1} \bigl(Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)+{} \\ &\qquad\qquad+\epsilon\widehat Q_{[\bar\alpha;\gamma,\bar{\hat\alpha};\hat\gamma]} (a_{i_1},\ldots,a_{i_n};b_{i_1},\ldots,b_{i_n},\hat a_{i_1},\ldots,\hat a_{i_n};\hat b_{i_1},\ldots,\hat b_{i_n})\widehat Q_{[\gamma,\hat\gamma]}(u)\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым мы получаем решения связанной иерархии BКП (после обратных преобразований $x_k=\frac{2}{k}p_k(u),y_k=\frac{2}{k}p_k(v)$), поскольку Q-функции Шура также являются ее решениями. Как и в случае иерархии КП, мы можем восстановить известные $N$-солитонные решения, взяв нулевые разбиения $\alpha$ и $\hat\alpha$.
5. ЗаключениеВ представленной работе мы изучили связанные иерархии КП и BКП с параметром $\epsilon$, используя симметрические функции. Мы показали, как получить билинейную форму Хироты для рассматриваемой иерархии из уравнений Плюккера, выраженных через некоторые симметрические функции Затем мы определили соответствующие двухкомпонентные вершинные операторы связанных иерархий КП и BКП и ввели двухкомпонентные функции Шура и Q-функции Шура с параметром $\epsilon$. Мы также определили косые функции Шура, косые Q-функции Шура, составные функции Шура и составные двухкомпонентные Q-функции Шура. Наконец, мы исследовали действие двухкомпонентных вершинных операторов на двухкомпонентные функции Шура для связанных иерархий КП и BКП. В работе [21] был разработан формализм многокомпонентной иерархии BКП на основе элементарной геометрии спиноров и проведено исследование иерархии в контексте бозон-фермионного соответствия. Следует отметить, что введенная нами иерархия BКП является частным случаем коммутативной подалгебры в многокомпонентной иерархии BКП из работы [21] при $N=2$. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{YanLi23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|