| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Интегрирование уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени У.А. Хоитметов Ургенчский государственный университет им. Аль-Хорезми, Ургенч, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923010026 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНелинейные эволюционные уравнения широко используются для демонстрации характеристик и структуры нелинейных волновых явлений. Исследователей всегда интересовало построение новых аналитических решений, важных для изучения нелинейных моделей, возникающих в различных областях науки и техники. Изучение солитонов и их физической природы представляет интерес для исследователей в различных областях науки, таких как волоконная оптика, электрохимия, материаловедение, электромагнитная теория, океанотехника, гидродинамика, акустика, астрофизика, физика плазмы и др. [1]–[9]. В 1973 году Хирота [1] рассмотрел уравнение
$$
\begin{equation}
iu_t+3i\eta|u|^2u_x+\mu u_{xx}+i\xi u_{xxx}+\zeta|u|^2 u=0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где нижние индексы обозначают частные производные, $u$ – скалярная функция, $(x,t)\in\mathbb R^2$, $i$ – мнимая единица, $\eta$, $\mu$, $\xi$, $\zeta$ – вещественные константы, удовлетворяющие равенству $\eta\mu=\xi\zeta$. Это уравнение было первоначально предложено Хиротой [10] в качестве модели для описания ультракоротких импульсов, подверженных дисперсии более высокого порядка и эффекту самообострения [11]. Хирота [10] получил $N$-солитонные решения этого уравнения. Уравнение (1) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
iu_t+\alpha(u_{xx}+2u|u|^2)+i\beta (6|u|^2 u_x+u_{xxx})=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\eta=2\beta$, $\mu=\alpha$, $\xi=\beta$, $\zeta=2\alpha$. Заметим, что при $\alpha=1$, $\beta=0$ мы получаем нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), а для $\alpha=0$, $\beta=1$ уравнение (2) сводится к комплексному модифицированному уравнению Кортевега–де Фриза (КдФ). Уравнение (2) интегрируемо, так как оно представляет собой сумму коммутирующих интегрируемых потоков, заданных НУШ и комплексным модифицированным уравнением КдФ, которые являются уравнениями в частных производных, принадлежащими одной и той же иерархии. В 1991 году Фукумото и Миядзаки [12] показали актуальность уравнения Хироты (2) при моделировании движения вихревой струны для трехмерной эйлеровой несжимаемой жидкости. Несмотря на свою долгую историю, уравнение Хироты и его различные расширения и обобщения до сих пор остаются объектом пристального внимания исследователей [13]–[22]. Мы будем искать аналитические решения уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени, с помощью метода обратной задачи рассеяния, который является мощным методом (подробнее см. [23]–[25]), позволяющим решать задачу Коши для класса нелинейных уравнений в частных производных, называемых интегрируемыми уравнениями. Метод обратной задачи рассеяния применялся ко многим значимым нелинейным эволюционным уравнениям, таким как уравнение КдФ [26], НУШ [27], модифицированное уравнение КдФ [28] и многие другие уравнения (см., например, [29]–[34]), все они могут быть получены из подходящей пары Лакса. Здесь под интегрируемым уравнением понимается уравнение, возникающее как условие совместности из пары Лакса. В настоящей работе изучается уравнение Хироты с коэффициентами, зависящими от времени. А именно, рассмотрим следующее уравнение: где $p(t)$, $q(t)$ – заданные непрерывно дифференцируемые функции. Уравнение (3) рассматривается при начальном условии где начальная функция $u_0(x)$, $-\infty<x<\infty$, обладает следующими свойствами:1) справедливо неравенство 2) оператор
$$
\begin{equation*}
L(0)=i\begin{pmatrix} \dfrac{d}{dx} &-u_0(x) \\ -u_0^*(x) &-\dfrac{d}{dx} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
в верхней полуплоскости комплексной плоскости имеет ровно $N$ собственных значений $\lambda_1(0),\lambda_2(0),\dots,\lambda_N(0)$ с кратностями $m_1(0),m_2(0),\dots,m_N(0)$. Пусть функция $u(x,t)$ обладает требуемой гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при $x\to\pm\infty$, т. е.
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty\biggl((1+|x|)|u(x,t)| +\sum_{k=1}^3 \biggl|\frac{\partial^ku(x,t)}{\partial x^k}\biggr|\biggr)\,dx<\infty.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Основная цель работы – получить представления для решения $u(x,t)$ задачи (3)–(6) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора $L(t)$. 2. Необходимые сведенияРассмотрим систему уравнений Дирака
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, y_{1x}+i\lambda y_1 &=u(x)y_2, \\ y_{2x}-i\lambda y_2 &=-u^*(x)y_1 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
на всей оси ($-\infty<x<\infty$) с функциями $u(x)$ и $u^*(x)$, удовлетворяющими условию С помощью оператора
$$
\begin{equation*}
L=i\begin{pmatrix} \dfrac{d}{dx} &-u(x) \\ -u^*(x) &-\dfrac{d}{dx} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
систему уравнений (7) можно переписать в виде где $Y=(y_1,y_2)^{\mathrm T}$. Прямая и обратная задачи рассеяния для оператора $L$ изучены в работах [35], [36] и др. При условии (8) система уравнений (7) обладает решениями Йоста со следующими асимптотиками:
$$
\begin{equation}
\left.\begin{matrix} \varphi &\sim\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x} \\ \bar\varphi &\sim\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 \\ -1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x}\end{matrix}\right\}\qquad \text{при}\quad x\to -\infty,
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\left.\begin{matrix} \psi &\sim\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x} \\ \bar\psi &\sim\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x}\end{matrix}\right\}\qquad \text{при}\quad x\to\infty.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Отметим, что $\bar\varphi$ не является комплексным сопряжением к $\varphi$, для комплексного сопряжения будем пользоваться обозначением $\varphi^*$. При выполнении условий (8) такие решения существуют, они определяются асимптотиками (9) и (10) однозначно. При действительных $\lambda$ пары вектор-функций $\{\varphi(x,\lambda),\bar\varphi(x,\lambda)\}$ и $\{\psi(x,\lambda),\bar\psi(x,\lambda)\}$ являются парами линейно независимых решений для системы уравнений (7), поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi &=a(\lambda)\bar\psi+b(\lambda)\psi, \\ \bar\varphi &=-\bar a(\lambda)\psi+\bar b(\lambda)\bar\psi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Легко заметить, что справедливо равенство
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=W\{\varphi,\psi\}\equiv\varphi_1\psi_2-\varphi_2\psi_1,
\end{equation}
\tag{12}
$$
кроме того, при действительных $\lambda$
$$
\begin{equation}
a(\lambda)\bar a(\lambda)+b(\lambda)\bar b(\lambda)=1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Функция $a(\lambda)$ ($\bar a(\lambda)$) допускает аналитическое продолжение в верхнюю (нижнюю) полуплоскость $\operatorname{Im}\lambda>0$ ($\operatorname{Im}\lambda<0$). При $|\lambda|\to\infty$, $\operatorname{Im}\lambda\geqslant 0$ функция $a(\lambda)$ обладает асимптотикой $a(\lambda)=1+O(1/|\lambda|)$. Функция $a(\lambda)$ ($\bar a(\lambda)$) может иметь в полуплоскости $\operatorname{Im}\lambda>0$ ($\operatorname{Im}\lambda<0$) только конечное число нулей $\lambda_k$, $k=1,2,\dots,N$ ($\bar\lambda_k$, $k=1,2,\dots, \kern1.9pt\overline{\vphantom{N}\kern6.6pt}\kern-8.5pt N $). Нули $\lambda_k$ $(\bar\lambda_k)$ функции $a(\lambda)$ ($\bar a(\lambda)$) соответствуют собственным значениям оператора $L$ в верхней (нижней) полуплоскости. Существуют такие цепочки чисел $\{\chi_0^k,\chi_1^k,\dots,\chi_{m_k-1}^k\}$ и $\{\bar\chi_0^k,\bar\chi_1^k,\dots,\bar\chi_{m_k-1}^k\}$, что имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{l!}\biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^l \varphi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k} &=\sum_{j=0}^l\chi_{l-j}^k\frac{1}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr) \psi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \\ \frac{1}{l!}\biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^l \psi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k} &=\sum_{j=0}^l\bar\chi_{l-j}^k\frac{1}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr) \varphi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
при этом $\chi_0^k\ne 0$ и $\bar\chi_0^k\ne 0$. Цепочка чисел $\{\chi_0^k,\chi_1^k,\dots,\chi_{m_k-1}^k\}$ называется нормировочной цепочкой оператора $L$, прикрепленной к собственным значениям $\{\lambda_k\}_{k=1}^N$, а цепочка чисел $\{\bar\chi_0^k,\bar\chi_1^k,\dots,\bar\chi_{m_k-1}^k\}$ называется союзной цепочкой. Требование отсутствия у оператора $L$ спектральных особенностей означает отсутствие действительных нулей у функций $a(\lambda)$ и $\bar a(\lambda)$. Класс таких операторов не пуст. В частности, он содержит операторы с безотражательными потенциалами, т. е. $b(\lambda)=0$, потому что в этом случае согласно (13) $a(\lambda)\bar a(\lambda)=1$. В рассматриваемом случае верны следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\bar\psi(x,\lambda)=\begin{pmatrix} \hphantom{-}\psi_2^*(x,\lambda^*) \\ -\psi_1^*(x,\lambda^*) \end{pmatrix},\qquad \bar\varphi(x,\lambda)=\begin{pmatrix} \hphantom{-}\varphi_2^*(x,\lambda^*) \\ -\varphi_1^*(x,\lambda^*) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{15}
$$
что приводит к равенствам
$$
\begin{equation}
\bar a(\lambda)=a^*(\lambda^*),\qquad \bar b(\lambda)=b^*(\lambda^*),
\end{equation}
\tag{16}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
N= \kern1.9pt\overline{\vphantom{N}\kern6.6pt}\kern-8.5pt N ,\qquad \bar\lambda_k=\lambda_k^*.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Для функций $\psi$, $\bar\psi$ справедливы следующие интегральные представления:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi &=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x} +\int_x^\infty\mathbf K(x,s)e^{i\lambda s}\,ds, \\ \bar\psi &=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x} +\int_x^\infty \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)e^{-i\lambda s}\,ds, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\mathbf K(x,s)$, $ \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ являются двухкомпонентными векторами, т. е.
$$
\begin{equation*}
\mathbf K(x,s)=\begin{pmatrix} K_1(x,s) \\ K_2(x,s) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В представлениях (18), (19) ядра $\mathbf K(x,s)$ и $ \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ не зависят от $\lambda$ и связаны с $u(x)$ и $u^*(x)$ с помощью равенств
$$
\begin{equation}
u(x)=-2K_1(x,x),\qquad u^*(x)=-2 \overset{\kern3.01pt\underline{\kern5.5pt}\kern0.7pt}{K} _{2}(x,x).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Ядра $\mathbf K(x,s)$ и $ \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ при $y>x$ являются решением интегральных уравнений Гельфанда–Левитана–Марченко
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,y) +\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}F(x+y) +\int_x^\infty\mathbf K(x,s)F(s+y)\,ds &=0, \\ \mathbf K(x,y)-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (x+y) -\int_x^\infty \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s) \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (s+y)\,ds&=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}\,e^{i\lambda x}\,d\lambda -i\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{m_k-1} \frac{\chi_{m_k -1-j}^k}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^j \biggl\{\frac{(\lambda-\lambda_k)^{m_k}e^{i\lambda x}} {a(\lambda)}\biggr\}\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \\ \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (x) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\bar b(\lambda)e^{-i\lambda x}}{a(\lambda)}\,d\lambda +i\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{m_k-1} \frac{\bar\chi_{m_k-1-j}^k}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^j \biggl\{\frac{(\lambda-\lambda_k)^{m_k}}{a(\lambda)}\, e^{-i\lambda x}\biggr\}\biggr|_{\lambda=\lambda_k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что здесь имеет место $ \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (s+y)=F^*(s+y)$. Набор
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\{r^+(\lambda) &\equiv\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}\,, \lambda_k,\,\chi_j^k,\,k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k -1\biggr\} \\ \biggl(\biggl\{r^-(\lambda) &\equiv\frac{\bar b(\lambda)}{a(\lambda)}\,,\, \bar\lambda_k,\,\bar\chi_j^k,\, k=\overline{1,\overline N},\,j=0,1,\dots,m_k -1\biggr\}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
называется данными рассеяния для системы уравнений (7). Справедлива следующая теорема ([24], 6.2). 3. Эволюция данных рассеянияПусть потенциал $u(x,t)$ в системе уравнений $LY=\lambda Y$ является решением уравнения (3). Операторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A &=p(t)\begin{pmatrix} i|u|^2-2i\lambda^2 &iu_x+2\lambda u \\ iu_x^*-2\lambda u^* &-i|u|^2+2i\lambda^2 \end{pmatrix}, \\ B &=q(t)\begin{pmatrix} -4i\lambda^3+2i\lambda|u|^2-u^*u_x+u_x^*u &4u\lambda^2+2i\lambda u_x-u_{xx}-2u|u|^2 \\ -4\lambda^2u^*+2i\lambda u_x^*+u_{xx}^*+2u^*|u|^2 &4i\lambda^3-2i\lambda|u|^2+u^*u_x-u_x^*u \end{pmatrix} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
удовлетворяют соотношению Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [L,A+B] &\equiv LA-AL+LB-BL= \nonumber \\ &=i\,\begin{pmatrix} 0 &ip(t)(u_{xx}+2u|u|^2) \\ -ip(t)(u_{xx}^*+2u^*|u|^2) &0 \end{pmatrix}-{} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad{}-i\,\begin{pmatrix} 0 &q(t)(6|u|^2u_x+u_{xxx}) \\ q(t)(6|u|^2u_x^*-u_{xxx}^*) &0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Поэтому уравнение (3) можно переписать в виде Дифференцируя по $t$ уравнение получим равенство которое согласно (23) можно переписать в видеИз этого следует, что функция $h=\varphi_t-A\varphi-B\varphi$ является решением уравнения $Lh=\lambda h$. Поэтому это решение можно разложить с помощью системы фундаментальных решений $\{\varphi,\bar\varphi\}$:
$$
\begin{equation}
\varphi_t-A\varphi-B\varphi =C(\lambda,t)\varphi+D(\lambda,t)\bar\varphi.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Воспользовавшись формулами (9) и (21), при $x\to-\infty$ имеем
$$
\begin{equation}
C(\lambda,t)\to 2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t),\qquad D(\lambda,t)\to 0.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Таким образом, равенство (25) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\varphi_t-A\varphi-B\varphi =(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))\varphi.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Согласно (11) равенство (27) принимает вид
$$
\begin{equation*}
a_t\bar\psi+b_t\psi-A(a\bar\psi+b\psi)-B(a\bar\psi+b\psi) =(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))(a\bar\psi+b\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в последнем равенстве к пределу $x\to+\infty$ с учетом (21), получим Поэтому при $\operatorname{Im}\lambda=0$ из равенства следует
$$
\begin{equation}
\frac{dr^+}{dt}=(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))r^+.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Согласно (28) имеем
$$
\begin{equation}
m_k(t)=m_k(0),\qquad \lambda_k(t)=\lambda_k(0),\quad k=\overline{1,N}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Найдем теперь эволюцию нормировочной цепочки $\{\chi_0^n,\chi_1^n,\dots,\chi_{m_k-1}^n\}$, соответствующей собственному значению $\lambda_n$, $n=\overline{1,N}$. Дифференцируя равенство (27) $m_n-1$ раз по $\lambda$ и полагая $\lambda=\lambda_n$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial\varphi_n^{(m_n-1)}}{\partial t} -A_0\varphi_n^{(m_n-1)}-(m_n-1)A_1\varphi_n^{(m_n-2)} -\frac{(m_n-1)(m_n-2)}{2}A_2\varphi_n^{(m_n-3)}-{} \nonumber \\ &\quad{}-B_0\varphi_n^{(m_n-1)}-(m_n-1)B_1\varphi_n^{(m_n-2)} -\frac{(m_n-1)(m_n-2)}{2}B_2\varphi_n^{(m_n-3)}-{} \nonumber \\ &\quad{}-\frac{(m_n-1)(m_n-2)(m_n-3)}{6}B_3\varphi_n^{(m_n-4)}= \nonumber \\ &=(2i\lambda_n^2p(t)+4i\lambda_n^3q(t))\varphi_n^{(m_n-1)} +(m_n-1)(4i\lambda_np(t)+12i\lambda_n^2q(t))\varphi_n^{(m_n-2)}+{} \nonumber \\ &\quad{}+(m_n-1)(m_n-2)(2ip(t)+12i\lambda_nq(t))\varphi_n^{(m_n-3)}+{} \nonumber \\ &\quad{}+4i(m_n-1)(m_n-2)(m_n-3)q(t)\varphi_n^{(m_n-4)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_l=\frac{d^l}{d\lambda^l}A|_{\lambda=\lambda_n},\qquad B_j=\frac{d^j}{d\lambda^j}B|_{\lambda=\lambda_n},\qquad l=0,1,2,\quad j=0,1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (6), (10) и (14), перейдем в равенстве (32) к переделу при $x\to\infty$. Приравнивая коэффициенты при $\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}(ix)^l\cdot e^{i\lambda_nx}$, $l=m_n-1,m_n-2,\dots,0$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d\chi_0^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_1^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_1^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_2^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_2^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_1^n+{} \\ &\quad{}+(4ip(t)+24i\lambda_nq(t))_n\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_l^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_l^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_{l-1}^n+{} \\ &\quad{}+(4ip(t)+24i\lambda_nq(t))\chi_{l-2}^n +8iq(t)\chi_{l-3}^n, \\ n&=1,2,\dots,N,\quad l=3,4,\dots,m_n-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Если функция $u(x,t)$ является решением задачи (3)–(6), то данные рассеяния оператора $L(t)$ с потенциалом $u(x,t)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям (30), (31) и (33). Замечание 1. Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (3)–(6). Пусть задана функция $u_0(x)$, удовлетворяющая условию (5). Тогда решение задачи (3)–(6) находится по следующему алгоритму. 1. Решаем прямую задачу рассеяния с начальной функцией $u_0(x)$ и получаем данные рассеяния
$$
\begin{equation*}
\{r^+(\lambda,0),\,\lambda_k(0),\,\chi_j^k(0),\, k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k-1\}
\end{equation*}
\notag
$$
для оператора $L(0)$. 2. Используя результаты теоремы 2, находим данные рассеяния при $t>0$:
$$
\begin{equation*}
\{r^+(\lambda,t),\,\lambda_k(t),\,\chi_j^k(t),\, k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Методом, основанным на интегральном уравнении Гельфанда–Левитана–Марченко, решаем обратную задачу рассеяния, т. е. находим единственную (согласно теореме 1) функцию $u(x,t)$ по данным рассеяния при $t>0$, полученным на предыдущем шаге. Приведем пример, иллюстрирующий применение этого алгоритма. Пример 1. Рассмотрим следующую задачу: 4. Нагруженное уравнение ХиротыВпервые термин “нагруженное уравнение” был использован в работе Нахушева [37], где дается наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробно классифицируются различные нагруженные уравнения. Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие в коэффициентах или в правой части какие-либо функционалы от решения, в частности значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности. Исследование таких уравнений представляет интерес как с точки зрения построения общей теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения приложений. Среди работ, посвященных нагруженным уравнениям, следует особо отметить работы [37]–[46]. Рассмотрим нагруженное уравнение Хироты
$$
\begin{equation}
iu_t+P(u(x_0,t))(u_{xx}+2u|u|^2)+iQ(u(x_1,t))(6|u|^2u_x+u_{xxx})=0,
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $P(y)$ и $Q(z)$ – некоторые полиномы от $y$ и $z$ соответственно. Уравнение (36) не является частным случаем уравнения (3), так как в уравнении (36) коэффициенты зависят от значения решения на многообразии меньшей размерности. Если в задаче (3)–(6) вместо уравнения (3) взять уравнение (36), то справедлива следующая теорема. Теорема 3. Если функция $u(x,t)$ является решением задачи (36), (4)–(6), то данные рассеяния оператора $L(t)$ меняются по $t$ следующим образом: Полученные равенства позволяют применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (36), (4)–(6). Покажем применимость полученных результатов на конкретном примере. Пример 2. Рассмотрим следующую задачу: Как и в примере 1, данные рассеяния для оператора $L(0)$ следующие:
$$
\begin{equation*}
r^+(0)=0,\quad \lambda(0)=\lambda_0=\xi_0+i\eta_0,\quad \eta_0>0,\quad \chi_0(0)=\chi_0^0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 3 имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda_0(t)=\lambda_0(0)=\xi_0+i\eta_0,\qquad r^+(t)=0,\qquad \chi_0(t)=\chi_0^0e^{\mu(t)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\mu(t)=\int_0^t(4i\lambda_0^2\alpha(t)u(0,t)+4i\lambda_0^3\beta(t)u(1,t))\,dt.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Следовательно, $F(x,t)=-i\chi_0(t)e^{i\lambda_0x}$. Решая систему интегральных уравнений (20), имеем
$$
\begin{equation*}
K_1(x,t)=\frac{i\chi_0^*(t)e^{-2i\lambda_0^*x}} {1+(|\chi_0(t)|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда имеем
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=-\frac{2i(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*e^{-2i\lambda_0^*x }} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если в последнем равенстве подставим $x=0$ и $x=1$, то, учитывая (39), имеем следующую задачу:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu'(t)=\frac{8\lambda_0^2(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*\alpha(t)} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)} +\frac{16\lambda_0^3(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*e^{-2i\lambda_0^*}\beta(t)} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0}}, \qquad \mu(0)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (38), находим решение этой задачи: В результате решение рассматриваемой задачи выражается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+\xi_0x)}} {|\chi_0^0| \operatorname{ch} (2\eta_0x-2\varphi +4\xi_0\eta_0t^2+2(3\xi_0^2\eta_0-\eta_0^3)t^4)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0}$, то последнее равенство можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=\frac{2\eta_0e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+(1/2)(\psi_0+\pi/2)+\xi_0x)}} { \operatorname{ch} (2\eta_0x-2\varphi+4\xi_0\eta_0t^2+2(3\xi_0^2\eta_0-\eta_0^3)t^4)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Конфликт интересов. Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Hoi23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|