| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Применение уравнения Сильвестра к решеточной системе Кадомцева–Петвиашвили типа В Ин-Ин Суa, Чэнь-Чэнь Уa, Сун-Линь Чжаоb a Department of Mathematics, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai, China b Department of Applied Mathematics, Zhejiang University of Technology, Hangzhou, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030042 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИнтегрируемые системы, представляющие собой нелинейные эволюционные уравнения, допускающие точные решения, обычно получаются в результате математического моделирования физических задач. В том или ином виде эти уравнения могут описывать различные физические явления. Например, нелинейное уравнение Шредингера, являющееся одной из наиболее известных интегрируемых систем, используется не только при изучении модуляционной устойчивости волн в глубокой воде, но также управляет распространением светового импульса в оптических волокнах. С другой стороны, изучение интегрируемых систем способствует значительному развитию многих направлений исследований в математике, физике и других областях. Также важную роль в современной нелинейной науке играют интегрируемые уравнения с дискретными переменными, известные как дискретные интегрируемые системы, например цепочка Тоды, введенная для описания движения цепочки частиц с экспоненциальным взаимодействием ближайших соседей. Типичной $(2+1)$-мерной моделью в интегрируемых системах является уравнение Кадомцева–Петвиашвили (КП), которое описывает распространение длинных волн в пространстве двух измерений; его дискретная версия также привлекает большое внимание. На сегодняшний день имеется множество методов построения решений дискретных уравнений типа КП, например подход бесконечномерных групп преобразований Галуа–Ли [1], метод прямой линеаризации [2] и метод обобщенной матрицы Коши [3], [4]. В работе [5] авторы, сделав предположение о многомерной согласованности, заново рассмотрели три важные скалярные модели дискретных уравнений типа КП, а именно решеточные уравнения AКП, BКП и CКП. Буквы A, B и C в названии уравнений КП связаны с различными типами бесконечномерных алгебр Ли. В настоящей статье мы рассматриваем решеточное уравнение BКП, также известное как уравнение Мивы [6], которое представляет собой следующее четырехчленное билинейное уравнение относительно функции $\tau$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (p-q)(q-r)(r-p)\tau\bar{\hat{\tilde\tau}}&{}+(p+q)(q-r)(r+p)\tilde\tau\bar{\hat\tau}+{} \nonumber \\ &{}+(p+q)(q+r)(r-p)\hat\tau\bar{\tilde\tau}+(p-q)(q+r)(r+p)\bar\tau\hat{\tilde\tau}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где тильда, шляпка и черточка означают соответственно сдвиги дискретных индексов в функции $\tau=\tau_{n,m,h}$ по динамическим переменным $n,m,h\in\mathbb{Z}$,
$$
\begin{equation}
\tilde\tau=\tau_{n+1,m,h},\qquad \hat\tau=\tau_{n,m+1,h},\qquad \bar\tau=\tau_{n,m,h+1},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
а переменные $p,q,r\in\mathbb{C}$ суть параметры решетки. В обозначениях (1.2) имеем
$$
\begin{equation}
\hat{\tilde\tau}=\tau_{n+1,m+1,h},\qquad \bar{\tilde\tau}=\tau_{n+1,m,h+1},\qquad \bar{\hat\tau}=\tau_{n,m+1,h+1},\qquad \bar{\hat{\tilde\tau}}=\tau_{n+1,m+1,h+1};
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
также мы используем обозначения $ \smash{\underset{\displaystyle\tilde{}}{\tau}} =\tau_{n-1,m,h}$, $ \smash{\underset{\displaystyle\hat{}}{\tau}} =\tau_{n,m-1,h}$ и $\underline{\tau}=\tau_{n,m,h-1}$ [7]. Решеточное уравнение BКП изучалось с разных точек зрения с помощью различных методов. В подходе обратной геометрии интегрируемое дискретное уравнение BКП и его шварцианная версия были включены во взаимные фигуры графической статики, действительные или чисто мнимые решения решеточного уравнения BКП обсуждались с использованием взаимных треугольников [8]. В рамках теории четырехугольных решеток геометрическую интерпретацию решеточного уравнения BКП обеспечивает B-четырехугольная решетка, и соответствующие решения дискретных уравнений BКП приведены в работе [9]. Кроме того, используя специальный непрерывный предел дискретной иерархии BКП, можно построить $(2+2)$-мерную цепочку Тоды и ее точные решения [10]. Совсем недавно связь между дискретными уравнениями BКП и AKP обсуждалась с точки зрения симметрии отражения [11]. С помощью различных методов для уравнения (1.1) для различных значений параметров решетки были построены солитонные и полиномиальные решения [11], [12]. Структура решений дискретных уравнений разнообразна, и это помогает глубже понять интегрируемые системы и физические эффекты. Нашей основной целью в настоящей статье является применение метода обобщенной матрицы Коши для получения уже известных и некоторых новых решений решеточного уравнения BКП, дополняющих обычные многосолитонные решениия. Метод обобщенной матрицы Коши происходит из метода матрицы Коши [13], [14], который успешно применялся к ряду дискретных интегрируемых систем [15]–[17]. В общем случае он связан с матричным уравнением
$$
\begin{equation}
\boldsymbol A \boldsymbol M- \boldsymbol M \boldsymbol B= \boldsymbol Z,
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
известным как уравнение Сильвестра, где матрицы $ \boldsymbol A$, $ \boldsymbol B$ и $ \boldsymbol Z$ заданы, а $ \boldsymbol M$ – искомая матрица. Для этого уравнения был доказан следующий важный результат [18]. Предложение 1. Обозначим наборы собственных значений матриц $ \boldsymbol A$ и $ \boldsymbol B$ как $\mathcal E( \boldsymbol A)$ и $\mathcal E( \boldsymbol B)$ соответственно. Уравнение Сильвестра (1.4) при заданных матрицах $ \boldsymbol A$, $ \boldsymbol B$, $ \boldsymbol Z$ имеет единственное решение $ \boldsymbol M$, если и только если $\mathcal E( \boldsymbol A)\cap\mathcal E( \boldsymbol B)=\varnothing$. Уравнение Сильвестра, которое применяется для решеточной иерархии BКП, имеет вид
$$
\begin{equation}
\boldsymbol K \boldsymbol M+ \boldsymbol M \boldsymbol K=\frac{1}{2}( \boldsymbol r {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol K- \boldsymbol K \boldsymbol r {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s ),
\end{equation}
\tag{1.5а}
$$
где $ \boldsymbol K$, $ \boldsymbol M$ – комплексные матрицы размера $N\times N$, причем $\mathcal E( \boldsymbol K)\cap\mathcal E(- \boldsymbol K)=\varnothing$, $ \boldsymbol r$ – вектор-столбец и $ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s $ – вектор-строка размера $N$, которые определяются дисперсионными соотношениями
$$
\begin{equation}
(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)\tilde{ \boldsymbol r}=(p \boldsymbol I+ \boldsymbol K) \boldsymbol r,\quad (q \boldsymbol I- \boldsymbol K)\hat{ \boldsymbol r}=(q \boldsymbol I+ \boldsymbol K) \boldsymbol r,\quad (r \boldsymbol I- \boldsymbol K)\bar{ \boldsymbol r}=(r \boldsymbol I+ \boldsymbol K) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{1.5б}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s (p \boldsymbol I+ \boldsymbol K),\quad \widehat{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }(q \boldsymbol I- \boldsymbol K)= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s (q \boldsymbol I+ \boldsymbol K),\quad \overline{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }(r \boldsymbol I- \boldsymbol K)= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s (r \boldsymbol I+ \boldsymbol K).
\end{equation}
\tag{1.5в}
$$
Здесь $ \boldsymbol I$ – единичная матрица размера $N\times N$. Решив систему уравнений (1.5), мы получаем векторы дискретных плосковолновых факторов. Используя систему уравнений (1.5), по известным данным $\{ \boldsymbol K, \boldsymbol M, \boldsymbol r, {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \}$ мы задаем несколько скалярных функций, которые помогают вывести решеточное уравнение BКП для функции $\tau$. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы вводим некоторые вспомогательные переменные и функцию $\tau$, которые используются в решеточном уравнении BКП (1.1). Раздел 3 посвящен получению двух различных пар Лакса для решеточного уравнения BКП. В разделе 4 мы рассматриваем матрицы $ \boldsymbol K$ с различной структурой множества собственных значений, чтобы получить явные решения $ \boldsymbol M$, $ \boldsymbol r$ и ${}^{\mathrm t }s$ системы (1.5). Далее эти решения применяются для нахождения некоторых типов точных решений решеточного уравнения BКП. Кроме того, мы показываем, что некоторые из введенных нами скалярных функций антисимметричны. Раздел 5 содержит выводы. 2. Вывод решеточного уравнения BКПНачнем этот раздел с введения некоторых вспомогательных переменных и функции $\tau$ с помощью набора данных $\{ \boldsymbol K, \boldsymbol M, \boldsymbol r, {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \}$. Затем, используя уравнение Сильвестра (1.5а) и сдвиговые соотношения (1.5б) и (1.5в) для $ \boldsymbol r$ и $ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s $, последовательно получим сдвиговые соотношения для $ \boldsymbol M$ и скалярных функций. Далее мы записываем уравнение BКП для функции $\tau$. 2.1. Некоторые вспомогательные переменные и функция $\tau$Основными объектами, представляющими для нас интерес в этой статье, являются следующие: • векторы размера $N$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol u_a=( \boldsymbol I+ \boldsymbol M \boldsymbol C)^{-1}\frac{a}{a \boldsymbol I- \boldsymbol K}\, \boldsymbol r,\qquad \boldsymbol u=( \boldsymbol I+ \boldsymbol M \boldsymbol C)^{-1} \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.1а}
$$
$$
\begin{equation}
{}^{\mathrm t} \boldsymbol u_a= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \frac{a}{a \boldsymbol I- \boldsymbol K}( \boldsymbol I+ \boldsymbol C \boldsymbol M)^{-1},
\end{equation}
\tag{2.1б}
$$
где $ \boldsymbol K$, $ \boldsymbol M$, $ \boldsymbol r$ и $ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s $ подчиняются определяющей системе уравнений (1.5), $a\in\mathbb{C}$ есть произвольный параметр и матрица $ \boldsymbol C$ – произвольная постоянная антисимметричная матрица, $ \boldsymbol C^{\mathrm T}=- \boldsymbol C$; • скалярные функции
$$
\begin{equation}
U_{a,b}= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \frac{a}{a \boldsymbol I- \boldsymbol K}\, \boldsymbol C \boldsymbol u_b= {}^{\mathrm t} \boldsymbol u_a \boldsymbol C\,\frac{b}{b \boldsymbol I- \boldsymbol K}\, \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
V_a=1- {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol C \boldsymbol u_a,\qquad W_a=1+{}^{\mathrm t} \boldsymbol u_a \boldsymbol C \boldsymbol r,\qquad u= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol C \boldsymbol u,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $b\in\mathbb{C}$ есть произвольный параметр; • функция $\tau$, задающаяся уравнением
$$
\begin{equation}
\tau^2=\det( \boldsymbol I+ \boldsymbol C \boldsymbol M).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Вспомогательные векторы (2.1) помогут нам получить сдвиговые соотношения для $U_{a,b}$ и функции $\tau$. Сначала нужно вывести динамические уравнения для $ \boldsymbol M$. 2.2. Динамическое свойство матрицы $ \boldsymbol M$ Предложение 2. Динамические уравнения в $n$-направлении для матрицы $ \boldsymbol M$ из системы (1.5) записываются как Доказательство. Сначала применим $\tilde{\phantom{\tau}}$- сдвиг в уравнении Сильвестра (1.5а) и преобразуем дисперсионные соотношения (1.5б) и (1.5в), получим Умножим уравнение (2.5а) на $(p \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1}$, получим
$$
\begin{equation}
(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)\widetilde{ \boldsymbol M}(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)(p \boldsymbol I+ \boldsymbol K)^{-1}= (p \boldsymbol I+ \boldsymbol K) \boldsymbol M.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Затем прибавим к обеим частям этого уравнения $ \boldsymbol M \boldsymbol K$ и используем (1.5а) и (1.5в), что дает уравнение
$$
\begin{equation}
(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)\widetilde{ \boldsymbol M}- \boldsymbol M(p \boldsymbol I+ \boldsymbol K)= \frac{1}{2}( \boldsymbol r\,\widetilde{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s } \boldsymbol K- \boldsymbol K \boldsymbol r\,\widetilde{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }),
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
которое можно преобразовать в
$$
\begin{equation}
(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)(\widetilde{ \boldsymbol M}- \boldsymbol M)= \frac{1}{2}[ \boldsymbol r(\widetilde{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }+ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s ) \boldsymbol K- \boldsymbol K \boldsymbol r(\widetilde{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }+ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s )].
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Тогда уравнение (2.5) напрямую следует из (1.5в). $\blacksquare$ 2.3. Динамическое свойство функции $\tau$Чтобы получить динамические уравнения для функции $\tau$, совершим $\tilde{\phantom{\tau}}$-сдвиг в равенстве (2.4) и используем сдвиговые соотношения для $ \boldsymbol M$, $ \boldsymbol r$, $ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s $ и определение функции $U_{a,b}$. Тогда имеем
$$
\begin{equation}
\tilde\tau^2=\tau^2\cdot \det[ \boldsymbol I+p( \boldsymbol I+ \boldsymbol C \boldsymbol M)^{-1} \boldsymbol C(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)^{-1} ( \boldsymbol r {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol K- \boldsymbol K \boldsymbol r {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s ) (p \boldsymbol I- \boldsymbol K)^{-1}].
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Учтем соотношение (частный случай формулы Вайнштейна–Ароншайна)
$$
\begin{equation}
\det( \boldsymbol I_N+ \boldsymbol E_{N\times 2} \boldsymbol R_{2\times N})=\det( \boldsymbol I_2+ \boldsymbol R_{2\times N} \boldsymbol E_{N\times 2}),
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\tilde\tau^2}{\tau^2}&= \det\biggl[ \boldsymbol I+\bigl( \boldsymbol X \boldsymbol r,\;- \boldsymbol X \boldsymbol K \boldsymbol r\bigr) \binom{\, {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol K \boldsymbol Y}{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol Y}\biggr]= \nonumber\\ &=\det\biggl[ \boldsymbol I_2+ \binom{\, {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol K \boldsymbol Y}{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol Y} \bigl( \boldsymbol X \boldsymbol r,\;\, - \boldsymbol X \boldsymbol K \boldsymbol r\bigr)\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где
$$
\begin{equation}
\boldsymbol X=p( \boldsymbol I+ \boldsymbol C \boldsymbol M)^{-1} \boldsymbol C(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)^{-1},\qquad \boldsymbol Y=(p \boldsymbol I- \boldsymbol K)^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Разлагая определители (2.14) и используя равенство $ \boldsymbol K \boldsymbol Y= \boldsymbol Y \boldsymbol K=p \boldsymbol Y- \boldsymbol I$, получаем
$$
\begin{equation}
\frac{\tilde\tau^2}{\tau^2}=(1+ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol Y \boldsymbol X \boldsymbol Y^{-1} \boldsymbol r) (1- {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol X \boldsymbol r)+ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol X \boldsymbol Y^{-1} \boldsymbol r\cdot {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol Y \boldsymbol X \boldsymbol r.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Комбинируя эту формулу и определение (2.3), с учетом равенств $V_p=W_p$, $u=0$, $U_{a,b}=-U_{b,a}$ (см. п. 4.3) имеем уравнение которое приводит к сдвиговому соотношению в $n$-направлении для функции $\tau$: Для других направлений решетки имеют место аналогичные сдвиговые соотношения с другими параметрами. 2.4. Динамические свойства скалярных функцийЧтобы найти динамические характеристики скалярных функций $U_{a,b}$ и $V_b$, сначала рассмотрим сдвиговые соотношения для вектора $ \boldsymbol u_b$. Применим $\tilde{\phantom{\tau}}$-сдвиг в определении (2.1а) вектора $ \boldsymbol u_b$, используем дисперсионное соотношение (1.5б) и сдвиговое соотношение (2.5б), получим матричное уравнение
$$
\begin{equation}
\tilde{ \boldsymbol u}_b-{ \boldsymbol u}_p\widetilde V_b+ (-2 \boldsymbol u_p+ \boldsymbol u)\widetilde U_{-p,b}= \frac{p+b}{p-b}( \boldsymbol u_b- \boldsymbol u_p).
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Умножим обе части этого уравнения слева на вектор-строку $ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol C$, получим следующее скалярное уравнение для $U_{a,b}$ и $V_b$:
$$
\begin{equation}
1-2V_p\widetilde U_{-p,b}=\frac{p+b}{p-b}(V_b-V_p)+V_p\widetilde V_b.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Если $b=-p$, то это уравнение принимает вид Существует еще одно соотношение между $V$ и функцией $\tau$, имеющее вид
$$
\begin{equation}
\frac{\tau}{\tilde\tau}=\widetilde V_{-p}\quad\text{или}\quad\frac{ \smash{\underset{\displaystyle\tilde{}}{\tau}} }{\tau}=V_{-p},
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
которое получается из (2.18). Если мы умножим слева обе части уравнения (2.19) на $ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \frac{a}{a \boldsymbol I- \boldsymbol K}\, \boldsymbol C$ и используем (1.5в), то получим уравнение динамики для переменной $U_{a,b}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{p-a}{p+a}\,\widetilde U_{a,b}&{}-\frac{p+b}{p-b}\,U_{a,b}+\frac{2a}{a+p}\,\widetilde U_{-p,b}+\frac{2b}{p-b}\,U_{a,p}+{} \nonumber\\ &{}+(V_a-1)\widetilde U_{-p,b}+(1-\widetilde V_b-2\widetilde U_{-p,b})U_{a,p}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Аналогичные соотношения можно получить для динамики по другой переменной $m$ или $h$, если заменить $\{p,\tilde{\phantom{\tau}}\}$ на $\{q,\hat{\phantom{\tau}}\}$ или $\{r,\bar{\phantom{\tau}}\}$. Например, заменяя в соотношении (2.20) $\tilde{\phantom{\tau}}$-сдвиг на $\bar{\phantom{\tau}}$-сдвиг и $p$ на $r$, получаем
$$
\begin{equation}
1-2V_r \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U _{-r,b}=\frac{r+b}{r-b}(V_b-V_r)+V_r \kern1.2pt\overline{\vphantom{V^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt V _b.
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Далее мы покажем, что эти уравнения можно использовать для вывода решеточного уравнения BКП. 2.5. Решеточное уравнение BКППоложим в (2.20) $b=-q$, получим
$$
\begin{equation}
1-2V_p\widetilde U_{-p,-q}=\frac{p-q}{p+q}(V_{-q}-V_p)+V_p\widetilde V_{-q}.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Используя (2.18) и аналоги соотношения (2.22) $V_p=\tilde\tau/\tau$ и $V_{-q}= \smash{\underset{\displaystyle\hat{}}{\tau}} /\tau$, отсюда выводим уравнение
$$
\begin{equation}
U_{-p,-q}=\frac{1}{2}\biggl(\frac{ \smash{\underset{\displaystyle\tilde{}}{\tau}} - \smash{\underset{\displaystyle\hat{}}{\tau}} }{\tau}-\frac{p-q}{p+q}\frac{\smash[b]{\underset{\displaystyle\tilde{\displaystyle\hat{}}}{\tau}} -\tau\vphantom{\tau_{q_q}}}{\tau}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
Меняя в этом уравнении параметры $\{-p,-q\}$ на $\{-r,-q\}$ или $\{-p,-r\}$, получаем аналогичные уравнения
$$
\begin{equation}
U_{-r,-q}=\frac{1}{2}\biggl(\frac{ \smash{\underset{\displaystyle\bar{}}{\tau}} - \smash{\underset{\displaystyle\hat{}}{\tau}} }{\tau}-\frac{r-q}{r+q}\frac{\smash[b]{\underset{\displaystyle\bar{\displaystyle\hat{}}}{\tau}} -\tau\vphantom{\tau_{q_q}}}{\tau}\biggr), \qquad U_{-p,-r}=\frac{1}{2}\biggl(\frac{ \smash{\underset{\displaystyle\tilde{}}{\tau}} - \smash{\underset{\displaystyle\bar{}}{\tau}} }{\tau}-\frac{p-r}{p+r}\frac{\smash[b]{\underset{\displaystyle\tilde{\displaystyle\bar{}}}{\tau}} -\tau\vphantom{\tau_{q_q}}}{\tau}\biggr).
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
При этом если в (2.24) $b=p$, то мы имеем
$$
\begin{equation}
1-2V_r \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U _{-r,p}=\frac{r+p}{r-p}(V_p-V_r)+V_r \kern1.2pt\overline{\vphantom{V^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt V _p.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Заменяя здесь переменные $V$ на функцию $\tau$, получаем уравнение
$$
\begin{equation}
U_{-r,p}=\frac{1}{2}\biggl(\frac{ \smash{\underset{\displaystyle\bar{\phantom{.}}}{\tau}} -\tilde\tau}{\tau}-\frac{r+p}{r-p}\,\frac{{ \smash{\underset{\displaystyle\bar{}}{\tilde\tau}} }-\tau}{\tau}\biggr),
\end{equation}
\tag{2.29}
$$
которое также можно получить из второго соотношения в (2.27) заменами $-p$ на $p$ и $ \underset{\displaystyle\tilde{}}{\tau} $ на $\tilde\tau$. Чтобы получить сдвиговые соотношения для $U_{a,b}$, заметим, что если в (2.23) положить $a=-r$, $b=-q$, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{p+r}{p-r}\,\widetilde U_{-r,-q}&{}-\frac{p-q}{p+q}\,U_{-r,-q}-\frac{2r}{p-r}\,\widetilde U_{-p,-q}-\frac{2q}{p+q}\,U_{-r,p}+{} \nonumber\\ &{}+(V_{-r}-1)\widetilde U_{-p,-q}+(1-\widetilde V_{-q}-2\widetilde U_{-p,-q})U_{-r,p}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Подставим полученные выше формулы в (2.30) и получим замкнутое уравнение (1.1) относительно функции $\tau$. Теперь выведем уравнение BКП с помощью метода обобщенной матрицы Коши. Затем покажем, как этот метод используется для получения пары Лакса уравнения BКП. 3. Пара Лакса уравнения BКПНапомним, что мы ввели вспомогательный вектор $ \boldsymbol u_b=( \boldsymbol I+ \boldsymbol M \boldsymbol C)^{-1}\frac{b}{b \boldsymbol I- \boldsymbol K}\, \boldsymbol r$. Используя дисперсионные соотношения (1.5б) и динамическое соотношение (2.5б), получаем сдвиговое уравнение для этого вектора:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol u_b-\tilde{ \boldsymbol u}_{-p}V_b+(-2\tilde{ \boldsymbol u}_{-p}+\tilde{ \boldsymbol u})U_{p,b}= \frac{p-b}{p+b}(\tilde{ \boldsymbol u}_b-\tilde{ \boldsymbol u}_{-p}).
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Аналогично, взяв $ \boldsymbol u=( \boldsymbol I+ \boldsymbol M \boldsymbol C)^{-1} \boldsymbol r$ и используя сдвиговые соотношения для $ \boldsymbol r$ и $ \boldsymbol M$, выводим уравнения
$$
\begin{equation}
\tilde{ \boldsymbol u}=2\widetilde V_{-p} \boldsymbol u_p-\widetilde V_{-p} \boldsymbol u,\qquad \boldsymbol u=2V_p\tilde{ \boldsymbol u}_{-p}-V_p\tilde{ \boldsymbol u}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Пусть $ \boldsymbol \phi=( \boldsymbol u)_0$, $ \boldsymbol \psi_b=( \boldsymbol u_b)_0$. Здесь $( \boldsymbol u)_0$ – нулевой элемент вектора $ \boldsymbol u$ и аналогично для $( \boldsymbol u_b)_0$. Тогда из (2.19) и (3.1) имеем
$$
\begin{equation}
\tilde{ \boldsymbol \psi}_b =\frac{p+b}{p-b}( \boldsymbol \psi_b- \boldsymbol \psi_p)+ (\widetilde V_b+2\widetilde U_{-p,b}) \boldsymbol \psi_p-\widetilde U_{-p,b} \boldsymbol \phi,
\end{equation}
\tag{3.3а}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \psi_b =\frac{p-b}{p+b}(\tilde{ \boldsymbol \psi}_b-\tilde{ \boldsymbol \psi}_{-p})+ (V_b+2U_{p,b})\tilde{ \boldsymbol \psi}_{-p}-U_{p,b}\tilde{ \boldsymbol \phi},
\end{equation}
\tag{3.3б}
$$
а из (3.2) получаем
$$
\begin{equation}
\tilde{ \boldsymbol \phi} =\widetilde V_{-p}(2 \boldsymbol \psi_p- \boldsymbol \phi),
\end{equation}
\tag{3.4а}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \phi =V_p(2\tilde{ \boldsymbol \psi}_{-p}-\tilde{ \boldsymbol \phi}).
\end{equation}
\tag{3.4б}
$$
Аналогично получаются сдвиговые уравнения для других направлений. В дальнейшем мы будем использовать приведенные выше формулы, чтобы вывести пару Лакса решеточного уравнения BКП. Положим в (3.3а) $b=q$, получим
$$
\begin{equation}
\tilde{ \boldsymbol \psi}_q=\frac{p+q}{p-q}( \boldsymbol \psi_q- \boldsymbol \psi_p)+ (\widetilde V_q+2\widetilde U_{-p,q}) \boldsymbol \psi_p-\widetilde U_{-p,q} \boldsymbol \phi.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Используя уравнение (3.4а) и его аналог, получающийся заменой $\{p,\tilde{\phantom{\tau}}\}$ на $\{q,\hat{\phantom{\tau}}\}$, имеем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \psi_p=\frac{1}{2}\biggl(\frac{\tilde{ \boldsymbol \phi}}{\widetilde V_{-p}}+ \boldsymbol \phi\biggr),\qquad \boldsymbol \psi_q=\frac{1}{2}\biggl(\frac{\hat{ \boldsymbol \phi}}{\widehat V_{-q}}+ \boldsymbol \phi\biggr).
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Предположим, что в (2.20) $b=q$, в результате приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
\widetilde U_{-p,q}=\frac{1}{2V_p}\biggl[1-\frac{p+q}{p-q}(V_q-V_p)+V_p\widetilde V_q\biggr].
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Подставим (3.6), (3.7) в (3.5) и применим (2.18) и (2.21). В результате приходим к
$$
\begin{equation}
\hat{\tilde{ \boldsymbol \phi}}= \boldsymbol \phi+\frac{p+q}{p-q}\cdot \frac{\hat\tau\tilde\tau}{\tau\hat{\tilde\tau}}(\hat{ \boldsymbol \phi}-\tilde{ \boldsymbol \phi}).
\end{equation}
\tag{3.8а}
$$
С помощью аналогичной процедуры выводим уравнения
$$
\begin{equation}
\bar{\tilde{ \boldsymbol \phi}} = \boldsymbol \phi+ \frac{p+r}{p-r}\cdot\frac{\bar\tau\tilde\tau}{\tau\bar{\tilde\tau}}(\bar{ \boldsymbol \phi}-\tilde{ \boldsymbol \phi}),
\end{equation}
\tag{3.8б}
$$
$$
\begin{equation}
\bar{\hat{ \boldsymbol \phi}} = \boldsymbol \phi+ \frac{q+r}{q-r}\cdot\frac{\bar\tau\hat\tau}{\tau\bar{\hat\tau}}(\bar{ \boldsymbol \phi}-\hat{ \boldsymbol \phi}).
\end{equation}
\tag{3.8в}
$$
Решеточное уравнение BКП (1.1) получается из условия совместности системы (3.8). Таким образом, мы можем сказать, что система (3.8) порождает пару Лакса решеточного уравнения BКП. На самом деле пару Лакса для уравнения BКП можно получить с другой точки зрения, а именно в контексте многомерной согласованности [19], [20]. Что нам нужно сделать, так это добавить к кубу новое направление, которое мы обозначаем как $l$ (см. рис. 1). Соответствующий параметр решетки равен $s$, а сдвиг обозначается точкой сверху. Это приводит к системе уравнений
$$
\begin{equation}
\alpha_1\alpha_2\alpha_3\tau\bar{\hat{\tilde\tau}}+ \alpha_1\tilde\tau\bar{\hat\tau}+\alpha_2\hat\tau\bar{\tilde\tau}+\alpha_3\bar\tau\hat{\tilde\tau} =0,
\end{equation}
\tag{3.9а}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_1\beta_2\beta_3\tau\dot{\bar{\hat\tau}}+ \beta_1\dot{\tau}\bar{\hat\tau}+\beta_2\hat\tau\dot{\bar\tau}+\beta_3\bar\tau\dot{\hat\tau} =0,
\end{equation}
\tag{3.9б}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma_1\gamma_2\gamma_3\tau\dot{\bar{\tilde\tau}}+ \gamma_1\tilde\tau\bar{\dot\tau}+\gamma_2\dot{\tau}\bar{\tilde\tau}+\gamma_3\bar\tau\dot{\tilde\tau} =0,
\end{equation}
\tag{3.9в}
$$
$$
\begin{equation}
\delta_1\delta_2\delta_3\tau\dot{\hat{\tilde\tau}}+ \delta_1\tilde\tau\dot{\hat\tau}+\delta_2\hat\tau\dot{\tilde\tau}+\delta_3\dot\tau\hat{\tilde\tau} =0,
\end{equation}
\tag{3.9г}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\alpha_1=\frac{q-r}{q+r},\qquad \alpha_2=\frac{r-p}{r+p},\qquad\alpha_3=\frac{p-q}{p+q},
\end{equation*}
\notag
$$
а $\beta_j$, $\gamma_j$ или $\delta_j$ ($j=1,2,3$) получаются из $\alpha_j$ заменами на $s$ соответственно параметров $p$, $q$ или $r$. Таким образом, если задать
$$
\begin{equation}
Y={\gamma_3}^n{\delta_1}^m{\beta_2}^h\frac{\dot\tau}{\tau}=\biggl(\frac{p-s}{p+s}\biggr)^{\!n}\biggl(\frac{q-s}{q+s}\biggr)^{\!m} \biggl(\frac{r-s}{r+s}\biggr)^{\!h}\frac{\dot\tau}{\tau},
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
то из (3.9б)–(3.9г) получаем триплет уравнений Лакса
$$
\begin{equation}
\widehat{\widetilde Y}=Y+\frac{\tilde\tau\hat\tau}{\alpha_3\tau\hat{\tilde\tau}}(\widehat Y-\widetilde Y\kern1pt),\quad\; \overline{\widetilde Y}=Y+\frac{\bar\tau\tilde\tau}{\alpha_2\tau\bar{\tilde\tau}}(\widetilde Y- \kern1.2pt\overline{\vphantom{Y^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt Y \kern1pt),\quad\; \overline{\widehat Y}=Y+\frac{\hat\tau\bar\tau}{\alpha_1\tau\bar{\hat\tau}}( \kern1.2pt\overline{\vphantom{Y^*}\kern6.8pt}\kern-7.5pt Y -\widehat Y\kern1pt).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
4. Точные решения решеточного уравнения BКПВ этом разделе мы находим решения уравнения Сильвестра (1.5а) при условиях (1.5б) и (1.5в). Заметим, что матрицы $ \boldsymbol K$ и $- \boldsymbol K$ в уравнении (1.5а) не имеют общих собственных значений, поэтому уравнение Сильвестра (1.5а) имеет единственное решение $ \boldsymbol M$. Основная идея построения решений матричного уравнения (1.5а) заключается в применении факторизации матрицы $ \boldsymbol M$,
$$
\begin{equation}
\boldsymbol M= \boldsymbol F \boldsymbol G \boldsymbol H,
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
и задании матриц $ \boldsymbol F$, $ \boldsymbol G$, $ \boldsymbol H$ путем анализа структуры собственных значений матрицы $ \boldsymbol K$. 4.1. Упрощение системы (1.5)Рассмотрим преобразование подобия
$$
\begin{equation}
\boldsymbol K_1= \boldsymbol T \boldsymbol K \boldsymbol T^{-1},
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $ \boldsymbol T$ – матрица преобразования. Введем обозначения
$$
\begin{equation}
\boldsymbol M_1= \boldsymbol T \boldsymbol M \boldsymbol T^{-1},\qquad \boldsymbol r_1= \boldsymbol T \boldsymbol r,\qquad {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _1= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol T^{-1},
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
тогда
$$
\begin{equation}
\boldsymbol K_1 \boldsymbol M_1+ \boldsymbol M_1 \boldsymbol K_1= \frac{1}{2}( \boldsymbol r_1 {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _1 \boldsymbol K_1- \boldsymbol K_1 \boldsymbol r_1 {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _1),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
это уравнение формально совпадает с (1.5а). Аналогично, скалярная функция $U_{a,b}$ и функция $\tau$ сохраняют инвариантность относительно преобразования подобия (4.3), а $ \boldsymbol C_1= \boldsymbol T \boldsymbol T^{-1}$. Мы требуем, чтобы матрица $ \boldsymbol T$ была ортогональной, что приводит к антисимметричной матрице $ \boldsymbol C_1$, как и требуется. Следовательно, в этом контексте, когда мы решаем уравнение Сильвестра (1.5а), нужно рассмотреть только каноническую форму уравнений:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \Gamma \boldsymbol M+ \boldsymbol M \boldsymbol \Gamma= \frac{1}{2}( \boldsymbol r {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \boldsymbol \Gamma- \boldsymbol \Gamma \boldsymbol r {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s ),
\end{equation}
\tag{4.5а}
$$
$$
\begin{equation}
(p \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)\tilde{ \boldsymbol r}=(p \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma) \boldsymbol r,\quad (q \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)\hat{ \boldsymbol r}=(q \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma) \boldsymbol r,\quad (r \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)\bar{ \boldsymbol r}=(r \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma) \boldsymbol r,
\end{equation}
\tag{4.5б}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }(p \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s (p \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma),\;\;\, \widehat{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }(q \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s (q \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma),\;\;\, \overline{ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s }(r \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma)= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s (r \boldsymbol I+ \boldsymbol \Gamma),
\end{equation}
\tag{4.5в}
$$
где $ \boldsymbol \Gamma$ – каноническая форма матрицы $ \boldsymbol K$, которая может иметь следующий вид:диагональный случай
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N}_1)=\operatorname{Diag}(k_1,\ldots,k_N),\qquad k_j\in\mathbb{C};
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
жорданов случай
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)= \begin{pmatrix} k_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & k_1 & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 1 & k_1 & \ddots & 0\\ \vdots &\ddots &\ddots &\ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & k_1 \end{pmatrix};
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
общий случай
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm g}=\operatorname{Diag} \bigl( \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N_1}_1), \boldsymbol \Gamma^{[N_2]}_{\mathrm J}(k_{N_1+1}), \boldsymbol \Gamma^{[N_3]}_{\mathrm J}(k_{N_1+2}),\ldots, \boldsymbol \Gamma^{[N_s]}_{\mathrm J}(k_{N_1+(s-1)})\bigr),
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где $\sum^s_{j=1}N_j=N$. Нижние индексы d, J и g здесь и далее отвечают диагональному, жордановому или общему виду матрицы $ \boldsymbol \Gamma$. 4.2. Точные решения системы (4.5) и решеточного уравнения BКПВ соответствии со структурой собственных значений матрицы $ \boldsymbol K$ решение матричной системы (4.5) можно получить, рассматривая три основных вида матрицы $ \boldsymbol \Gamma$. 4.2.1. Диагональный случай: $ \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N}_1)$Решение системы (4.5) задается как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \boldsymbol M= \boldsymbol F \boldsymbol G \boldsymbol H=\biggl(\frac{(k_j-k_i)\rho_i\rho_j}{2(k_i+k_j)}\biggr)_{\!N\times N}, \\ \boldsymbol r= \boldsymbol r_{\mathrm d}^{[N]}(\{k_j\}_1^{N})=(\rho_1,\ldots,\rho_N)^{\mathrm T},\qquad {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s = {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _{\mathrm d}^{[N]}(\{k_j\}_1^{N})=(\rho_1,\ldots,\rho_N), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \rho_i^{}=\biggl(\frac{p+k_i}{p-k_i}\biggr)^{\!n} \biggl(\frac{q+k_i}{q-k_i}\biggr)^{\!m} \biggl(\frac{r+k_i}{r-k_i}\biggr)^{\!h}\rho_i^0, \\ \boldsymbol F= \boldsymbol F^{[N]}_{\mathrm d}(\{k_j\}_1^{N})=\operatorname{Diag}(\rho_1,\ldots,\rho_N),\qquad \boldsymbol H= \boldsymbol H^{[N]}_{\mathrm d}(\{k_j\}_1^{N})=\operatorname{Diag}(\rho_1,\ldots,\rho_N), \\ \boldsymbol G= \boldsymbol G^{[N]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N}_1)=(G_{i,j})_{N\times N},\qquad G_{i,j}=\frac{k_j-k_i}{2(k_i+k_j)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\rho^0_i$ ($i=1,\ldots,N$) – произвольные постоянные. Мы рассматриваем $\rho_i$ как дискретные плосковолновые факторы. Следует отметить, что в этом случае $ \boldsymbol M$ – антисимметричная матрица, поэтому $\det( \boldsymbol I+ \boldsymbol C \boldsymbol M)$ – полный квадрат. Это означает, что соответствующая функция $\tau$ является пфаффианом, который имеет вид и элементы пфаффиана задаются как
$$
\begin{equation*}
(i,j)=C_{i,j},\qquad (i^*,j^*)=M_{i,j}, \qquad (i,j^*)=(j,i^*)=\delta_{i,j},
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \boldsymbol C=(C_{i,j})_{1\leqslant i, j\leqslant N}$, $ \boldsymbol M=(M_{i,j})_{1\leqslant i, j\leqslant N}$ и $\delta_{i,j}$ – символ Кронекера. В этом случае мы получаем солитонные решения решеточного уравнения BКП, которые представлены в [5], [12]. В частности, при $N=2$ и $C_{12}=-C_{21}=1$ мы получаем односолитонное решение решеточного уравнения BКП
$$
\begin{equation}
\tau_{\text{1ss}}=(1,2,1^*,2^*)=-1+M_{1,2}=-1+\frac{k_2-k_1}{2(k_1+k_2)}\rho_1\rho_2.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Если в функции $\tau$ взять матрицы четного порядка, то получается $N$-солитонное решение Далее получим некоторые новые явные решения решеточного уравнения BКП. 4.2.2. Жорданов случай: $ \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)$Сначала заметим, что нетрудно найти решение уравнений (4.5б) и (4.5в), которое имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \boldsymbol r&= \boldsymbol r_{\mathrm J}^{[N]}(k_1)= \biggl(\rho_1,\frac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!},\ldots,\frac{\partial^{N-1}_{k_1}\rho_1}{(N-1)!}\biggr)^{\!\mathrm T}, \\ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s &= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _{\mathrm J}^{[N]}(k_1)= \biggl(\frac{\partial^{N-1}_{k_1}\rho_1}{(N-1)!},\ldots,\frac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!},\rho_1\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Чтобы получить явный вид матрицы $ \boldsymbol M$ в уравнении (4.5а), перепишем $ \boldsymbol F $ и $ \boldsymbol H$ в (4.1) как
$$
\begin{equation}
\boldsymbol r_{\mathrm J}^{[N]}(k_1)= \boldsymbol F\cdot \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J},\qquad {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _{\mathrm J}^{[N]}(k_1)={ \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}}{\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\cdot \boldsymbol H,
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
где $ \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}=(1,0,\ldots,0)^{\mathrm T}$ – вектор-столбец размера $N$. Прямые вычисления дают
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol F&= \boldsymbol F^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)= \begin{pmatrix} \rho_1 & 0 & \ldots & 0\\ \dfrac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!} & \rho_1 & \ddots & 0\\ \vdots &\ddots & \ddots & \vdots\\ \dfrac{\partial^{N-1}_{k_1}\rho_1}{(N-1)!} & \ldots & \dfrac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!} & \rho_1\\ \end{pmatrix}, \\[2mm] \boldsymbol H&= \boldsymbol H^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{N-1}_{k_1}\rho_1}{(N-1)!} & \ldots & \dfrac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!} & \rho_1\\ \vdots & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \rho_1 & 0\\ \dfrac{\partial_{k_1}\rho_1}{1!} & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \vdots \\ \rho_1 & 0 & \ldots & 0\\ \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение (4.5а) записывается как
$$
\begin{equation}
\boldsymbol F \boldsymbol G \boldsymbol H \boldsymbol \Gamma+ \boldsymbol \Gamma \boldsymbol F \boldsymbol G \boldsymbol H=\frac{1}{2} \bigl( \boldsymbol F\cdot \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J} \cdot( \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\cdot \boldsymbol H\cdot \boldsymbol \Gamma- \boldsymbol \Gamma\cdot \boldsymbol F\cdot \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}\cdot( \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\cdot \boldsymbol H\bigr),
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где $ \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)$. Благодаря свойствам $ \boldsymbol F \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma \boldsymbol F$ и $ \boldsymbol H \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{\mathrm T} \boldsymbol H$ уравнение (4.15) сводится к
$$
\begin{equation}
\boldsymbol G { \boldsymbol \Gamma}^{\mathrm T}+ \boldsymbol \Gamma \boldsymbol G=\frac{1}{2} \bigl( \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}\cdot( \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\cdot \boldsymbol \Gamma^{\mathrm T}- \boldsymbol \Gamma\cdot \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}\cdot( \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\bigr).
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Чтобы найти матрицу $ \boldsymbol G $, запишем ее как $ \boldsymbol G= \boldsymbol G^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)=(G_1,\ldots,G_N)$, где $\{G_j\}$ – столбцы матрицы. Тогда (4.16) распадается на отдельные уравнения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, ( \boldsymbol \Gamma+k_1^{} \boldsymbol I)G_1^{}=\biggl(0,-\frac{1}{2},0,\ldots,0\biggr)^{\!\mathrm T},\qquad ( \boldsymbol \Gamma+k_1^{} \boldsymbol I)G_2^{}+G_1^{}=\frac{1}{2} \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}, \\ ( \boldsymbol \Gamma+k_1 \boldsymbol I)G_{i+1}+G_i=0,\qquad i=2,\ldots,N-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Эта система имеет решение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_1&=\biggl(0,-\frac{k_1}{(2k_1)^2},\frac{k_1}{(2k_1)^3},\ldots,\frac{(-1)^{N-1}k_1}{(2k_1)^{N}}\biggr)^{\!\mathrm T}, \nonumber\\ {} \\ G_i&=(-1)^ik_1\biggl(\frac{1}{(2k_1)^i},\frac{2-i}{(2k_1)^{i+1}},\ldots, (-1)^{N}\frac{\mathrm{C}_{N+i-3}^{N-2}-\mathrm{C}_{N+i-3}^{N-1}}{(2k_1)^{N+i-1}}\biggr)^{\!\mathrm T},\quad i=2,3,\ldots,N, \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
где $\mathrm{C}^{j_2}_{j_1}=\frac{j_1!}{j_2!\,(j_1-j_2)!}$ для неотрицательных целых чисел $j_1\geqslant j_2$. Таким образом, получаем следующее явное выражение для $ \boldsymbol M$:
$$
\begin{equation}
\boldsymbol M= \boldsymbol F^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)\cdot \boldsymbol G^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)\cdot \boldsymbol H^{[N]}_{\mathrm J}(k_1);
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
соответствующая функция $\tau$ (2.4) вместе с соотношением (4.19) порождает точные решения решеточного уравнения BКП. 4.2.3. Общий случайТеперь исследуем общий случай с матрицей $ \boldsymbol \Gamma$ вида
$$
\begin{equation}
\boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm g}=\operatorname{Diag} \bigl( \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N_1}_1), \boldsymbol \Gamma^{[N_2]}_{\mathrm J}(k_{N_1+1}), \boldsymbol \Gamma^{[N_3]}_{\mathrm J}(k_{N_1+2}),\ldots, \boldsymbol \Gamma^{[N_s]}_{\mathrm J}(k_{N_1+(s-1)})\bigr).
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
Подстановка этого выражения в (4.5б) и (4.5в) приводит к уравнениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \boldsymbol r&=\bigl( \boldsymbol r_{\mathrm d}^{[N_1]}(\{k_j\}_1^{N_1})^{\mathrm T}, \boldsymbol r_{\mathrm J}^{[N_2]}(k_{N_1+1})^{\mathrm T}, \boldsymbol r_{\mathrm J}^{[N_3]}(k_{N_1+2})^{\mathrm T},\ldots, \boldsymbol r_{\mathrm J}^{[N_s]}(k_{N_1+(s-1)})^{\mathrm T}\bigr){}^{\mathrm T}, \\ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s &=\bigl( {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _{\mathrm d}^{[N_1]}(\{k_j\}_1^{N_1}), {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _{\mathrm J}^{[N_2]}(k_{N_1+1}), {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _{\mathrm J}^{[N_3]}(k_{N_1+2}),\ldots, {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s _{\mathrm J}^{[N_s]}(k_{N_1+(s-1)})\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для дальнейшего анализа запишем матрицу $ \boldsymbol I_{\mathrm g}$ как
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol I_{\mathrm g}=\bigl( \boldsymbol I_{\mathrm d}^{[N_1]}(\{k_j\}_1^{N_1})^{\mathrm T}, \boldsymbol I_{\mathrm J}^{[N_2]}(k_{N_1+1})^{\mathrm T}, \boldsymbol I_{\mathrm J}^{[N_3]}(k_{N_1+2})^{\mathrm T},\ldots, \boldsymbol I_{\mathrm J}^{[N_s]}(k_{N_1+(s-1)})^{\mathrm T}\bigr){}^{\mathrm T},
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d}=(1,\ldots,1)^{\mathrm T}$. При нахождении $ \boldsymbol M$ мы, как и выше, считаем, что в (4.5а)
$$
\begin{equation}
\boldsymbol M= \boldsymbol F \boldsymbol G \boldsymbol H,
\end{equation}
\tag{4.21а}
$$
где
$$
\begin{equation}
\boldsymbol F =\operatorname{Diag} \bigl( \boldsymbol F^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{[N_1]}_1), \boldsymbol F^{[N_2]}_{\mathrm J}(k_{N_1+1}), \boldsymbol F^{[N_3]}_{\mathrm J}(k_{N_1+2}),\ldots, \boldsymbol F^{[N_s]}_{\mathrm J}(k_{N_1+(s-1)})\bigr),
\end{equation}
\tag{4.21б}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol H =\operatorname{Diag} \bigl( \boldsymbol H^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{[N_1]}_1), \boldsymbol H^{[N_2]}_{\mathrm J}(k_{N_1+1}), \boldsymbol H^{[N_3]}_{\mathrm J}(k_{N_1+2}),\ldots\,, \boldsymbol H^{[N_s]}_{\mathrm J}(k_{N_1+(s-1)})\bigr).
\end{equation}
\tag{4.21в}
$$
Используя равенства
$$
\begin{equation}
\boldsymbol F \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma \boldsymbol F, \qquad \boldsymbol H \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{\mathrm T} \boldsymbol H,\qquad \boldsymbol r= \boldsymbol F\cdot \boldsymbol I_{\mathrm g},\qquad {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s = \boldsymbol I_{\mathrm g}^{\mathrm T}\cdot \boldsymbol H,
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
исключаем $ \boldsymbol F$ и $ \boldsymbol H$, тогда (4.5а) эквивалентно
$$
\begin{equation}
\boldsymbol G { \boldsymbol \Gamma}^{\mathrm T}+ \boldsymbol \Gamma \boldsymbol G=\frac{1}{2} ( \boldsymbol I_{\mathrm g}^{}\cdot \boldsymbol I_{\mathrm g}^{\mathrm T}\cdot \boldsymbol \Gamma^{\mathrm T}- \boldsymbol \Gamma\cdot \boldsymbol I_{\mathrm g}\cdot \boldsymbol I_{\mathrm g}^{\mathrm T}),
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
откуда мы видим, что $ \boldsymbol G$ – антисимметричная блочная матрица: $ \boldsymbol G^{\mathrm T}=- \boldsymbol G$. Запишем ее в виде $ \boldsymbol G=( \boldsymbol G_{i,j})_{N\times N}$, где каждая $ \boldsymbol G_{i,j}$ – это матрица размера $N_i\times N_j$. Тогда блоки $ \boldsymbol G_{i,j}$ при $1<j\leqslant s$ удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\boldsymbol G_{1,1}( \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_i\}^{N_1}_1))^{\mathrm T}+ \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_i\}^{N_1}_1) \boldsymbol G_{1,1}= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad =\frac{1}{2} \bigl( \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d}\cdot( \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d})^{\mathrm T}\cdot ( \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_i\}^{N_1}_1)){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}- \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_i\}^{N_1}_1)\cdot \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d}\cdot ( \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\bigr),
\end{equation}
\tag{4.24а}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol G_{1,j}( \boldsymbol \Gamma^{[N_j]}_{\mathrm J}(k_{N_1+j-1})){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}+ \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N_1}_1) \boldsymbol G_{1,j}= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad =\frac{1}{2} \bigl( \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d}\cdot( \boldsymbol I^{[N_j]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\cdot ( \boldsymbol \Gamma^{[N_j]}_{\mathrm J}(k_{N_1+j-1})){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}- \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N_1}_1)\cdot \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d}\cdot ( \boldsymbol I^{[N_j]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\bigr),
\end{equation}
\tag{4.24б}
$$
а при $1<i\leqslant j\leqslant s$ они удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \boldsymbol G_{i,j}( \boldsymbol \Gamma^{[N_j]}_{\mathrm J}(k_{N_1+j-1})){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}+ \boldsymbol \Gamma^{[N_i]}_{\mathrm J}(k_{N_1+i-1}) \boldsymbol G_{i,j}= \nonumber\\ &\quad =\frac{1}{2} \bigl( \boldsymbol I^{[N_i]}_{\mathrm J}\cdot( \boldsymbol I^{[N_j]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\cdot ( \boldsymbol \Gamma^{[N_j]}_{\mathrm J}(k_{N_1+j-1})){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}- \boldsymbol \Gamma^{[N_i]}_{\mathrm J}(k_{N_1+i-1})\cdot \boldsymbol I^{[N_i]}_{\mathrm J}\cdot( \boldsymbol I^{[N_j]}_{\mathrm J}){\vphantom{|^a}}^{\mathrm T}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.24в}
$$
В силу антисимметричности матрицы $ \boldsymbol G$ уравнения для $ \boldsymbol G_{j,1}$ с $1<j\leqslant s$ и для $ \boldsymbol G_{j,i}$ с $1<i\leqslant j\leqslant s$ представляют собой транспонированные с обратным знаком уравнения (4.24б) и (4.24в) соответственно. В результате матрицу $ \boldsymbol G$ можно полностью получить, решая систему (4.24). Решением уравнения (4.24а) является $ \boldsymbol G_{1,1}= \boldsymbol G^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N_1}_1)$, что можно проверить непосредственно. Рассмотрим уравнение (4.24б). Опять же запишем
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol G_{1,j}= \boldsymbol G^{[N_1,N_j]}_{\mathrm{dJ}}(\{k_j\}^{N_1}_1;b)=(G_1,G_2,\ldots,G_{N_j}),\qquad b=k_{N_1+j-1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\{G_i\}$ – столбцы матрицы. Тогда из (4.24б) находим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \bigl( \boldsymbol \Gamma_{\mathrm d}^{[N_1]}(\{k_j\}_1^{N_1})+b \boldsymbol I\bigr)G_1^{}=\biggl(\frac{b-k_1}{2},\ldots,\frac{b-k_{N_1}}{2}\biggr)^{\!\mathrm T}, \\ \bigl( \boldsymbol \Gamma_{\mathrm d}^{[N_1]}(\{k_j\}_1^{N_1})+b \boldsymbol I\bigr)G_2^{}+G_1^{}=\frac{1}{2}\, \boldsymbol I^{[N_1]}_{\mathrm d}, \\ ( \boldsymbol \Gamma_{\mathrm d}^{[N_1]}(\{k_j\}_1^{N_1})+b \boldsymbol I)G_{i+1}^{}+G_i^{}=(0,\ldots,0)^{\mathrm T},\qquad i=2,\ldots,N_j-1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
Решение этих уравнений имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_1&=\biggl(\frac{b-k_1}{2(b+k_1)},\ldots,\frac{b-k_{N_1}}{2(b+k_{N_1})}\biggr)^{\!\mathrm T}, \\ G_i&=(-1)^i\biggl(\frac{k_1}{(b+k_1)^i},\ldots,\frac{k_{N_1}}{(b+k_{N_1})^i}\biggr)^{\!\mathrm T},\qquad i=2,\ldots,N_j. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.26}
$$
Теперь обратимся к уравнению (4.24в). Положив
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol G_{i,j}= \boldsymbol G^{[N_i,N_j]}_{\mathrm{JJ}}(a,b)=(G_1,\ldots,G_{N_j}),\qquad a=k_{N_1+i-1},\quad b=k_{N_1+j-1},
\end{equation*}
\notag
$$
получаем эквивалентную (4.24в) систему уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, ( \boldsymbol \Gamma_{\mathrm J}^{[N_i]}(a)+b \boldsymbol I)G_1^{}=\biggl(\frac{b-a}{2},-\frac{1}{2},0,\ldots,0\biggr)^{\!\mathrm T}, \\ ( \boldsymbol \Gamma_{\mathrm J}^{[N_i]}(a)+b \boldsymbol I)G_2^{}+G_1^{}=\frac{1}{2}\, \boldsymbol I^{[N]}_{\mathrm J}, \\ ( \boldsymbol \Gamma_{\mathrm J}^{[N_i]}(a)+b \boldsymbol I)G_{\nu+1}^{}+G_{\nu}^{}=(0,\ldots,0)^{\mathrm T},\qquad \nu=2,\ldots,N_j-1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
которая имеет решение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_1&=\biggl(\frac{b-a}{2(a+b)},\frac{-b}{(a+b)^2},\frac{b}{(a+b)^{3}},\ldots,\frac{(-1)^{N_i-1}b}{(a+b)^{N_i}}\biggr)^{\!\mathrm T}, \\ G_{\nu}&=(-1)^{\nu}\biggl(\frac{a}{(a+b)^{\nu}},\frac{b-(\nu-1)a}{(a+b)^{\nu+1}},\ldots,(-1)^{N_i} \frac{C_{N_i+\nu-3}^{N_i-2}b-C_{N_i+\nu-3}^{N_i-1}a}{(a+b)^{N_i+\nu-1}}\biggr)^{\mathrm T} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
для $\nu=2,\ldots,N_j$. Как результат, решение уравнения (4.24) записывается как
$$
\begin{equation}
\boldsymbol G_{1,1}^{} = \boldsymbol G^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N_1}_1),
\end{equation}
\tag{4.29а}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol G_{1,j}^{} =- \boldsymbol G_{j,1}^{\mathrm T}= \boldsymbol G^{[N_1,N_j]}_{\mathrm{dJ}}(\{k_j\}^{N_1}_1;k_{N_1+j-1}), \qquad 1<j\leqslant s,
\end{equation}
\tag{4.29б}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol G_{i,j}^{} =- \boldsymbol G_{j,i}^{\mathrm T}= \boldsymbol G^{[N_i,N_j]}_{\mathrm{JJ}}(k_{N_1+i-1},k_{N_1+j-1}), \qquad 1<i\leqslant j\leqslant s.
\end{equation}
\tag{4.29в}
$$
Сразу же понятно, что если в системе (4.27) $a=b=k_1$, $N_i=N_j=N$, то мы получаем систему (4.17). Следовательно, $ \boldsymbol G_{i,j}$ из (4.29в) при $i=j$ дает точное решение уравнения (4.27). В общем случае, подставляя матрицу $ \boldsymbol G=( \boldsymbol G_{i,j})_{N\times N}$ с блоками (4.29) в (4.21), мы получаем явное выражение для $ \boldsymbol M$, а также соответствующую функцию $\tau$ (2.4) для решеточного уравнения BКП. 4.3. Свойство антисимметричностиУчитывая структуру собственных значений матрицы $ \boldsymbol K$, в этом пункте мы будем использовать три канонические формы матрицы $ \boldsymbol \Gamma$, чтобы обсудить антисимметричность функции $U_{a,b}$. Мы знаем, что с учетом уравнений (4.5) функция $U_{a,b}$ может быть записана как
$$
\begin{equation}
U_{a,b}= {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \frac{a}{a \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma}( \boldsymbol I+ \boldsymbol C \boldsymbol M)^{-1} \boldsymbol C\frac{b}{b \boldsymbol I- \boldsymbol \Gamma}\, \boldsymbol r.
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Докажем ее антисимметричность в двух основных случаях. Обозначения, которые мы используем ниже, такие же, как в п. 4.2. Случай 1 : $ \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N}_1)$. В этом случае решение системы (4.5), заданное соотношениями (4.9), имеет вид Случай 2 : $ \boldsymbol \Gamma= \boldsymbol \Gamma^{[N]}_{\mathrm J}(k_1)$. В этом случае решение системы (4.5) задается формулами Случай 3 : $ \boldsymbol \Gamma=\operatorname{Diag}\bigl( \boldsymbol \Gamma^{[N_1]}_{\mathrm d}(\{k_j\}^{N_1}_1), \boldsymbol \Gamma^{[N_2]}_{\mathrm J}(k_{N_1+1}),\ldots, \boldsymbol \Gamma^{[N_s]}_{\mathrm J}(k_{N_1+(s-1)})\bigr)$. Мы знаем, что в этом общем случае решение системы (4.5) задается формулами (4.29) с учетом (4.21): 5. ЗаключениеОтличительной чертой интегрируемых систем является тот факт, что они обладают солитонными решениями, и естественно ожидать, что мы будем получать какие-то новые типы точных решений уравнения. В представленной статье мы вывели решеточное уравнение BКП для функции $\tau$ и получили для него пары Лакса и точные решения. Мы использовали метод обобщенной матрицы Коши, который является эффективным способом построения солитонных решений, а также других связанных с ними решений. Наша статья в основном посвящена этому подходу и его применению к решеточному уравнению BКП. Нашим основным инструментом было надлежащим образом выбранное уравнение Сильвестра (1.5а), матрица $ \boldsymbol M$ в этом уравнении используется для задания функции $\tau$ (2.4). С помощью сдвиговых соотношений для $ \boldsymbol M$ и скалярных функций, задающихся набором данных $\{ \boldsymbol K, \boldsymbol M, \boldsymbol r, {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s \}$ и антисимметричной матрицей $ \boldsymbol C$, мы получили замкнутое уравнение для функции $\tau$, которое и является решеточным уравнением BКП (1.1). Очевидно, что, когда известно явное выражение для $ \boldsymbol M$, можно найти точное решение решеточного уравнения BКП. Чтобы решить систему уравнений (1.5), мы показали, что, опираясь на структуру собственных значений матрицы $ \boldsymbol K$, можно значительно упростить задачу: необходимо только исследовать решения системы (1.5) для трех видов канонической матрицы $ \boldsymbol \Gamma$. Векторы $ \boldsymbol r$, $ {}^{\kern1pt\mathrm t\kern-1pt}\boldsymbol s $ при этом напрямую получаются из дисперсионных соотношений, а явные решения для $ \boldsymbol M$ выводятся с использованием факторизированного представления матрицы. Мы применили эти результаты, чтобы получить дополнительные точные решения по сравнению с обычными многосолитонными решениями решеточного уравнения BКП. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SunWuZha23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|