| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Двухкомпонентное комплексное модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза: новые солитонные решения, получающиеся из нового бинарного преобразования Дарбу Жу-Со Е, И Чжан Department of Mathematics, Zhejiang Normal University, Jinhua, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923020034 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИзвестное модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза (уравнение мКдФ) широко применяется в различных областях, например при описании меандрирующих океанских течений [1], динамики транспортных потоков [2], в гидромеханике [3], при изучении распространения солитонов в решетках [4] и т. д. Для этого уравнения интенсивно исследовались начально-краевая задача и точные решения [5]–[8].Уравнение мКдФ (1) можно обобщить на двухкомпонентный случай:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & u_{1t}+u_{1xxx}+6(u_1^2+u_2^2)u_{1x}=0, \\ & u_{2t}+u_{2xxx}+6(u_1^2+u_2^2)u_{2x}=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
В работе [9] это двухкомпонентное уравнение изучалось с помощью преобразования Дарбу (ПД), и были найдены его многосолитонные решения, а также путем обобщения линейной задачи на собственные значения для матрицы АКНС размера $2\times 2$ на случай матрицы размера $2^N\times 2^N$ была построена пара Лакса для $N$-компонентных уравнений мКдФ (уравнений $N$-кмКдФ). В работе [10] с помощью метода обратной задачи рассеяния были получены многосолитонные решения уравнений (2). В работе [11] при исследовании начально-краевой задачи для уравнений (2) на полуоси был использован метод Фокаса. Настоящая работа посвящена двухкомпонентному комплексному уравнению мКдФ (уравнению 2-ккмКдФ)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & u_{1t}+u_{1xxx}+6(|u_1|^2+|u_2|^2)u_{1x}=0, \\ & u_{2t}+u_{2xxx}+6(|u_1|^2+|u_2|^2)u_{2x}=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
которое представляет собой комплексный вариант уравнений (2). Следует отметить, что изучение $N$-компонентных уравнений представляет интерес с точки зрения теории нелинейных волн, поскольку в этом случае интегрируемые системы обычно содержат более одной компоненты [12]–[14]. Обобщение уравнений (3) на $N$-компонентные комплексные уравнения мКдФ (уравнения $N$-ккмКдФ) имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathbf u_t+\mathbf u_{xxx}+6\mathbf u^\unicode{8224} \mathbf u\mathbf u_x=0,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\mathbf u=(u_1,u_2,\ldots,u_N)^{\mathrm T}$ и $\unicode{8224}$ обозначает эрмитово сопряжение. В работе [15] мы представили бинарное ПД для уравнения 2-ккмКдФ (3) и получили солитонные решения при нулевых и ненулевых затравочных решениях. Целью отмеченной работы являлось получение новых, ранее неизвестных солитонных решений уравнения 2-ккмКдФ (3) и пары Лакса для уравнений $N$-ккмКдФ (4). В теории солитонов существуют различные эффективные методы исследования интегрируемых систем [16]–[21]. Одним из мощных инструментов построения солитонных решений является бинарное ПД, которое сохраняет инвариантными две пары спектральных задач и сопряженных спектральных задач, связанных с изучаемыми уравнениями [17], [22], [23]. Совсем недавно в работах [24], [25] для анализа солитонных решений матричных уравнений мКдФ и $N$-компонентных нелинейных уравнений Шредингера было предложено новое бинарное ПД. Его основная идея состоит в том, чтобы ввести новый тип матриц Дарбу, которые являются обобщением традиционных матриц без нулевых элементов [26], [27]. В настоящей работе наши исследования уравнений (3) и (4) опираются на исследования матричного комплексного уравнения мКдФ. С учетом этих результатов мы задаем ($2^N\times 2^N$)-мерную пару Лакса с помощью блочной матрицы, блоки которой – это матрицы для уравнения $N$-ккмКдФ (4). Далее с помощью нового бинарного ПД мы находим новые солитонные решения уравнения 2-ккмКдФ (3). Работа организована следующим образом. В разделе 2 определена ($2^N\times 2^N$)-мерная пара Лакса для уравнения $N$-ккмКдФ (4). В разделе 3 построено новое бинарное ПД уравнения 2-ккмКдФ (3) с новым типом матриц Дарбу, а также получены новые солитонные решения. Последний раздел 4 содержит некоторые выводы и обсуждения. 2. Пара Лакса и редукции уравнения $N$-ккмКдФУравнение $N$-ккмКдФ (4) связано со следующей ($2^N\times 2^N$)-мерной парой Лакса:
$$
\begin{equation}
-i\Psi_x=U(\lambda;R)\Psi,\qquad -i\Psi_t=V(\lambda;R)\Psi,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $\Psi=\Psi(\lambda;R)$ есть спектральная функция, значение которой – это вектор-столбец размера $2^N\times 1$, матрицы $U(\lambda;R)$, $V(\lambda;R)$ задаются формулами
$$
\begin{equation}
U(\lambda;R)=-\lambda J-iR,\qquad V(\lambda;R)=-4\lambda^3J+L,
\end{equation}
\tag{6}
$$
в которых $\lambda\in\mathbb{C}$ – спектральный параметр,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J=\begin{pmatrix} I & \phantom{-}O \\ O & -I \end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix} O & Y \\ S & O \end{pmatrix}, \\ L=-4i\lambda^2R+2\lambda J(R_x-R^{2})-iR_xR+iRR_x+iR_{xx}-2iR^3; \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
здесь $O$ и $I$ – нулевая и единичная матрицы размера $2^{N-1}\times 2^{N-1}$, блоки $Y$ и $S$ также имеют размер $2^{N-1}\times 2^{N-1}$. Условие совместности $\Psi_{xt}=\Psi_{tx}$ дает систему матричных уравнений мКдФ [28]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & Y_t+Y_{xxx}-3Y_xSY-3YSY_x=0, \\ & S_t+S_{xxx}-3S_xYS-3SYS_x=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Если $S=Y$, то система (8) сводится к всесторонне исследованному матричному уравнению мКдФ [29], [30] Мы рассматриваем случай, когда $Y$ и $S$ связаны следующим соотношением симметрии: при этом условии система матричных уравнений мКдФ (8) приобретает вид уравнения кмКдФ [28], [31], [32]
$$
\begin{equation}
Y_t+Y_{xxx}-3\epsilon(Y_xY^\unicode{8224} Y+YY^\unicode{8224} Y_x)=O.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Видно, что это уравнение при надлежащем выборе матрицы $Y$ влечет уравнение $N$-ккмКдФ (4). Далее для простоты мы считаем, что $\epsilon=-1$. Пример 2.1. Когда $Y_1\equiv u$ есть скаляр, уравнение (11) сводится к классическому уравнению кмКдФ Пример 2.2. Если выбрать $Y$ как Пример 2.3. Если Пример 2.4. Если Пример 2.5. Пусть $Y_N$ – матрица, составленная из блоков размера $2^{N-1}\times 2^{N-1}$. С учетом того, как записано уравнение $N$-кмКдФ в работе [9], зададим ее в виде 3. Бинарное ПД для уравнения 2-ккмКдФДалее наша задача – построить новый тип матриц Дарбу для нашего редуцированного случая и получить новые солитонные решения уравнения 2-ккмКдФ (3) из нулевых затравочных решений. 3.1. Новый тип матриц ДарбуСопряженная задача для пары Лакса (5) имеет вид
$$
\begin{equation}
i\widetilde\Psi_x=\widetilde\Psi U(\lambda;R),\qquad i\widetilde\Psi_t=\widetilde\Psi V(\lambda;R).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Бинарное ПД для системы Лакса (5) и ее сопряженной (19) задаются как
$$
\begin{equation}
\Psi'=T^{+}\Psi,\qquad \widetilde\Psi'=\widetilde\Psi T^{-},
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $(T^{+})^{-1}=T^{-}$. Преобразование (20) переводит уравнения (5) и (19) соответственно в
$$
\begin{equation}
-i\Psi'_x=U(\lambda;R')\Psi',\qquad -i\Psi'_t=V(\lambda;R')\Psi',
\end{equation}
\tag{21}
$$
и
$$
\begin{equation}
i\widetilde\Psi'_x=\widetilde\Psi'U(\lambda;R'),\qquad i\widetilde\Psi'_t=\widetilde\Psi'V(\lambda;R').
\end{equation}
\tag{22}
$$
Сначала рассмотрим два набора собственных функций:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} -iv_{k,x}&=U(\lambda_k;R)v_k,&\qquad -iv_{k,t}&=V(\lambda_k;R)v_k, \\ i\hat v_{k,x}&=\hat v_kU(\hat\lambda_k;R),&\qquad i\hat v_{k,t}&=\hat v_kV(\hat\lambda_k;R), \end{alignedat} \qquad k=1,2,\ldots,2n,
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $\lambda_k$ и $\hat\lambda_k$ – произвольные собственные значения и сопряженные собственные значения. Если ввести
$$
\begin{equation}
v=(v_1,v_2,\ldots, v_{2n}),\qquad \hat v=(\hat v_1^{\mathrm T},\hat v_2^{\mathrm T},\ldots,\hat v_{2n}^{\mathrm T})^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{24}
$$
то уравнения (23) принимают вид
$$
\begin{equation}
-iv_x=JvA-iRv,\qquad i\hat v_x=\hat A\hat vJ-i\hat vR
\end{equation}
\tag{25}
$$
и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -iv_t&=4JvA^3+(L(\lambda_1)v_1,L(\lambda_2)v_2,\ldots,L(\lambda_{2n})v_{2n}), \\ i\hat v_t&=4\hat A^3\hat vJ+((\hat v_1L(\hat\lambda_1))^{\mathrm T},(\hat v_2L(\hat\lambda_2))^{\mathrm T},\ldots,(\hat v_{2n}L(\hat\lambda_{2n}))^{\mathrm T})^{\mathrm T}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A=\operatorname{diag}(-\lambda_1,-\lambda_2,\ldots,-\lambda_{2n}),\qquad \hat A=\operatorname{diag}(-\hat\lambda_1,-\hat\lambda_2,\ldots,-\hat\lambda_{2n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь введем квадратную матрицу $M$:
$$
\begin{equation}
M=(m_{kl})_{2n\times 2n},\qquad m_{kl}=\begin{cases} \dfrac{\hat v_kv_l}{\lambda_l-\hat\lambda_k}, &\text{если}\;\;\lambda_l\neq\hat\lambda_k,\\ 0, &\text{если}\;\;\lambda_l=\hat\lambda_k, \end{cases} \quad k,l=1,2,\ldots, 2n.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Мы видим, что матрица $M$ является обобщением матрицы без нулевых элементов для традиционного солитонного случая. Отметим, что для выполнения условия редукции введенная здесь квадратная матрица $M$ должна иметь размер $2n\times 2n$, в то время как матрица $M$, введенная в работах [24], [25], имеет размер $n\times n$. Если $M$ обратима, то мы можем ввести две матрицы Дарбу нового типа следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T^{+}&=T^{+}(\lambda)=I-\sum_{k,l=1}^{2n}\frac{v_k(M^{-1})_{kl}\hat v_l}{\lambda-\hat\lambda_l},\\ T^{-}&=T^{-}(\lambda)=I+\sum_{k,l=1}^{2n}\frac{v_k(M^{-1})_{kl}\hat v_l}{\lambda-\lambda_k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Их можно переписать в более удобном виде
$$
\begin{equation}
T^{+}=I-vM^{-1}\widehat F\hat v,\qquad T^{-}=I+vFM^{-1}\hat v,
\end{equation}
\tag{29}
$$
где
$$
\begin{equation*}
F=\operatorname{diag}\biggl(\frac{1}{\lambda-\lambda_1},\frac{1}{\lambda-\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda-\lambda_{2n}}\biggr),\qquad \widehat F=\operatorname{diag}\biggl(\frac{1}{\lambda-\hat\lambda_1},\frac{1}{\lambda-\hat\lambda_2},\ldots,\frac{1}{\lambda-\hat\lambda_{2n}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Введем матрицы
$$
\begin{equation}
T_1^{\pm}(\lambda)=\lim_{\lambda\to\infty}[\lambda(T^{\pm}(\lambda)-I)],
\end{equation}
\tag{30}
$$
тогда без труда получаем формулы которые показывают, что $T_1^{+}=-T_1^{-}$. В следующей теореме (см. теорему 3.1 в [24]) сформулированы два важных свойства матриц Дарбу $T^{+}$ и $T^{-}$. Теорема 3.1. Выполняется спектральное свойство Выполняется условие ортогональности: откуда получаем $\widehat F\hat v vF=MF-\widehat F M$, следовательно, $T^{+}(\lambda)T^{-}(\lambda)=I$.Замечание. Второе свойство в теореме 3.1 играет важную роль при построении новых солитонных решений. 3.2. Новые солитонные решенияЧтобы получить солитонные решения уравнения 2-ккмКдФ (3), возьмем следующие собственные значения: Заметим, что матрицы $U$ и $V$ обладают свойствами симметрии
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} U^\unicode{8224}(\lambda^*;R)&=U(\lambda;R), &\qquad U(\lambda;R)&=-NU^{*}(-\lambda^*;R)N^{-1}, \\ V^\unicode{8224}(\lambda^*;R)&=V(\lambda;R), &\qquad V(\lambda;R)&=-NV^{*}(-\lambda^*;R)N^{-1}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{35}
$$
где матрица $N$ задается как
$$
\begin{equation}
N=\begin{pmatrix} \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\, \\ -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & \phantom{-}1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Чтобы для $U'$ сохранилось условие редукции, должны выполняться равенства
$$
\begin{equation}
(T_1^{+}(x,t))^\unicode{8224} =-T_1^{+}(x,t),\qquad T_1^{+}(x,t)=-N(T_1^{+}(x,t))^*N^{-1}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Для этого возьмем сопряженные собственные значения и собственные функции следующего вида:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \lambda_{2l-1}&=\mu_l,&\quad\lambda_{2l}&=-\mu_l^*,&\quad v_{2l}&=N v_{2l-1}^*,&\qquad l&=1,2,\ldots,n,\\ &&&&\hat v_k&=v_k^\unicode{8224},&\qquad k&=1,2,\ldots,2n, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{38}
$$
и наложим три условия
$$
\begin{equation}
v_k^\unicode{8224} v_l=v_k^\unicode{8224} Jv_l=v_k^\unicode{8224} \Omega_{[k,l]}v_l=0,\quad\text{если}\quad\lambda_l=\hat\lambda_k,
\end{equation}
\tag{39}
$$
где $\Omega_{[k,l]}=2(\lambda_l^2+\hat\lambda_k^2+\lambda_l\hat\lambda_k)J+2i(\lambda_l+\hat\lambda_k)R-J(R_x-R^2)$, $k,l=1,2,\ldots,2n$. Сформулируем наш результат как следующую теорему. Теорема 3.2. Пусть собственные значения $\lambda_k$, $\hat\lambda_k$ и собственные функции $v_k$, $\hat v_k$, $k=1,\ldots,2n$, заданы формулами (34) и (38) при выполнении свойства ортгональности (39). Тогда бинарное ПД для уравнения 2-ккмКдФ (3) имеет вид Возьмем затравочное решение $R= O$, тогда соответствующие собственные функции и сопряженные собственные функции задаются как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, v_{2l-1}^{}=e^{-i\lambda_{2l-1}Jx-4i\lambda_{2l-1}^3Jt}w_{2l-1}^{},\quad v_{2l}^{}=Ne^{i\lambda_{2l-1}^*Jx+4i\lambda_{2l-1}^{*3}Jt}w_{2l-1}^*, \quad l=1,2,\ldots,n, \\ \hat v_k=v_k^\unicode{8224}, \qquad k=1,2,\ldots,2n, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_{2l-1}=(w_{2l-1,1},w_{2l-1,2},w_{2l-1,3},w_{2l-1,4})^{\mathrm T}$ – постоянный вектор-столбец, произвольный, но удовлетворяющий условию ортогональности
$$
\begin{equation}
w_{2k+1}^\unicode{8224} w_{2l-1}=w_{2k+1}^\unicode{8224} Jw_{2l-1}=0,\quad\text{если}\quad\lambda_{2l-1}=\hat\lambda_{2k+1}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Следуя теореме 3.2, введем новый матричный потенциал
$$
\begin{equation*}
R'=i[J,T_1^{+}],\qquad T_1^{+}=-vM^{-1}\hat v=-\sum_{k,l=1}^{2n}v_k(M^{-1})_{kl}\hat v_l.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате получаем набор $n$-солитонных решений уравнения 2-ккмКдФ (3):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_1^{}&=-2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,2}^{}(M^{-1})_{kl}v_{l,4}^*=-2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,3}^{}(M^{-1})_{kl}^{}v_{l,1}^*, \\ u_1^*&=-2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,1}^{}(M^{-1})_{kl}^{}v_{l,3}^*=-2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,4}^{}(M^{-1})_{kl}^{}v_{l,2}^*, \\ u_2^{}&=2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,1}^{}(M^{-1})_{kl}^{}v_{l,4}^*=-2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,3}^{}(M^{-1})_{kl}^{}v_{l,2}^*, \\ u_2^*&=-2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,2}^{}(M^{-1})_{kl}^{}v_{l,3}^*=2i\sum_{k,l=1}^{2n}v_{k,4}^{}(M^{-1})_{kl}^{}v_{l,1}^*, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
где $v_k=(v_{k,1},v_{k,2},v_{k,3},v_{k,4})^{\mathrm T}$, $k=1,2,\ldots,2n$. Далее путем построения специальной матрицы $M$ с нулевыми элементами мы генерируем новые солитонные решения 2-ккмКдФ уравнения (3) и показываем, что двух- и трехсолитонные решения проявляют необычную солитонную динамику. Пусть $n=2$, выберем $\lambda_1=\hat\lambda_3$, следовательно, $\lambda_2=\hat\lambda_4$, $\lambda_3=\hat\lambda_1$, $\lambda_4=\hat\lambda_2$. Из свойства ортогональности (41) вытекает, что должны быть выполнены следующие условия:
$$
\begin{equation}
w_{3,1}^*w_{1,1}^{}+w_{3,2}^*w_{1,2}^{}=0,\qquad w_{3,3}^*w_{1,3}^{}+w_{3,4}^*w_{1,4}^{}=0.
\end{equation}
\tag{43}
$$
С учетом этих условий матрица $M$ записывается в виде
$$
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_1} & \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_1} & 0 & \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_1} \\ \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_2} & \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_2} & \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_2} & 0 \\ 0 & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_3} & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_3} & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_3} \\ \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_4} & 0 & \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_4} & \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_4} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя ее в (42), можно найти явный вид двухсолитонных решений. Выберем параметры как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda_1=-\lambda_2^*=\lambda_3^*=-\lambda_4=\hat\lambda_1^*=-\hat\lambda_2=\hat\lambda_3=-\hat\lambda_4^*=1+2i, \\ \begin{alignedat}{7} w_{1,1}&=1,&\qquad w_{1,2}&=2,&\qquad w_{1,3}&=3,&\qquad w_{1,4}&=4, \\ w_{3,1}&=3,&\qquad w_{3,2}&=-\frac{3}{2},&\qquad w_{3,3}&=4,&\qquad w_{3,4}&=-3. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Соответствующее решение показано на рис. 1. Это решение является ограниченным при всех временах и описывает интенсивное столкновение двух солитонов. Мы видим, что при столкновении двух солитонов их амплитуды $|u_1|$ и $|u_2|$ изменяются многократно за короткий промежуток времени. Такое поведение очень примечательно.  Рис. 1.Трехмерный график двухсолитонного решения с параметрами (44), двумерная цветовая диаграмма и зависимость решения от времени при $x=0$: графики функций $|u_1|$ (а) и $|u_2|$ (б). Если зафикировать $\{w_{1,j}\}_1^4$, $\{w_{3,j}\}_1^4$ и менять $\{\lambda_j\}_1^4$, $\{\hat\lambda_j\}_1^4$, то интенсивность солитонов меняется. Например, при значениях параметров
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda_1^{}=-\lambda_2^*=\lambda_3^*=-\lambda_4^{}=\hat\lambda_1^*=-\hat\lambda_2^{}=\hat\lambda_3^{}=-\hat\lambda_4^*=1+i, \\ \begin{aligned} \, w_{1,1}&=1,&\quad w_{1,2}&=2,&\quad w_{1,3}&=3,&\quad w_{1,4}&=4, \\ w_{3,1}&=3,&\quad w_{3,2}&=-\frac{3}{2},&\quad w_{3,3}&=4,&\quad w_{3,4}&=-3 \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{45}
$$
мы получаем графики солитонных решений, изображенные на рис. 2. Важно отметить, что эти два солитона остаются ограниченными при всех временах, но часто́ты колебания амплитуды сильно уменьшаются.  Рис. 2.Трехмерный график двухсолитонного решения с параметрами (45), двумерная цветовая диаграмма и зависимость решения от времени при $x=0$: графики функций $|u_1|$ (а) и $|u_2|$ (б). Пусть $n=3$, зададим матрицу $M$ как
$$
\begin{equation*}
M=\begin{pmatrix} \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_1} & \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_1} & 0 & \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_1} & \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_5^{}}{\lambda_5-\hat\lambda_1} & \dfrac{v_1^\unicode{8224} v_6^{}}{\lambda_6-\hat\lambda_1} \\ \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_2} & \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_2} & \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_2} & 0 & \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_5^{}}{\lambda_5-\hat\lambda_2} & \dfrac{v_2^\unicode{8224} v_6^{}}{\lambda_6-\hat\lambda_2} \\ 0 & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_3} & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_3} & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_3} & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_5^{}}{\lambda_5-\hat\lambda_3} & \dfrac{v_3^\unicode{8224} v_6^{}}{\lambda_6-\hat\lambda_3} \\ \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_4} & 0 & \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_4} & \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_4} & \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_5^{}}{\lambda_5-\hat\lambda_4} & \dfrac{v_4^\unicode{8224} v_6^{}}{\lambda_6-\hat\lambda_4} \\ \dfrac{v_5^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_5} & \dfrac{v_5^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_5} & \dfrac{v_5^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_5} & \dfrac{v_5^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_5} & \dfrac{v_5^\unicode{8224} v_5^{}}{\lambda_5-\hat\lambda_5} & \dfrac{v_5^\unicode{8224} v_6^{}}{\lambda_6-\hat\lambda_5} \\ \dfrac{v_6^\unicode{8224} v_1^{}}{\lambda_1-\hat\lambda_6} & \dfrac{v_6^\unicode{8224} v_2^{}}{\lambda_2-\hat\lambda_6} & \dfrac{v_6^\unicode{8224} v_3^{}}{\lambda_3-\hat\lambda_6} & \dfrac{v_6^\unicode{8224} v_4^{}}{\lambda_4-\hat\lambda_6} & \dfrac{v_6^\unicode{8224} v_5^{}}{\lambda_5-\hat\lambda_6} & \dfrac{v_6^\unicode{8224} v_6^{}}{\lambda_6-\hat\lambda_6} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выберем для примера параметры
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \lambda_1^{}=-\lambda_2^*=\lambda_3^*=-\lambda_4^{}=\hat\lambda_1^*=-\hat\lambda_2^{}=\hat\lambda_3^{}=-\hat\lambda_4^*=1+i, \\ \lambda_5^{}=-\lambda_6^*=\hat\lambda_5^*=-\hat\lambda_6^{}=2+5i, \\ \begin{alignedat}{7} w_{1,1}&=1,&\qquad w_{1,2}&=2,&\qquad w_{1,3}&=3,&\qquad w_{1,4}&=4, \\ w_{3,1}&=3,&\qquad w_{3,2}&=-\frac{3}{2},&\qquad w_{3,3}&=4,&\qquad w_{3,4}&=-3, \end{alignedat} \\ w_{5,1}=w_{5,3}=1,\qquad w_{5,2}=2,\qquad w_{5,4}=3. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{46}
$$
Получающееся в результате трехсолитонное решение показано на рис. 3, на котором мы наблюдаем неупругое столкновение ограниченного двухсолитонного решения с регулярным светлым солитоном. Мы видим, что после столкновения амплитуда и форма ограниченного двухсолитонного решения меняются.
4. Заключение и обсуждениеВ представленной работе для матричного уравнения кмКдФ (11) мы построили ($2^N\times 2^N$)-мерную пару Лакса, ассоциированную с уравнением $N$-ккмКдФ (4). В качестве иллюстрирующего примера для полученной пары Лакса и соответствующей сопряженной пары Лакса мы рассмотрели бинарное ПД уравнения 2-ккмКдФ (3) и, взяв нулевое затравочное решение, получили новые солитонные решения. Следует отметить, что наши солитонные решения нельзя получить с помощью классического бинарного ПД [15]. Поскольку матрица $U(\lambda;R)$ при $N=2$ обладает двумя различными свойствами симметрии, при построении бинарного ПД мы ввели обобщенную матрицу $M$ размера $2n\times 2n$.  Рис. 3.Трехмерный график двухсолитонного решения с параметрами (46), двумерная цветовая диаграмма и зависимость решения от времени при $x=0$: графики функций $|u_1|$ (а) и $|u_2|$ (б). Метод, представленный в этой работе, может быть распространен на другие интегрируемые локальные системы для получения новых солитонных решений, а также может быть использован для решения интегрируемых нелокальных эволюционных уравнений [33], [34]. В наших будущих публикациях мы планируем найти новые солитонные решения для других уравнений, используя новое бинарное ПД. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{YeZha23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|