|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Интегрирование уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени
У.А. Хоитметов Ургенчский государственный университет им. Аль-Хорезми, Ургенч, Узбекистан
Аннотация:
Уравнение Хироты с коэффициентами, зависящими от времени, интегрируется методом обратной задачи рассеяния в классе быстроубывающих функций. Приведен пример, иллюстрирующий применение полученных результатов. Решается задача Коши для нагруженного уравнения Хироты в классе быстроубывающих функций.
Ключевые слова:
метод обратной задачи рассеяния, данные рассеяния, уравнение Хироты, интегральное уравнение Гельфанда–Левитана–Марченко.
Поступило в редакцию: 16.05.2022 После доработки: 03.08.2022
1. Введение Нелинейные эволюционные уравнения широко используются для демонстрации характеристик и структуры нелинейных волновых явлений. Исследователей всегда интересовало построение новых аналитических решений, важных для изучения нелинейных моделей, возникающих в различных областях науки и техники. Изучение солитонов и их физической природы представляет интерес для исследователей в различных областях науки, таких как волоконная оптика, электрохимия, материаловедение, электромагнитная теория, океанотехника, гидродинамика, акустика, астрофизика, физика плазмы и др. [1]–[9]. В 1973 году Хирота [1] рассмотрел уравнение
$$
\begin{equation}
iu_t+3i\eta|u|^2u_x+\mu u_{xx}+i\xi u_{xxx}+\zeta|u|^2 u=0,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где нижние индексы обозначают частные производные, $u$ – скалярная функция, $(x,t)\in\mathbb R^2$, $i$ – мнимая единица, $\eta$, $\mu$, $\xi$, $\zeta$ – вещественные константы, удовлетворяющие равенству $\eta\mu=\xi\zeta$. Это уравнение было первоначально предложено Хиротой [10] в качестве модели для описания ультракоротких импульсов, подверженных дисперсии более высокого порядка и эффекту самообострения [11]. Хирота [10] получил $N$-солитонные решения этого уравнения. Уравнение (1) можно записать в виде
$$
\begin{equation}
iu_t+\alpha(u_{xx}+2u|u|^2)+i\beta (6|u|^2 u_x+u_{xxx})=0,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\eta=2\beta$, $\mu=\alpha$, $\xi=\beta$, $\zeta=2\alpha$. Заметим, что при $\alpha=1$, $\beta=0$ мы получаем нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), а для $\alpha=0$, $\beta=1$ уравнение (2) сводится к комплексному модифицированному уравнению Кортевега–де Фриза (КдФ). Уравнение (2) интегрируемо, так как оно представляет собой сумму коммутирующих интегрируемых потоков, заданных НУШ и комплексным модифицированным уравнением КдФ, которые являются уравнениями в частных производных, принадлежащими одной и той же иерархии. В 1991 году Фукумото и Миядзаки [12] показали актуальность уравнения Хироты (2) при моделировании движения вихревой струны для трехмерной эйлеровой несжимаемой жидкости. Несмотря на свою долгую историю, уравнение Хироты и его различные расширения и обобщения до сих пор остаются объектом пристального внимания исследователей [13]–[22]. Мы будем искать аналитические решения уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени, с помощью метода обратной задачи рассеяния, который является мощным методом (подробнее см. [23]–[25]), позволяющим решать задачу Коши для класса нелинейных уравнений в частных производных, называемых интегрируемыми уравнениями. Метод обратной задачи рассеяния применялся ко многим значимым нелинейным эволюционным уравнениям, таким как уравнение КдФ [26], НУШ [27], модифицированное уравнение КдФ [28] и многие другие уравнения (см., например, [29]–[34]), все они могут быть получены из подходящей пары Лакса. Здесь под интегрируемым уравнением понимается уравнение, возникающее как условие совместности из пары Лакса. В настоящей работе изучается уравнение Хироты с коэффициентами, зависящими от времени. А именно, рассмотрим следующее уравнение:
$$
\begin{equation}
iu_t+p(t)(u_{xx}+2u|u|^2)+iq(t)(6|u|^2u_x+u_{xxx})=0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $p(t)$, $q(t)$ – заданные непрерывно дифференцируемые функции. Уравнение (3) рассматривается при начальном условии
$$
\begin{equation}
u(x,0)=u_0(x),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где начальная функция $u_0(x)$, $-\infty<x<\infty$, обладает следующими свойствами: 1) справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty(1+|x|)|u_0(x)|\,dx<\infty;
\end{equation}
\tag{5}
$$
2) оператор
$$
\begin{equation*}
L(0)=i\begin{pmatrix} \dfrac{d}{dx} &-u_0(x) \\ -u_0^*(x) &-\dfrac{d}{dx} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
в верхней полуплоскости комплексной плоскости имеет ровно $N$ собственных значений $\lambda_1(0),\lambda_2(0),\dots,\lambda_N(0)$ с кратностями $m_1(0),m_2(0),\dots,m_N(0)$. Пусть функция $u(x,t)$ обладает требуемой гладкостью и достаточно быстро стремится к своим пределам при $x\to\pm\infty$, т. е.
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty\biggl((1+|x|)|u(x,t)| +\sum_{k=1}^3 \biggl|\frac{\partial^ku(x,t)}{\partial x^k}\biggr|\biggr)\,dx<\infty.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Основная цель работы – получить представления для решения $u(x,t)$ задачи (3)–(6) в рамках метода обратной задачи рассеяния для оператора $L(t)$.
2. Необходимые сведения Рассмотрим систему уравнений Дирака
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, y_{1x}+i\lambda y_1 &=u(x)y_2, \\ y_{2x}-i\lambda y_2 &=-u^*(x)y_1 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
на всей оси ($-\infty<x<\infty$) с функциями $u(x)$ и $u^*(x)$, удовлетворяющими условию
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty(1+|x|)|u(x)|\,dx<\infty.
\end{equation}
\tag{8}
$$
С помощью оператора
$$
\begin{equation*}
L=i\begin{pmatrix} \dfrac{d}{dx} &-u(x) \\ -u^*(x) &-\dfrac{d}{dx} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
систему уравнений (7) можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
LY=\lambda Y,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Y=(y_1,y_2)^{\mathrm T}$. Прямая и обратная задачи рассеяния для оператора $L$ изучены в работах [35], [36] и др. При условии (8) система уравнений (7) обладает решениями Йоста со следующими асимптотиками:
$$
\begin{equation}
\left.\begin{matrix} \varphi &\sim\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x} \\ \bar\varphi &\sim\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 \\ -1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x}\end{matrix}\right\}\qquad \text{при}\quad x\to -\infty,
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\left.\begin{matrix} \psi &\sim\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x} \\ \bar\psi &\sim\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x}\end{matrix}\right\}\qquad \text{при}\quad x\to\infty.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Отметим, что $\bar\varphi$ не является комплексным сопряжением к $\varphi$, для комплексного сопряжения будем пользоваться обозначением $\varphi^*$. При выполнении условий (8) такие решения существуют, они определяются асимптотиками (9) и (10) однозначно. При действительных $\lambda$ пары вектор-функций $\{\varphi(x,\lambda),\bar\varphi(x,\lambda)\}$ и $\{\psi(x,\lambda),\bar\psi(x,\lambda)\}$ являются парами линейно независимых решений для системы уравнений (7), поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi &=a(\lambda)\bar\psi+b(\lambda)\psi, \\ \bar\varphi &=-\bar a(\lambda)\psi+\bar b(\lambda)\bar\psi. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Легко заметить, что справедливо равенство
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=W\{\varphi,\psi\}\equiv\varphi_1\psi_2-\varphi_2\psi_1,
\end{equation}
\tag{12}
$$
кроме того, при действительных $\lambda$
$$
\begin{equation}
a(\lambda)\bar a(\lambda)+b(\lambda)\bar b(\lambda)=1.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Функция $a(\lambda)$ ($\bar a(\lambda)$) допускает аналитическое продолжение в верхнюю (нижнюю) полуплоскость $\operatorname{Im}\lambda>0$ ($\operatorname{Im}\lambda<0$). При $|\lambda|\to\infty$, $\operatorname{Im}\lambda\geqslant 0$ функция $a(\lambda)$ обладает асимптотикой $a(\lambda)=1+O(1/|\lambda|)$. Функция $a(\lambda)$ ($\bar a(\lambda)$) может иметь в полуплоскости $\operatorname{Im}\lambda>0$ ($\operatorname{Im}\lambda<0$) только конечное число нулей $\lambda_k$, $k=1,2,\dots,N$ ($\bar\lambda_k$, $k=1,2,\dots, \kern1.9pt\overline{\vphantom{N}\kern6.6pt}\kern-8.5pt N $). Нули $\lambda_k$ $(\bar\lambda_k)$ функции $a(\lambda)$ ($\bar a(\lambda)$) соответствуют собственным значениям оператора $L$ в верхней (нижней) полуплоскости. Существуют такие цепочки чисел $\{\chi_0^k,\chi_1^k,\dots,\chi_{m_k-1}^k\}$ и $\{\bar\chi_0^k,\bar\chi_1^k,\dots,\bar\chi_{m_k-1}^k\}$, что имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{l!}\biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^l \varphi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k} &=\sum_{j=0}^l\chi_{l-j}^k\frac{1}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr) \psi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \\ \frac{1}{l!}\biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^l \psi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k} &=\sum_{j=0}^l\bar\chi_{l-j}^k\frac{1}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr) \varphi(x,\lambda)\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
при этом $\chi_0^k\ne 0$ и $\bar\chi_0^k\ne 0$. Цепочка чисел $\{\chi_0^k,\chi_1^k,\dots,\chi_{m_k-1}^k\}$ называется нормировочной цепочкой оператора $L$, прикрепленной к собственным значениям $\{\lambda_k\}_{k=1}^N$, а цепочка чисел $\{\bar\chi_0^k,\bar\chi_1^k,\dots,\bar\chi_{m_k-1}^k\}$ называется союзной цепочкой. Требование отсутствия у оператора $L$ спектральных особенностей означает отсутствие действительных нулей у функций $a(\lambda)$ и $\bar a(\lambda)$. Класс таких операторов не пуст. В частности, он содержит операторы с безотражательными потенциалами, т. е. $b(\lambda)=0$, потому что в этом случае согласно (13) $a(\lambda)\bar a(\lambda)=1$. В рассматриваемом случае верны следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\bar\psi(x,\lambda)=\begin{pmatrix} \hphantom{-}\psi_2^*(x,\lambda^*) \\ -\psi_1^*(x,\lambda^*) \end{pmatrix},\qquad \bar\varphi(x,\lambda)=\begin{pmatrix} \hphantom{-}\varphi_2^*(x,\lambda^*) \\ -\varphi_1^*(x,\lambda^*) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{15}
$$
что приводит к равенствам
$$
\begin{equation}
\bar a(\lambda)=a^*(\lambda^*),\qquad \bar b(\lambda)=b^*(\lambda^*),
\end{equation}
\tag{16}
$$
и, следовательно,
$$
\begin{equation}
N= \kern1.9pt\overline{\vphantom{N}\kern6.6pt}\kern-8.5pt N ,\qquad \bar\lambda_k=\lambda_k^*.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Для функций $\psi$, $\bar\psi$ справедливы следующие интегральные представления:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi &=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}e^{i\lambda x} +\int_x^\infty\mathbf K(x,s)e^{i\lambda s}\,ds, \\ \bar\psi &=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{-i\lambda x} +\int_x^\infty \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)e^{-i\lambda s}\,ds, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\mathbf K(x,s)$, $ \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ являются двухкомпонентными векторами, т. е.
$$
\begin{equation*}
\mathbf K(x,s)=\begin{pmatrix} K_1(x,s) \\ K_2(x,s) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
В представлениях (18), (19) ядра $\mathbf K(x,s)$ и $ \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ не зависят от $\lambda$ и связаны с $u(x)$ и $u^*(x)$ с помощью равенств
$$
\begin{equation}
u(x)=-2K_1(x,x),\qquad u^*(x)=-2 \overset{\kern3.01pt\underline{\kern5.5pt}\kern0.7pt}{K} _{2}(x,x).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Ядра $\mathbf K(x,s)$ и $ \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s)$ при $y>x$ являются решением интегральных уравнений Гельфанда–Левитана–Марченко
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,y) +\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}F(x+y) +\int_x^\infty\mathbf K(x,s)F(s+y)\,ds &=0, \\ \mathbf K(x,y)-\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (x+y) -\int_x^\infty \overset{\kern0.74pt\underline{\kern6.3pt}\kern0.74pt}{\mathbf{K}} (x,s) \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (s+y)\,ds&=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, F(x) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}\,e^{i\lambda x}\,d\lambda -i\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{m_k-1} \frac{\chi_{m_k -1-j}^k}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^j \biggl\{\frac{(\lambda-\lambda_k)^{m_k}e^{i\lambda x}} {a(\lambda)}\biggr\}\biggr|_{\lambda=\lambda_k}, \\ \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (x) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\bar b(\lambda)e^{-i\lambda x}}{a(\lambda)}\,d\lambda +i\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{m_k-1} \frac{\bar\chi_{m_k-1-j}^k}{j!} \biggl(\frac{d}{d\lambda}\biggr)^j \biggl\{\frac{(\lambda-\lambda_k)^{m_k}}{a(\lambda)}\, e^{-i\lambda x}\biggr\}\biggr|_{\lambda=\lambda_k}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что здесь имеет место $ \overset{\kern2.62pt\underline{\kern4.5pt}\kern0.7pt}{F} (s+y)=F^*(s+y)$. Набор
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \biggl\{r^+(\lambda) &\equiv\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}\,, \lambda_k,\,\chi_j^k,\,k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k -1\biggr\} \\ \biggl(\biggl\{r^-(\lambda) &\equiv\frac{\bar b(\lambda)}{a(\lambda)}\,,\, \bar\lambda_k,\,\bar\chi_j^k,\, k=\overline{1,\overline N},\,j=0,1,\dots,m_k -1\biggr\}\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
называется данными рассеяния для системы уравнений (7). Справедлива следующая теорема ([24], 6.2). Теорема 1. Данные рассеяния оператора $L$ однозначно определяют $L$.
3. Эволюция данных рассеяния Пусть потенциал $u(x,t)$ в системе уравнений $LY=\lambda Y$ является решением уравнения (3). Операторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A &=p(t)\begin{pmatrix} i|u|^2-2i\lambda^2 &iu_x+2\lambda u \\ iu_x^*-2\lambda u^* &-i|u|^2+2i\lambda^2 \end{pmatrix}, \\ B &=q(t)\begin{pmatrix} -4i\lambda^3+2i\lambda|u|^2-u^*u_x+u_x^*u &4u\lambda^2+2i\lambda u_x-u_{xx}-2u|u|^2 \\ -4\lambda^2u^*+2i\lambda u_x^*+u_{xx}^*+2u^*|u|^2 &4i\lambda^3-2i\lambda|u|^2+u^*u_x-u_x^*u \end{pmatrix} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
удовлетворяют соотношению Лакса
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, [L,A+B] &\equiv LA-AL+LB-BL= \nonumber \\ &=i\,\begin{pmatrix} 0 &ip(t)(u_{xx}+2u|u|^2) \\ -ip(t)(u_{xx}^*+2u^*|u|^2) &0 \end{pmatrix}-{} \nonumber \\ &\qquad\qquad\qquad{}-i\,\begin{pmatrix} 0 &q(t)(6|u|^2u_x+u_{xxx}) \\ q(t)(6|u|^2u_x^*-u_{xxx}^*) &0 \end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Поэтому уравнение (3) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
L_t+[L,A]+[L,B]=0.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Дифференцируя по $t$ уравнение
$$
\begin{equation*}
L\varphi=\lambda\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
получим равенство
$$
\begin{equation*}
L_t\varphi+L\varphi_t=\lambda\varphi_t,
\end{equation*}
\notag
$$
которое согласно (23) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
(L-\lambda)(\varphi_t-A\varphi-B\varphi)=0.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Из этого следует, что функция $h=\varphi_t-A\varphi-B\varphi$ является решением уравнения $Lh=\lambda h$. Поэтому это решение можно разложить с помощью системы фундаментальных решений $\{\varphi,\bar\varphi\}$:
$$
\begin{equation}
\varphi_t-A\varphi-B\varphi =C(\lambda,t)\varphi+D(\lambda,t)\bar\varphi.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Воспользовавшись формулами (9) и (21), при $x\to-\infty$ имеем
$$
\begin{equation}
C(\lambda,t)\to 2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t),\qquad D(\lambda,t)\to 0.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Таким образом, равенство (25) имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\varphi_t-A\varphi-B\varphi =(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))\varphi.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Согласно (11) равенство (27) принимает вид
$$
\begin{equation*}
a_t\bar\psi+b_t\psi-A(a\bar\psi+b\psi)-B(a\bar\psi+b\psi) =(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))(a\bar\psi+b\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Переходя в последнем равенстве к пределу $x\to+\infty$ с учетом (21), получим
$$
\begin{equation}
a_t=0,
\end{equation}
\tag{28}
$$
$$
\begin{equation}
b_t=(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))b.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Поэтому при $\operatorname{Im}\lambda=0$ из равенства
$$
\begin{equation*}
\frac{dr^+}{dt}=\frac{b_ta-a_tb}{a^2}
\end{equation*}
\notag
$$
следует
$$
\begin{equation}
\frac{dr^+}{dt}=(2i\lambda^2p(t)+4i\lambda^3q(t))r^+.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Согласно (28) имеем
$$
\begin{equation}
m_k(t)=m_k(0),\qquad \lambda_k(t)=\lambda_k(0),\quad k=\overline{1,N}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Найдем теперь эволюцию нормировочной цепочки $\{\chi_0^n,\chi_1^n,\dots,\chi_{m_k-1}^n\}$, соответствующей собственному значению $\lambda_n$, $n=\overline{1,N}$. Дифференцируя равенство (27) $m_n-1$ раз по $\lambda$ и полагая $\lambda=\lambda_n$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial\varphi_n^{(m_n-1)}}{\partial t} -A_0\varphi_n^{(m_n-1)}-(m_n-1)A_1\varphi_n^{(m_n-2)} -\frac{(m_n-1)(m_n-2)}{2}A_2\varphi_n^{(m_n-3)}-{} \nonumber \\ &\quad{}-B_0\varphi_n^{(m_n-1)}-(m_n-1)B_1\varphi_n^{(m_n-2)} -\frac{(m_n-1)(m_n-2)}{2}B_2\varphi_n^{(m_n-3)}-{} \nonumber \\ &\quad{}-\frac{(m_n-1)(m_n-2)(m_n-3)}{6}B_3\varphi_n^{(m_n-4)}= \nonumber \\ &=(2i\lambda_n^2p(t)+4i\lambda_n^3q(t))\varphi_n^{(m_n-1)} +(m_n-1)(4i\lambda_np(t)+12i\lambda_n^2q(t))\varphi_n^{(m_n-2)}+{} \nonumber \\ &\quad{}+(m_n-1)(m_n-2)(2ip(t)+12i\lambda_nq(t))\varphi_n^{(m_n-3)}+{} \nonumber \\ &\quad{}+4i(m_n-1)(m_n-2)(m_n-3)q(t)\varphi_n^{(m_n-4)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_l=\frac{d^l}{d\lambda^l}A|_{\lambda=\lambda_n},\qquad B_j=\frac{d^j}{d\lambda^j}B|_{\lambda=\lambda_n},\qquad l=0,1,2,\quad j=0,1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя (6), (10) и (14), перейдем в равенстве (32) к переделу при $x\to\infty$. Приравнивая коэффициенты при $\begin{pmatrix} 0\\ 1\end{pmatrix}(ix)^l\cdot e^{i\lambda_nx}$, $l=m_n-1,m_n-2,\dots,0$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{d\chi_0^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_1^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_1^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_2^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_2^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_1^n+{} \\ &\quad{}+(4ip(t)+24i\lambda_nq(t))_n\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_l^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2p(t)+8i\lambda_n^3q(t))\chi_l^n +(8i\lambda_np(t)+24i\lambda_n^2q(t))\chi_{l-1}^n+{} \\ &\quad{}+(4ip(t)+24i\lambda_nq(t))\chi_{l-2}^n +8iq(t)\chi_{l-3}^n, \\ n&=1,2,\dots,N,\quad l=3,4,\dots,m_n-1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{33}
$$
Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Если функция $u(x,t)$ является решением задачи (3)–(6), то данные рассеяния оператора $L(t)$ с потенциалом $u(x,t)$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям (30), (31) и (33). Замечание 1. Полученные равенства полностью определяют эволюцию данных рассеяния, что позволяет применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (3)–(6). Пусть задана функция $u_0(x)$, удовлетворяющая условию (5). Тогда решение задачи (3)–(6) находится по следующему алгоритму. 1. Решаем прямую задачу рассеяния с начальной функцией $u_0(x)$ и получаем данные рассеяния
$$
\begin{equation*}
\{r^+(\lambda,0),\,\lambda_k(0),\,\chi_j^k(0),\, k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k-1\}
\end{equation*}
\notag
$$
для оператора $L(0)$. 2. Используя результаты теоремы 2, находим данные рассеяния при $t>0$:
$$
\begin{equation*}
\{r^+(\lambda,t),\,\lambda_k(t),\,\chi_j^k(t),\, k=\overline{1,N},\,j=0,1,\dots,m_k-1\}.
\end{equation*}
\notag
$$
3. Методом, основанным на интегральном уравнении Гельфанда–Левитана–Марченко, решаем обратную задачу рассеяния, т. е. находим единственную (согласно теореме 1) функцию $u(x,t)$ по данным рассеяния при $t>0$, полученным на предыдущем шаге. Приведем пример, иллюстрирующий применение этого алгоритма. Пример 1. Рассмотрим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, iu_t+u_{xx}+2u|u|^2+it(u_{xxx}+6|u|^2u_x)=0, \\ u(x,0)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i\xi_0x}}{|\chi_0^0| \operatorname{ch} 2(\eta_0 x-\varphi)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{34}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\lambda_0=\xi_0+i\eta_0,\quad \eta_0>0,\quad \chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0},\quad \frac{|\chi_0^0|^2}{4\eta_0^2}=e^{4\varphi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно найти данные рассеяния оператора $L(0)$:
$$
\begin{equation*}
r^+(0)=0,\quad \lambda(0)=\lambda_0=\xi_0+i\eta_0,\quad\eta_0>0, \quad \chi_0(0)=\chi_0^0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 2 имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda_0(t)=\lambda_0(0)=\xi_0+i\eta_0,\qquad \chi_0(t)=\chi_0^0e^{\mu(t)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mu(t)=4i\lambda_0^2t+4i\lambda_0^3 t^2$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
F(x,t)=-i\chi_0(t)e^{i\lambda_0x}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая систему интегральных уравнений (20), имеем
$$
\begin{equation*}
K_1(x,t)=\frac{i\chi_0^*(t)e^{-2i\lambda_0^*x}} {1+(|\chi_0(t)|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда находим решение задачи Коши (34):
$$
\begin{equation}
u(x,t)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^* e^{-4it((\xi_0^2-\eta_0^2)+\xi_0(\xi_0^2-3\eta_0^2)t)-2i\xi_0x}} {|\chi_0^0| \operatorname{ch} 2(\eta_0x-\varphi+4\xi_0\eta_0t+2\eta_0(3\xi_0^2-\eta_0^2)t^2)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Так как $\chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0}$, то решение (35) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=\frac{2\eta_0e^{-4it((\xi_0^2-\eta_0^2)+\xi_0(\xi_0^2-3\eta_0^2)t) -i(\psi_0+\pi/2)-2i\xi_0x}} { \operatorname{ch} 2(\eta_0x-\varphi+4\xi_0\eta_0t+2\eta_0(3\xi_0^2-\eta_0^2)t^2)}.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Нагруженное уравнение Хироты Впервые термин “нагруженное уравнение” был использован в работе Нахушева [37], где дается наиболее общее определение нагруженного уравнения и подробно классифицируются различные нагруженные уравнения. Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе принято называть уравнения, содержащие в коэффициентах или в правой части какие-либо функционалы от решения, в частности значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности. Исследование таких уравнений представляет интерес как с точки зрения построения общей теории дифференциальных уравнений, так и с точки зрения приложений. Среди работ, посвященных нагруженным уравнениям, следует особо отметить работы [37]–[46]. Рассмотрим нагруженное уравнение Хироты
$$
\begin{equation}
iu_t+P(u(x_0,t))(u_{xx}+2u|u|^2)+iQ(u(x_1,t))(6|u|^2u_x+u_{xxx})=0,
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $P(y)$ и $Q(z)$ – некоторые полиномы от $y$ и $z$ соответственно. Уравнение (36) не является частным случаем уравнения (3), так как в уравнении (36) коэффициенты зависят от значения решения на многообразии меньшей размерности. Если в задаче (3)–(6) вместо уравнения (3) взять уравнение (36), то справедлива следующая теорема. Теорема 3. Если функция $u(x,t)$ является решением задачи (36), (4)–(6), то данные рассеяния оператора $L(t)$ меняются по $t$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{dr^+}{dt}&=(2i\lambda^2P(u(x_0,t))+4i\lambda^3Q(u(x_1,t)))r^+,\qquad \operatorname{Im}\lambda=0, \\ &\qquad\qquad\qquad m_n(t)=m_n(0),\qquad \frac{d\lambda_n}{dt}=0, \\ \frac{d\chi_0^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t))+8i\lambda_n^3Q(u(x_1,t)))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_1^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t))+8i\lambda_n^3Q(u(x_1,t)))\chi_1^n+{} \\ &\quad{}+(8i\lambda_nP(u(x_0,t))+24i\lambda_n^2Q(u(x_1,t)))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_2^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t))+8i\lambda_n^3 Q(u(x_1,t)))\chi_2^n+{} \\ &\quad{}+(8i\lambda_nP(u(x_0,t))+24i\lambda_n^2Q(u(x_1,t)))\chi_1^n+{} \\ &\quad{}+(4iP(u(x_0,t))+24i\lambda_nQ(u(x_1,t)))\chi_0^n, \\ \frac{d\chi_l^n}{dt}&=(4i\lambda_n^2P(u(x_0,t)) +8i\lambda_n^3Q(u(x_1,t)))\chi_l^n+{} \\ &\quad{}+(8i\lambda_nP(u(x_0,t))+24i\lambda_n^2Q(u(x_1,t)))\chi_{l-1}^n+{} \\ &\quad{}+(4iP(u(x_0,t))+24i\lambda_nQ(u(x_1,t)))\chi_{l-2}^n +8iQ(u(x_1,t))\chi_{l-3}^n, \\ &\qquad\qquad\qquad n=1,2,\dots,N,\qquad l=3,4,\dots,m_n-1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Полученные равенства позволяют применить метод обратной задачи рассеяния для решения задачи (36), (4)–(6). Покажем применимость полученных результатов на конкретном примере. Пример 2. Рассмотрим следующую задачу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, iu_t+\alpha(t)u(0,t)(u_{xx}+2u|u|^2)+i\beta(t)u(1,t)(u_{xxx}+6|u|^2u_x)=0, \\ u(x,0)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i\xi_0x}} {|\chi_0^0| \operatorname{ch} 2(\eta_0x-\varphi)}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{37}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha(t)&=-\frac{|\chi_0^0|t \operatorname{ch} (4\xi_0\eta_0t^2 +(6\xi_0^2\eta_0-2\eta_0^3)t^4-2\varphi)} {2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2+(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4)}}, \\ \beta(t)&=-\frac{|\chi_0^0|t^3 \operatorname{ch} (2(\eta_0-\varphi)+4\xi_0\eta_0t^2 +(6\xi_0^2\eta_0-2\eta_0^3)t^4)} {2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+\xi_0)}}, \\ \lambda_0&=\xi_0+i\eta_0,\quad \eta_0 >0,\quad \chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0},\quad \frac{|\chi_0^0|^2}{4\eta_0^2}=e^{4\varphi}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Как и в примере 1, данные рассеяния для оператора $L(0)$ следующие:
$$
\begin{equation*}
r^+(0)=0,\quad \lambda(0)=\lambda_0=\xi_0+i\eta_0,\quad \eta_0>0,\quad \chi_0(0)=\chi_0^0.
\end{equation*}
\notag
$$
В силу теоремы 3 имеем
$$
\begin{equation*}
\lambda_0(t)=\lambda_0(0)=\xi_0+i\eta_0,\qquad r^+(t)=0,\qquad \chi_0(t)=\chi_0^0e^{\mu(t)},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
\mu(t)=\int_0^t(4i\lambda_0^2\alpha(t)u(0,t)+4i\lambda_0^3\beta(t)u(1,t))\,dt.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Следовательно, $F(x,t)=-i\chi_0(t)e^{i\lambda_0x}$. Решая систему интегральных уравнений (20), имеем
$$
\begin{equation*}
K_1(x,t)=\frac{i\chi_0^*(t)e^{-2i\lambda_0^*x}} {1+(|\chi_0(t)|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда имеем
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=-\frac{2i(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*e^{-2i\lambda_0^*x }} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0x}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если в последнем равенстве подставим $x=0$ и $x=1$, то, учитывая (39), имеем следующую задачу:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mu'(t)=\frac{8\lambda_0^2(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*\alpha(t)} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)} +\frac{16\lambda_0^3(\chi_0^0e^{\mu(t)})^*e^{-2i\lambda_0^*}\beta(t)} {1+(|\chi_0^0e^{\mu(t)}|^2/4\eta_0^2)e^{-4\eta_0}}, \qquad \mu(0)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Учитывая (38), находим решение этой задачи:
$$
\begin{equation*}
\mu(t)=2i\lambda_0^2t^2(1+\lambda_0t^2).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате решение рассматриваемой задачи выражается следующим образом:
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=-\frac{2i\eta_0(\chi_0^0)^*e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+\xi_0x)}} {|\chi_0^0| \operatorname{ch} (2\eta_0x-2\varphi +4\xi_0\eta_0t^2+2(3\xi_0^2\eta_0-\eta_0^3)t^4)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\chi_0^0=|\chi_0^0|e^{i\psi_0}$, то последнее равенство можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
u(x,t)=\frac{2\eta_0e^{-2i((\xi_0^2-\eta_0^2)t^2 +(\xi_0^3-3\xi_0\eta_0^2)t^4+(1/2)(\psi_0+\pi/2)+\xi_0x)}} { \operatorname{ch} (2\eta_0x-2\varphi+4\xi_0\eta_0t^2+2(3\xi_0^2\eta_0-\eta_0^3)t^4)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Конфликт интересов. Автор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
|
|
|
Список литературы
|
|
|
1. |
K. U. Tariq, M. Younis, H. Rezazadeh, S. T. R. Rizvi, M. S. Osman, “Optical solitons with quadratic–cubic nonlinearity and fractional temporal evolution”, Modern Phys. Lett. B, 32:26 (2018), 1850317, 13 pp. |
2. |
M. S. Osman, “One-soliton shaping and inelastic collision between double solitons in the fifth-order variable-coefficient Sawada–Kotera equation”, Nonlinear Dynam., 96:2 (2019), 1491–1496 |
3. |
M. S. Osman, K. U. Tariq, A. Bekir, A. Elmoasry, N. S. Elazab, M. Younis, M. Abdel-Aty, “Investigation of soliton solutions with different wave structures to the $(2+1)$-dimensional Heisenberg ferromagnetic spin chain equation”, Commun. Theor. Phys., 72:3 (2020), 035002, 7 pp. |
4. |
D. Lu, K. U. Tariq, M. S. Osman, D. Baleanu, M. Younis, M. M. A. Khater, “New analytical wave structures for the $(3+1)$-dimensional Kadomtsev–Petviashvili and the generalized Boussinesq models and their applications”, Results Phys., 14 (2019), 102491, 7 pp. |
5. |
A. R. Seadawy, “Nonlinear wave solutions of the three-dimensional Zakharov–Kuznetsov–Burgers equation in dusty plasma”, Phys. A, 439 (2015), 124–131 |
6. |
A.-M. Wazwaz, “Multiple complex soliton solutions for integrable negative-order KdV and integrable negative-order modified KdV equations”, Appl. Math. Lett., 88 (2019), 1–7 |
7. |
K. S. Al-Ghafri, H. Rezazadeh, “Solitons and other solutions of $(3+1)$-dimensional space-time fractional modified KdV–Zakharov–Kuznetsov equation”, Appl. Math. Nonlinear Sci., 4:2 (2019), 289–304 |
8. |
A.-M. Wazwaz, “A $(2+1)$-dimensional time-dependent Date–Jimbo–Kashiwara–Miwa equation: Painlevé integrability and multiple soliton solutions”, Comput. Math. Appl., 79:4 (2020), 1145–1149 |
9. |
D. W. Brzezinski, “Review of numerical methods for NumILPT with computational accuracy assessment for fractional calculus”, App. Math. Nonlinear Sci., 3:2 (2018), 487–502 |
10. |
R. Hirota, “Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave equation”, J. Math. Phys., 14:7 (1973), 805–809 |
11. |
R. Hirota, The Direct Method in Soliton Theory, Cambridge Tracts in Mathematics, 155, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004 |
12. |
Y. Fukumoto, T. Miyazaki, “Three-dimensional distortions of a vortex filament with axial velocity”, J. Fluid Mech., 222 (1991), 369–416 |
13. |
M. Eslami, M. A. Mirzazadeh, A. Neirameh, “New exact wave solutions for Hirota equation”, Pramana – J. Phys., 84:1 (2015), 3–8 |
14. |
J. Cen, F. Correa, A. Fring, “Integrable nonlocal Hirota equations”, J. Math. Phys., 60:8 (2019), 081508 |
15. |
Q. Wang, Y. Chen, B. Li, H.-Q. Zhang, “New exact travelling wave solutions to Hirota equation and $(1+1)$-dimensional dispersive long wave equation”, Commun. Theor. Phys., 41:6 (2004), 821–828 |
16. |
A. A. Al Qarni, A. A. Alshaery, H. O. Bakodah, J. F. Gómez-Aguilar, “Novel dynamical solitons for the evolution of Schrödinger–Hirota equation in optical fibres”, Opt. Quant. Electron., 53 (2021), 151, 15 pp. |
17. |
X. Zhang, L. Ling, “Asymptotic analysis of high-order solitons for the Hirota equation”, Phys. D, 426 (2021), 132982, 26 pp. |
18. |
A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo, N. Akhmediev, “Rogue waves and rational solutions of the Hirota equation”, Phys. Rev. E, 81:4 (2010), 046602, 8 pp. |
19. |
S. Chen, Z. Yan, “The Hirota equation: Darboux transform of the Riemann–Hilbert problem and higher-order rogue waves”, App. Math. Lett., 95 (2019), 65–71 |
20. |
F. Demontis, G. Ortenzi, C. van der Mee, “Exact solutions of the Hirota equation and vortex filaments motion”, Phys. D, 313 (2015), 61–80 |
21. |
Y. Li, S.-F. Tian, “Inverse scattering transform and soliton solutions of an integrable nonlocal Hirota equation”, Commun. Pure Appl. Anal., 21:1 (2022), 293–313 |
22. |
Y. Tao, J. He, “Multisolitons, breathers, and rogue waves for the Hirota equation generated by the Darboux transformation”, Phys. Rev. E, 85:2 (2012), 026601, 7 pp. |
23. |
М. Абловиц, Х. Сигур, Солитоны и метод обратной задачи, Мир, М., 1987 |
24. |
Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис, Солитоны и нелинейные волновые уравнения, Мир, М., 1988 |
25. |
Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, М., 1986 |
26. |
C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura, “Method for solving the Korteweg–de Vries equation”, Phys. Rev. Lett., 19:19 (1967), 1095–1097 |
27. |
В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, “Точная теория двумерной самофокусировки в одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах”, ЖЭТФ, 61:1 (1971), 118–134 |
28. |
M. Wadati, “The exact solution of the modified Korteweg–de Vries equation”, J. Phys. Soc. Japan, 32:6 (1972), 1681–1681 |
29. |
P. D. Lax, “Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves”, Comm. Pure Appl. Math., 21:5 (1968), 467–490 |
30. |
А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, “Об интегрировании уравнения Кортевега–де Фриза в классе быстроубывающих комплекснозначных функций”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 3, 79–90 |
31. |
В. Е. Захаров, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, “Полное описание решений ‘sin-Gordon’ уравнения”, Докл. АН СССР, 219:6 (1974), 1334–1337 |
32. |
Ф. Демонтис, “Точные решения модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза”, ТМФ, 168:1 (2011), 35–48 |
33. |
Г. У. Уразбоев, У. А. Хоитметов, А. К. Бабаджанова, “Интегрирование матричного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза с источником интегрального типа”, ТМФ, 203:3 (2020), 351–364 |
34. |
R. Camassa, D. D. Holm, “An integrable shallow water equation with peaked solitons”, Phys. Rev. Lett., 71:11 (1993), 1661–1664, arXiv: patt-sol/9305002 |
35. |
И. С. Фролов, “Обратная задача рассеяния для системы Дирака на всей оси”, Докл. АН СССР, 207:1 (1972), 44–47 |
36. |
А. Б. Хасанов, “Об обратной задачи теории рассеяния для системы двух несамосопряженных дифференциальных уравнений первого порядка”, Докл. АН СССР, 277:3 (1984), 559–562 |
37. |
А. М. Нахушев, “Нагруженные уравнения и их приложения”, Дифференц. уравнения, 19:1 (1983), 86–94 |
38. |
А. М. Нахушев, Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995 |
39. |
А. И. Кожанов, “Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 44:4 (2004), 694–716 |
40. |
A. B. Hasanov, U. A. Hoitmetov, “On integration of the loaded Korteweg–de Vries equation in the class of rapidly decreasing functions”, Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics National Academy of Sciences of Azerbaijan, 47:2 (2021), 250–261 |
41. |
У. А. Хоитметов, “Интегрирование нагруженного уравнения КдФ с самосогласованным источником интегрального типа в классе быстроубывающих комплекснозначных функций”, Матем. тр., 24:2 (2021), 181–198 |
42. |
A. B. Khasanov, U. A. Hoitmetov, “On integration of the loaded mKdV equation in the class of rapidly decreasing functions”, Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Матем., 38 (2021), 19–35 |
43. |
А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, “Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега–де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций”, Изв. вузов. Матем., 2021, № 7, 52–66 |
44. |
А. Б. Хасанов, У. А. Хоитметов, “О комплекснозначных решениях общего нагруженного уравнения Кортевега–де Фриза с источником”, Дифференц. уравнения, 58:3 (2022), 385–394 |
45. |
А. Б. Хасанов, Т. Г. Хасанов, “Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега–де Фриза с нагруженным членом и источником”, Сиб. журн. индустр. матем., 25:2 (2022), 127–142 |
46. |
U. A. Hoitmetov, “Integration of the loaded general Korteweg–de Vries equation in the class of rapidly decreasing complex-valued functions”, Eurasian Math. J., 13:2 (2022), 43–54 |
Образец цитирования:
У.А. Хоитметов, “Интегрирование уравнения Хироты с коэффициентами, зависящими от времени”, ТМФ, 214:1 (2023), 30–42; Theoret. and Math. Phys., 214:1 (2023), 24–35
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tmf10312https://doi.org/10.4213/tmf10312 https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v214/i1/p30
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 178 | PDF полного текста: | 18 | HTML русской версии: | 132 | Список литературы: | 31 | Первая страница: | 20 |
|