| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Решения типа абсурдно безобидных проходимых кротовых нор, подобных порталу А. К. Мехта Indian Institute of Science Education and Research, Pune, India
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923010063 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКротовые норы – это класс решений в теориях гравитации (эйнштейновской или модифицированных), которые соединяют две удаленные точки в пространстве, позволяя путешествовать из одной точки в другую за конечное время порядка средней продолжительности человеческой жизни. Тем самым кротовые норы, если они возможны (и проходимы), являются важным способом перемещения на огромные межзвездные расстояния. Первоначально кротовые норы представлялись как мосты Эйнштейна–Розена [1], но сквозь них нельзя пройти из-за сингулярности в их горловине [2]. Первые решения типа проходимых кротовых нор были получены Эллисом [3], Бронниковым [4], Клеманом [5]. Подкласс этих решений называется absurdly benign traversable wormholes (ABTW), что можно перевести как абсурдно безобидные проходимые кротовые норы [6], [7]. Впервые они изучались Моррисом и Торном [8]. Однако для построения таких кротовых нор требуется много экзотической материи или отрицательной энергии [8]. Здесь “абсурдно безобидная” означает, что кротовая нора безопасна для путешествий человека, которому не грозят повреждения из-за приливных сил. Абсурдно безобидные проходимые кротовые норы также часто присутствуют в научно-фантастических сериалах как “ворота” в разные части Вселенной. Однако в отличие от таких кротовых нор в научной литературе, которые всегда считаются сферически-симметричными, эти вымышленные “порталы” в основном имеют форму диска и ведут себя буквально как портал 1. С учетом всего вышеизложенного в настоящей статье мы делаем попытку вывести решения типа коротовых нор, подобных порталу, для чего налагаем условия на полярные степени свободы простейшей кротовой норы Морриса–Торна (КНМТ) 2. Окончательное решение представляет собой не совсем диск, а выступающий наружу выпуклый участок сферы, выпуклость которого определяется радиусом горловины. Это условие, однако, вынуждает нас иметь дело с разрывными метриками, для которых разработан соответствующий формализм, позволяющий анализировать их согласованным образом. Метрика рассматривается как распределение, и с помощью нейтриксного (neutrix) произведения, заданного на пространстве распределений, определяются связность и кривизна со значениями в пространстве распределений. Из-за неассоциативности этого произведения более удобно работать с формализмом гравитации Палатини и рассматривать связность как отдельное распределение. Это позволяет использовать произведение непротиворечивым образом. Как результат мы выводим идеальное решение, подобное порталу, которое не потребляет отрицательной энергии. При этом, как мы увидим ниже, материя с отрицательной энергией заменяется гипержидкостями. 2. Основы концепции кротовых норПростейшая метрика КНМТ задается как [8]
$$
\begin{equation}
ds^2=-dt^2+dl^2+(l^2+r^2_0)(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $l\in(-\infty,\infty)$. Вход (или горловина) кротовой норы расположен в точке $l=0$. Параметр $r_0$ называется радиусом горловины. С помощью этой метрики можно вычислить тензор Эйнштейна [8]:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} G_{tt}&=-\frac{r^2_0}{(l^2+r^2_0 )^2},&\qquad G_{ll}&=-\frac{r^2_0}{(l^2+r^2_0)^2}, \\ G_{\theta\theta}&=\frac{r^2_0}{l^2+r^2_0},&\qquad G_{\phi\phi}&=\frac{r^2_0}{l^2+r^2_0}\sin^2\theta. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Если предположить, что тензор Эйнштейна поддерживается тензором энергии-импульса, для которого выполняются уравнения Эйнштейна, то плотность энергии, наблюдаемая статическим наблюдателем с $u^\mu=\delta^\mu_t$, задается как Заметим, что плотность энергии отрицательна. Для целостности изложения нам потребуется найти полную отрицательную энергию:
$$
\begin{equation}
E=\frac{1}{8\pi}\int d^3x\,\sqrt{h}G_{tt}=-\frac{\pi r_0}{2}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Поскольку кротовая нора сферически-симметрична, ее горловина имеет сферическую форму. Это, очевидно, нерационально, потому что у нас может не хватить отрицательной энергии, чтобы постоянно строить кротовую нору, имеющую форму полной сферы нужного радиуса. Поэтому, рассчитывая уменьшить количество необходимой отрицательной энергии, мы ограничим полярные степени свободы $\theta$, чтобы кротовая нора больше напоминала портал. Далее для обозначения наших решений типа проходимых кротовых нор, подобных порталам, мы будем использовать термин “звездные врата”.
3. Метрика звездных вратОграничим полярные степени свободы условиями
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} ds_{+}^2&=-dt^2+dl^2+(l^2+r^2_0)(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2),&\qquad \theta&<\theta_0, \\ ds_{-}^2&=-dt^2+dl^2+l^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2),&\qquad \theta&>\theta_0. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{5}
$$
Здесь знаки $+$ и $-$ обозначают части пространства-времени с $\theta<\theta_0$ и $\theta>\theta_0$ соответственно, т. е. $\mathcal M=\mathcal M^{+}\cup\mathcal M^{-}\cup\Sigma$, где $\Sigma$ – поверхность разрыва, которую мы также называем интерфейс. Пусть $g^{\pm}$ – метрики на $\mathcal M^{\pm}$, при этом $g^{+}$ – метрика кротовой норы, $g^{-}$ – плоская метрика. Теперь запишем полную метрику $g$ на $\mathcal M$ как распределение, используя $\Theta$-функции:
$$
\begin{equation}
g_{\alpha\beta}^{}=\Theta(f)g^{+}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)g^{-}_{\alpha\beta},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $f=\theta_0-\theta$ и поверхность $\Sigma$ задается условием $f=0$. Из-за конического разрыва при $\theta=\theta_0$ можно наивно ожидать коническую сингулярность в начале координат. Однако с учетом вышеизложенного простое вычисление тензора кривизны в метрической гравитации показывает, что возможны только сингулярности вида $\delta(\theta-\theta_0)$, возникающие из-за разрыва (дополнительные сведения см. в приложении). Таким образом, вместо горловины КНМТ, имеющей форму полной сферы, у нас существует только разрез горловины по угловым переменным. Теперь более уместно называть его входом. Попробуем найти возможные способы поддержки этого решения посредством некоторых материальных полей. Рассмотрим производную метрики (6), получим
$$
\begin{equation}
\partial_\gamma g_{\alpha\beta}= \Theta(f)\partial_\gamma^{}g^{+}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)\partial_\gamma^{}g^{-}_{\alpha\beta}+\delta(f)n_\gamma^{}[g_{\alpha\beta}^{}],
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $n_\gamma=\partial_\gamma f$ и $[g]=g^{+}-g^{-}$. Заметим, что мы сразу же сталкиваемся с проблемами, потому что тензор кривизны $R\sim\partial g\cdot\partial g$ приводит к произведению распределений. Чтобы согласованным образом рассматривать эти произведения, необходимо задать алгебру, в которой произведение двух распределений и произведение распределения и обычной функции 3 определены корректно: так, что они сводятся к стандартному произведению обычных функций. Такое произведение существует, оно было введено в работах ван дер Корпута [9], Фишера [10] и Микусинского [11] и называется нейтриксным произведением. Мы обозначаем его символом $\circ$, и $\circ$-произведения распределений задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Theta^2(x)=\Theta(x)\circ\Theta(x)=\Theta(x),\qquad \Theta(x)\circ\Theta(-x)=0, \\ \Theta(-x)\circ\delta(x)=\Theta(x)\circ\delta(x)=\frac{1}{2}\delta(x), \\ \delta^2(x)=\delta(x)\circ\delta(x)=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Только эти соотношения важны для наших вычислений. На протяжении всей статьи все произведения величин со значениями в пространстве распределений имеют нейтриксный вид. Однако следует отметить, что эти произведения не являются ассоциативными [10], поскольку
$$
\begin{equation}
\bigl(\Theta(x)\circ\delta(x)\bigr)\circ\Theta(-x)=\frac{1}{2}\delta(x)\circ\Theta(-x)=\frac{1}{4}\delta(x),\qquad \bigl(\Theta(x)\circ\Theta(-x)\bigr)\circ\delta(x)=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Поэтому в любых вычислениях мы постараемся избегать нейтриксных произведений более чем двух множителей. Сводные формулы для нейтриксных произведений распределений приведены в приложении A. 3.1. Связность, совместная с метрикойРассмотрим введенную выше метрику со значениями в пространстве распределений (на протяжении всей статьи объекты с верхними индексами плюс относятся к кротовой норе, а верхние индексы минус отвечают плоскому пространству):
$$
\begin{equation}
g_{\alpha\beta}^{}=\Theta(f)g^{+}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)g^{-}_{\alpha\beta}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Определим связность со значениями в пространстве распределений:
$$
\begin{equation}
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Theta(f)\Gamma^{+\gamma}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)\Gamma^{-\gamma}_{\alpha\beta}+ \delta(f)\frac{(\bar g^{-1})^{\gamma\tau}}{2}(n_\alpha^{}[g_{\tau\beta}^{}]+ n_{\beta}^{}[g_{\tau\alpha}^{}]-n_{\tau}^{}[g_{\alpha\beta}^{}]),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $\Gamma^{+}$ – метрическая связность для КНМТ, $\Gamma^{-}$ – метрическая связность для плоского пространства как функции радиальной координаты,
$$
\begin{equation}
\bar g_{\alpha\beta}^{}=\frac{g^{+}_{\alpha\beta}+g^{-}_{\alpha\beta}}{2},\qquad [g_{\alpha\beta}^{}]=g^{+}_{\alpha\beta}-g^{-}_{\alpha\beta}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Отсюда получаем соотношения
$$
\begin{equation}
\nabla_\mu g_{\alpha\beta}=0,\qquad\nabla_\mu g^{\alpha\beta}=0,
\end{equation}
\tag{13}
$$
показывающие, что данная связность совместна с метрикой (см. приложение Б). Заметим, что совместная с метрикой связность не является связностью Леви-Чивиты или метрической связностью. Производная связности $\Gamma$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\partial_\delta^{}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}= \Theta(f)\,\partial_\delta^{}\Gamma^{+\gamma}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)\,\partial_\delta^{}\Gamma^{-\gamma}_{\alpha\beta}+ \delta(f)n_\delta^{}[\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}]+\partial_\delta^{}(\delta(f)A^\gamma_{\alpha\beta}),
\end{equation}
\tag{14}
$$
где
$$
\begin{equation}
A^\gamma_{\alpha\beta}=\frac{(\bar g^{-1})^{\gamma\tau}}{2}(n_\alpha[g_{\tau\beta}]+n_{\beta}[g_{\tau\alpha}]-n_{\tau}[g_{\alpha\beta}])
\end{equation}
\tag{15}
$$
и $[\Gamma]=\Gamma^{+}-\Gamma^{-}$. Для ясности приведем ненулевые компоненты скачков $[\Gamma]$, $[g]$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {} [\Gamma^\theta_{l\theta}]=[\Gamma^{\phi}_{l\phi}]=\frac{l}{l^2+r^2_0}-\frac{1}l, \\ [g_{\theta\theta}]=r^2_0,\qquad [g_{\phi\phi}]=r^2_0\sin^2\theta. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{16}
$$
Тем самым имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma}&=\Theta(f)R^{+\mu}_{\kern10pt\nu\rho\sigma}+ \Theta(-f) R^{-\mu}_{\kern11pt\nu\rho\sigma}+\delta(f)n_{[\rho}[\Gamma^\mu_{\sigma]\nu}]+{} \nonumber\\ &\quad +\nabla_{\tau}(\delta^{\tau}_\rho\delta(f) A^\mu_{\nu\sigma}-\delta^{\tau}_\sigma\delta(f)A^\mu_{\nu\rho}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где мы неявно предположили нейтриксное произведение и использовали соотношения (8). Следует отметить, что в пределе $\theta_0=\pi$ тензор кривизны имеет вид
$$
\begin{equation}
R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma}\big|_{\theta_0=\pi}= \Theta(\pi-\theta) R^{+\mu}_{\nu\rho\sigma}-\delta(\pi-\theta) \biggl[-n_{[\rho}[\Gamma^\mu_{\sigma]\nu}]+\frac{4r^2_0l}{(2l^2+r^2_0)^2}(\delta^l_\rho\delta^\theta_\sigma- \delta^l_\sigma\delta^\theta_\rho)\delta^\mu_\theta\delta^\theta_\nu\biggr],
\end{equation}
\tag{18}
$$
т. е. воспроизводится поведение КНМТ с точностью до члена с $\delta$-функцией. Однако если рассмотреть плотность римановой кривизны веса 1, заданную как $\widetilde R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma}=\sqrt{g}R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma}$, то получим, что $\widetilde R^\mu_{\nu\rho\sigma}\big|_{\theta_0=\pi}=\widetilde R^{+\mu}_{\nu\rho\sigma}$, т. е. поведение КНМТ воспроизводится полностью. Следовательно, этот член с $\delta$-функцией является всего лишь артефактом кривизны со значениями в пространстве распределений, а не реальной сингулярностью. Поскольку мы намерены иметь дело только с двойными произведениями связностей со значениями в пространстве распределений, риманов тензор (18) корректно определен. Однако, чтобы вычислить тензор Эйнштейна $G_{\mu\nu}$, нужно произвести его свертку с $g_{\mu\nu}\circ g^{\nu\sigma}$, и тогда третье слагаемое в (17) приведет к произведению распределений вида неоднозначность которого показана выше. Следовательно, из-за неассоциативности произведения тензор Эйнштейна определен некорректно. Это означает, что метрика звездных врат не может поддерживаться связностью, совместной с метрикой. 3.2. НеметричностьВыше мы заметили, что из-за неассоциативности нейтриксного произведения мы не можем непротиворечивым образом определить тензор Эйнштейна. Вследствие этой неассоциативности имеет смысл задавать метрику и связность как независимые распределения, что в точности лежит в рамках формализма общей теории относительности Палатини. Далее мы вообще отказываемся от условия метричности и рассматриваем следующую связность:
$$
\begin{equation}
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Theta(f)\Gamma^{+\gamma}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)\Gamma^{-\gamma}_{\alpha\beta},
\end{equation}
\tag{20}
$$
для которой, как мы видим,
$$
\begin{equation}
\nabla_\mu g_{\alpha\beta}=\delta(f)n_\mu[g_{\alpha\beta}],
\end{equation}
\tag{21}
$$
что, очевидно, несовместно с метрикой. Риманов тензор кривизны имеет вид
$$
\begin{equation}
R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma}= \Theta(f)R^{+\mu}_{\kern10pt\nu\rho\sigma}+\Theta(-f)R^{-\mu}_{\kern11pt\nu\rho\sigma}+\delta(f)n_{[\rho}[\Gamma^\mu_{\sigma]\nu}].
\end{equation}
\tag{22}
$$
В данном случае, как и выше, в пределе $\theta_0=\pi$ тензор кривизны воспроизводит поведение КНМТ с точностью до члена с $\delta$-функцией:
$$
\begin{equation*}
R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma}\big|_{\theta_0=\pi}=\Theta(\pi-\theta)R^{+\mu}_{\nu\rho\sigma}+\delta(\pi-\theta)n_{[\rho}[\Gamma^\mu_{\sigma]\nu}].
\end{equation*}
\notag
$$
Однако мы вновь замечаем, что $\widetilde R^\mu_{\nu\rho\sigma}\big|_{\theta_0=\pi}=\widetilde R^{+\mu}_{\nu\rho\sigma}$, и, следовательно, поведение КНМТ воспроизводится полностью. 3.2.1. ЭнергопотреблениеРассмотрим риманов тензор кривизны (22) и проведем в нем свертку по индексам $\mu$, $\rho$, чтобы получить тензор Риччи со значениями в пространстве распределений:
$$
\begin{equation}
R_{\nu\sigma}^{}=\Theta(f) R^{+}_{\kern4.5pt\nu\sigma}+\Theta(-f)R^{-}_{\kern5pt\nu\sigma}+ \delta(f)(n_\mu[\Gamma^\mu_{\sigma\nu}]-n_\sigma[\Gamma^\mu_{\mu\nu}]).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Теперь, чтобы получить скаляр Риччи, мы должны вычислить произведение распределений $g^{\nu\sigma}\circ R_{\nu\sigma}$. Это произведение существует и задается как
$$
\begin{equation}
R\equiv g^{\nu\sigma}\circ R_{\nu\sigma}=\Theta(f) R^{+}+\Theta(-f) R^{-}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Ниже мы покажем, что часть с $\delta$-функцией равна нулю, см. формулу (31). Чтобы найти тензор Эйнштейна, нам потребуется произведение $g_{\nu\sigma}\circ R$ в более явном виде $g_{\nu\sigma}\circ g^{\alpha\beta}\circ R_{\alpha\beta}$. Это тройное нейтриксное произведение. Поскольку это произведение неассоциативно, тройное произведение может не иметь непротиворечивого выражения. Однако скаляр Риччи (24) содержит только $\Theta$-функции, для которых нейтриксные произведения всегда ассоциативны. Следовательно, в этом случае
$$
\begin{equation}
(g_{\nu\sigma}\circ g^{\alpha\beta})\circ R_{\alpha\beta}= g_{\nu\sigma}\circ(g^{\alpha\beta}\circ R_{\alpha\beta})= g^{\alpha\beta}\circ(g_{\nu\sigma}\circ R_{\alpha\beta})=g_{\nu\sigma}\circ R,
\end{equation}
\tag{25}
$$
и это означает, что $g_{\nu\sigma}\circ R$ существует. Тем самым также существует тензор Эйнштейна со значениями в пространстве распределений 4
$$
\begin{equation}
G_{\nu\sigma}^{}=\Theta(f)G^{+}_{\kern4pt\nu\sigma}+\Theta(-f) G^{-}_{\kern4pt\nu\sigma}+ \delta(f)(n_\mu[\Gamma^\mu_{\sigma\nu}]-n_{(\sigma}[\Gamma^\mu_{\nu)\mu}]),
\end{equation}
\tag{26}
$$
где Предполагая, что приведенное выше выражение обусловлено тензором энергии-импульса $T_{\mu\nu}$, получаем, что плотность энергии, наблюдаемая статическим наблюдателем с $u^\mu=\delta^\mu_t$, определяется выражением Поскольку $G_{tt}$ содержит только члены с $\theta$-функцией, произведение с любым другим распределением, содержащим $\theta$-функции, будет ассоциативным. Легко видеть, что
$$
\begin{equation}
\sqrt{h}=\Theta(f)\sqrt{h^{+}}+\Theta(-f)\sqrt{h^{-}},
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $h_{\mu\nu}$ – метрика на гиперповерхности постоянного времени. Таким образом, в силу равенства $G^{-}_{tt}=0$ полная энергия определяется выражением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E=\frac{1}{8\pi}\int d^3x\,\sqrt{h}\cdot G_{tt}&=\frac{1}{8\pi}\int d^3 x\,\Theta(f)\sqrt{h^{+}} G^{+}_{\kern4ptt}= \nonumber\\ &=-\frac{r_0}{8}\int_{\theta<\theta_0}d\Omega^2_{S^2}=-\frac{\pi r_0}{2}\sin^2\frac{\theta_0}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Заметим, что отрицательное энергопотребление является более важной составной частью теории по сравнению со случаем простейшей КНМТ. По-видимому, это некоторый значительный и многообещающий шаг вперед. 3.2.2. Тензор энергии-импульса интерфейсаЕсли мы вычислим в явном виде компоненту тензора Эйнштейна (26), содержащую $\delta$-функцию, то, используя (16), мы обнаружим, что в нашем случае
$$
\begin{equation}
G_{\nu\sigma}^{}\big |_\delta=n_\mu^{}[\Gamma^\mu_{\sigma\nu}]-n_{(\sigma}^{}[\Gamma^\mu_{\nu)\mu}]=0.
\end{equation}
\tag{31}
$$
В пространстве-времени Палатини также имеем плотность тензора гиперимпульса (суперпотенциал)
$$
\begin{equation}
-\nabla_\lambda^{}(\sqrt{-g}g^{\mu\nu})+\nabla_\sigma^{}(\sqrt{-g}g^{\sigma(\mu})\delta^{\nu)}_\lambda=-\Delta^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Этот суперпотенциал является следствием вариации действия по связности:
$$
\begin{equation}
\Delta^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda=-\frac{\delta S}{\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Более явно, в нашем случае
$$
\begin{equation}
\Delta^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda=\delta(f)\delta^\theta_\lambda(-\delta^\mu_{t}\delta^\nu_t+\delta^\mu_l\delta^\nu_l)r^2_0\sin\theta_0.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Этот гиперимпульс можно получить, введя некоторую гипержидкость $\Delta^{f\mu\nu}_\lambda$, которая представляет собой особый вид жидкости, обладающей собственным спином и другими микроструктурами [12]–[14]. Гипержидкости подчиняются следующему уравнению неразрывности в отсутствие кручения [12]:
$$
\begin{equation}
\widetilde\nabla^\mu\mathcal T_{\mu\nu}+\nabla_\rho\nabla_\sigma\Delta_\nu^{\kern4pt\rho\sigma}- R^\lambda_{\kern4pt\rho\sigma\nu}\Delta_\lambda^{\kern4pt\rho\sigma}=0,
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $\widetilde\nabla$ – ковариантная производная по метрической связности, а $\mathcal T_{\mu\nu}$ – плотность тензора энергии-импульса. Однако оказывается, что в данном случае уравнение неразрывности не выполняется (см. п. Д.2 приложения), поэтому такая конфигурация, какой бы многообещающей она ни была, нефизична. Кроме того, через интерфейс не проходят геодезические (см. раздел В приложения). Следовательно, интерфейс в этом случае на самом деле непроходим.
4. Идеальные звездные вратаИдеальная конфигурация звездных врат должна иметь минимум потребления отрицательной энергии (в идеале равный нулю), обладать проходимым интерфейсом, а поддерживающая конфигурацию материя должна быть физической. Несмотря на неудачу в предыдущем разделе, все еще есть надежда отказаться от совместности с метрикой, поскольку существует много подходящих вариантов связностей, которые могут обеспечить желаемую конфигурацию звездных врат. Мы находим, что наилучшим является выбор
$$
\begin{equation}
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Gamma^{-\gamma}_{\alpha\beta}\qquad (\text{плоская связность})
\end{equation}
\tag{36}
$$
с метрикой, которая все так же задается формулой (10). Если посмотреть на уравнения движения, порожденные вариацией Палатини связности без кручения,
$$
\begin{equation}
R_{(\mu,\nu)}-\frac{1}{2}R g_{\mu\nu}= T_{\mu\nu}-\nabla_\lambda(\sqrt{-g}g^{\mu\nu})+\nabla_\sigma(\sqrt{-g}g^{\sigma(\mu})\delta^{\nu)}_\lambda=-\Delta^{\mu\nu}_\lambda,
\end{equation}
\tag{37}
$$
то, учитывая выражения (36) и (10) для связности и метрики, мы имеем уравнения 5
$$
\begin{equation}
\Delta^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda= \delta(f)\delta^\theta_\lambda(-\delta^\mu_{t}\delta^\nu_t+\delta^\mu_l\delta^\nu_l)r^2_0\sin\theta_0+ \Theta(f)\chi^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda,
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
\chi^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda=2\frac{ r^2_0}l\sin\theta[\delta^l_\lambda(-\delta^\mu_{t}\delta^\nu_t+\delta^\mu_l\delta^\nu_l)-\delta^{(\nu}_l\delta^{\mu)}_\lambda],
\end{equation}
\tag{40}
$$
которые можно применять для соответствующей гипержидкости. И, в отличие от случая в п. 3.2, для этой конфигурации тривиально выполняется уравнение неразрывности (35) (см. п. Д.3 приложения). Это означает, что не только нет необходимости в отрицательной энергии, но и геодезическое уравнение имеет решение, непротиворечивое при переходе через интерфейс. И, самое главное, нет приливных сил, поскольку нет кривизны, т. е. у нас “безобидная” конфигурация звездных врат (см. раздел Г приложения). Если мы допускаем кручение, то
$$
\begin{equation}
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=(\Lambda^{-1})^\gamma_{\kern4pt\sigma}\partial_{\beta}\Lambda^\sigma_{\kern4pt\alpha}\qquad (\text{инерциальная связность}),
\end{equation}
\tag{41}
$$
где $\Lambda\in GL(4,\mathbb{R})$ также дает конфигурацию с нулевой энергией, и при этом будет удовлетворено уравнение неразрывности. Однако в уравнение для геодезического отклонения будет вноситься вклад, связанный с кручением, и, следовательно, решения типа звездных врат могут не быть “безобидными”. Источник гипержидкостиГипержидкости обычно рассматриваются как жидкости с некоторой микроструктурой. Например, фермионная жидкость имеет спиновую микроструктуру. Макроскопические свойства жидкости являются источником тензора энергии-импульса $T_{\mu\nu}$, а микроструктуры жидкости – источником $\Delta^\mu_{\nu\lambda}$. Можно также представить себе различные виды жидкостей с весьма экзотическими микроструктурами в зависимости от их фундаментальных составляющих, например струны, кварки и т. д. Однако гипержидкость, которая требуется в нашей идеальной конфигурации звездных врат, должна иметь нулевой тензор энергии-импульса и ненулевой гиперимпульс. Это возможно только в том случае, когда интересующая нас гипержидкость каким-то образом не взаимодействует с метрикой, а взаимодействует только со связностью. Действие, которое может это допустить, очень сложно придумать и еще сложнее обосновать. Однако можно рассмотреть в качестве примера дополнительное взаимодействие вида 6
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm{int}}=\eta\int d^4x\,\sqrt{\det(m_{\mu\nu}+\alpha R_{\mu\nu})}+\beta\int d^4x\,\sqrt{m}+\gamma\int d^4x\,\sqrt{\det(R_{\mu\nu})},
\end{equation}
\tag{42}
$$
где $m_{\mu\nu}$ – просто вспомогательное тензорное поле и $\eta$, $\beta$, $\gamma$ – константы связи. Уравнения движения для $m_{\mu\nu}$ и тензора $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ без кручения записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(\eta\frac{\sqrt{\det(m_{\mu\nu}+\alpha R_{\mu\nu})}}{\sqrt{m}}+\beta\biggr)m_{\mu\nu}=-\alpha\beta R_{\mu\nu}, \\ \eta\Pi_\lambda^{\mu\nu}(m,\Gamma)+\gamma\Pi_\lambda^{\mu\nu}(0,\Gamma)=-\Delta^{\mu\nu}_\lambda, \\ \begin{aligned} \, \Pi_\lambda^{\mu\nu}(m,\Gamma)&=-\nabla_\lambda\Bigl[\sqrt{\det (m_{\rho\sigma}+\alpha R_{\rho\sigma})}[(m+\alpha R)^{-1}]^{\mu\nu}\Bigr]+{} \\ &\kern13pt {+}\kern1pt\nabla_\sigma\Bigl[\sqrt{\det(m_{\rho\sigma}+ \alpha R_{\rho\sigma})}[(m+\alpha R)^{-1}]^{(\mu|\sigma|}\Bigr]\delta^{\nu)}_\lambda, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{43}
$$
где $\Delta^{\mu\nu}_\lambda$ задан в (37). Нетрудно заметить, что при $\beta=-\eta$, $\gamma=0$ тензорное поле $m_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}$ является решением приведенных выше уравнений движения, т. е. $g_{\mu\nu}$ – решение типа звездных врат и $\Gamma^{\mu}_{\kern4pt\nu\lambda}$ – плоская связность. Взаимодействие (42) включает в себя только связность, и это помогает получить ненулевой гиперимпульс с нулевым тензором энергии-импульса. Однако представляется довольно трудным понять, какие известные явления или теории гравитации могут породить такое взаимодействие. Хотя, возможно, удастся отсеять или ограничить такие типы взаимодействий, принимая во внимание теоремы об отсутствии призраков и локальность.
5. Обсуждение и заключениеВ представленной работе мы начали с совместной с метрикой связности и попытались привести в соответствие с ней то, что по сути является разрывной метрикой. После серии проб и ошибок мы, наконец, остановились на неметрическом пространстве-времени с плоской связностью, чтобы получить “безопасную” конфигурацию звездных врат. Разрывная метрика и неметричность являются неримановыми эффектами, поэтому неудивительно, что решение типа звездных врат в конечном итоге поддерживается гипержидкостями, поскольку они имеют все необходимые микроструктуры для получения таких неримановых степеней свободы [13], [14]. В принципе, можно разработать класс конфигураций звездных врат, для которых необходимость введения гипержидкостей может быть сведена к требованию близости от “входа”. Однако это упражнение рутинное и, возможно, не очень информативное. Мы также обнаружили, что плохой идеей было соотносить разрывные метрики со связностью, принимающей значения в пространстве распределений (или, проще, разрывной связностью), так как при наличии такой связности (метрические или аффинные) геодезические через интерфейс отсутствуют. Легкая доступность звездных врат важна вследствие ее полезности и простоты использования. Тем самым, чтобы гарантировать такую доступность, любое решение типа звездных врат, по-видимому, обязательно должно иметь непрерывную связность. Кроме того, искомые поля материи должны по крайней мере удовлетворять уравнению неразрывности. Источники гипержидкости, поддерживающие звездные врата с нулевой энергией, уже достаточно своеобразны, потому что такие источники должны определяться только связностью, но не метрикой. Мы попытались привести пример такого сценария, используя взаимодействие (42), но ему не хватает какой-либо фундаментальной или феноменологической мотивации. Однако можно проверить, свободны ли такие взаимодействия от призраков или являются ли они локальными, чтобы удостовериться в их чувствительности. Такие примеры, если они разумны, могут стать источником гипержидкостей для идеальных звездных врат или кротовых нор. Эти гипержидкости можно получать, используя само пространство-время. Существование квантовой гравитации требует наличия лежащей в ее основе микроструктуры пространства-времени, и наоборот. Подобные микроструктуры внесли бы некоторые поправки в обычное гравитационное действие, возможно, того типа, с которым мы имели дело в (42). Может быть, это упущенная нами феноменологическая мотивация. Однако это направление мысли в настоящее время выходит за рамки данной статьи и будет серьезно рассмотрено в наших будущих исследованиях. Упомянув о возможности манипуляции кротовыми норами без отрицательной энергии, в конце концов мы вынуждены столкнуться с проблемой построения кротовых нор. Даже если у нас есть вся необходимая экзотическая материя, неясно, как можно использовать ее для создания кротовой норы. Кроме того, каждый шаг процесса ее построения должен быть совместим с общей теорией относительности, и поэтому мы в конечном итоге рассматриваем то, что является зависящим от времени решением, получающимся при таком построении и деконструкции после использования. Кроме того, для такой “сборки” кротовой норы требуется работать с топологией, что запрещено классической общей теорией относительности, поскольку она риманова по своей природе [8]. Именно здесь может оказаться полезным нериманов характер нашего решения и поддерживающих его источников. Это связано с тем, что в принципе можно рассматривать решение типа звездных врат как промежуточный шаг при построении кротовой норы, имеющей форму полной сферы. Как сделать самый первый шаг, опять же является проблемой, которая выходит за рамки настоящей статьи, и мы откладываем ее решение на будущее. Приложение А. Краткий обзор понятия произведения распределенийПриведем краткий обзор понятия произведения распределений, введенного в работах ван дер Корпута [9] и Фишера [10]. Пусть $\rho$ – фиксированная бесконечно дифференцируемая функция, такая что
$$
\begin{equation}
\rho(x)=0\;\;\text{при}\;\; |x|\geqslant 1,\quad\; \rho(x)\geqslant 0,\quad\; \rho(x)=\rho(-x),\quad\; \int^{1}_{-1}\rho(x)\,dx=1.
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
Зададим для $n=1,2\ldots{}$ функции $\delta_n(x)=n\rho(nx)$; теперь $\{\delta_n\}$ – это последовательность бесконечно дифференцируемых функций, сходящаяся к дельта-функции $\delta(x)$ при $n\to\infty$. Рассмотрим произвольное распределение $f$ и зададим функциии
$$
\begin{equation}
f_n(x)=f *\delta_n=\int^{1/n}_{-1/n}f(x-t)\delta_n(t)\,dt,\qquad n=1,2,\ldots{}\,.
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
Тогда $\{f_n\}$ – последовательность бесконечно дифференцируемых функций, сходящаяся к распределению $f$. Определение 1. Пусть $f$, $g$ – произвольные распределения и пусть $f_n=f*\delta_n$, $g_n=g*\delta_n$. Мы говорим, что произведение $f$ и $g$ существует и равно распределению $h=f\cdot g$ на открытом интервале $(a,b)$, где $-\infty\leqslant a< b\leqslant\infty$, если и только если $\{f_n\cdot g_n\}$ – регулярная последовательность, сходящаяся к распределению $h$ на открытом интервале $(a,b)$. Определение 2 [9]. Пусть $f$, $g$ – произвольные распределения и пусть $f_n=f*\delta_n$, $g_n=g*\delta_n$. Мы говорим, что нейтриксное произведение распределений $f$ и $g$ существует и равно распределению $h=f\circ g$ на открытом интервале $(a,b)$, где $-\infty\leqslant a< b\leqslant\infty$, если и только если Здесь $\text{N-lim}$ называется нейтриксным пределом, $N$ – нейтрикс (коммутативная аддитивная группа так называемых пренебрежимых функций) с областью определения $N'=\{1,2,\ldots\}$ и множеством значений $N''$, совпадающим со множеством всех вещественных чисел; пренебрежимые функции – это конечные линейные комбинации функций $n^\lambda\ln^{r-1}n$, $\ln^r n$, где $\lambda\geqslant 0$ и $r=1,2,\ldots{}$, и все функции, стремящиеся к нулю в обычном смысле при $n\to\infty$. Заметим, что если $\lim_{n\to\infty}f_n g_n=h$, то $f\circ g$ сводится к $f\cdot g$, таким образом, нейтриксное произведение является обобщением произведения из определения 1. Имеет место следующая теорема [16]. Теорема 1. Пусть $f$ и $g$ – произвольные распределения и $f\cdot g$ существует и равно $h$, тогда существует нейтриксное произведение $f\circ g$, равное $h$. Используя приведенные выше определения, можно доказать еще несколько теорем, касающихся произведения распределений. Например, справедлива теорема Фишера [10]. Теорема 2. Пусть $x^\lambda_{+}\equiv x^\lambda\Theta(x)$ и $x^\lambda_{-}\equiv|x|^\lambda\Theta(-x)$, тогда если $\lambda,\mu,\lambda+\mu>-1$, то произведение $x^\lambda_{+}\cdot x^\mu_{-}$ существует и задается как $x^\lambda_{+}\cdot x^\mu_{-}=0$. Кроме того, где $\delta^{(r)}$ есть $r$-я производная дельта-функции. Также приведем две теоремы, доказанные в работах [11] и [17] соответственно. Используя эти теоремы, без труда можно показать, что имеет место следующее утверждение. Следствие 1. Если взять в теореме Фишера $\lambda=\mu=0$, то $\Theta(x)\cdot\Theta(-x)=0$, а если $r=0$, то Нам также потребуется произведение $\Theta^2(x)=\Theta(x)\cdot\Theta(x)=\Theta(x)$ [10], которое по определению равно $\theta$-функции Хевисайда. Теперь мы располагаем всеми необходимыми распределениями с корректно определенными произведениями. Приложение Б. Связность, совместная с метрикой, принимающей значения в пространстве распределенийРассмотрим метрику (10)
$$
\begin{equation}
g_{\alpha\beta}=\Theta(f)g^{+}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)g^{-}_{\alpha\beta}.
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
Для связности со значениями в пространстве распределений, имеющей вид
$$
\begin{equation}
\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Theta(f)\Gamma^{+\gamma}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)\Gamma^{-\gamma}_{\alpha\beta}+ \delta(f)\frac{(\bar g^{-1})^{\gamma\tau}}{2}(n_\alpha[g_{\tau\beta}]+n_{\beta}[g_{\tau\alpha}]-n_{\tau}[g_{\alpha\beta}]),
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
мы получаем 7
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nabla_\mu g_{\nu\lambda}&=\delta(f)n_\mu[g_{\nu\lambda}]-g_{\tau\lambda}\circ\delta(f) \frac{(\bar g^{-1})^{\tau\delta}}{2}(n_\mu[g_{\delta\nu}]+n_\nu[g_{\delta\mu}]-n_\delta[g_{\mu\nu}])-{} \nonumber\\ &\quad -g_{\tau\nu}\circ\delta(f)\frac{(\bar g^{-1})^{\tau\delta}}{2}(n_\mu[g_{\delta\lambda}]+n_\lambda[g_{\delta\mu}]-n_\delta[g_{\lambda\mu}]). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.3}
$$
Так как связности $\Gamma^{\pm}$ согласованы с метрикой $g^{\pm}$, в приведенном выше описании не фигурируют $\theta$-функции. Теперь можно показать, что слагаемые с $\delta$-функциями сокращаются. Используя свойства (8) произведений распределений, получаем равенство $g_{\mu\nu}\circ\delta(f)=\bar g_{\mu\nu}\delta(f)$ и в итоге имеем $\nabla_\mu g_{\nu\lambda}=0$, где также использовано соотношение
$$
\begin{equation}
\bar g_{\lambda\tau}(\bar g^{-1})^{\tau\delta}=\delta^{\kern4pt\delta}_\lambda.
\end{equation}
\tag{Б.4}
$$
Теперь проверим, что обратной к метрике (10) является метрика
$$
\begin{equation}
g^{\alpha\beta}=\Theta(f)(g^{+})^{\alpha\beta}+\Theta(-f)(g^{-})^{\alpha\beta}.
\end{equation}
\tag{Б.5}
$$
Аналогично предыдущему рассмотрим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nabla_\mu g^{\nu\lambda}&=\delta(f)n_\mu[g^{\nu\lambda}]+g^{\lambda\tau}\circ\delta(f) \frac{(\bar g^{-1})^{\nu\delta}}{2}(n_{\tau}[g_{\delta\mu}]+n_\mu[g_{\delta\tau}]-n_\delta[g_{\tau\mu}])+{} \nonumber\\ &\quad +g^{\nu\tau}\circ\delta(f)\frac{(\bar g^{-1})^{\lambda\delta}}{2}(n_{\tau}[g_{\delta\mu}]+n_\mu[g_{\delta\tau}]-n_\delta[g_{\tau\mu}]). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.6}
$$
Используя произведение распределений, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nabla_\mu g^{\nu\lambda}&=\delta(f)n_\mu[g^{\nu\lambda}]+\bar g^{\lambda\tau}\delta(f) \frac{(\bar g^{-1})^{\nu\delta}}{2}(n_{\tau}[g_{\delta\mu}]+n_\mu[g_{\delta\tau}]-n_\delta[g_{\tau\mu}])+{} \nonumber\\ &\quad +\bar g^{\nu\tau}\delta(f)\frac{(\bar g^{-1})^{\lambda\delta}}{2}(n_{\tau}[g_{\delta\mu}]+n_\mu[g_{\delta\tau}]-n_\delta[g_{\tau\mu}]). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.7}
$$
С учетом того, что $\bar g^{\lambda\tau}(\bar g^{-1})^{\nu\delta}=-[g^{\lambda\tau}][g^{\nu\delta}]^{-1}$, где $[g]^{-1}$ – метрика, обратная к $[g]$, мы можем сократить вклады с $\delta$-функциями и получаем, что $\nabla_\mu g^{\nu\lambda}=0$. Это показывает, что (Б.2) – связность, совместная с метрикой.
Приложение В. Геодезические, проходящие через интерфейс, для связности со значениями в множестве распределенийЧтобы можно было получить доступ к звездным вратам, интерфейс должен быть проходимым. Это означает, что должны существовать геодезические, проходящие через интерфейс. Рассмотрим уравнение геодезической для метрической связности:
$$
\begin{equation}
\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}+\widetilde\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^{\alpha}\dot{x}^{\beta}=0,
\end{equation}
\tag{В.1}
$$
где в нашем случае метрическая связность имеет вид
$$
\begin{equation}
\widetilde\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Theta(f)\Gamma^{+\gamma}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)\Gamma^{-\gamma}_{\alpha\beta}+ \delta(f)\frac{\bar g^{\kern1pt\gamma\tau}}{2}(n_\alpha[g_{\tau\beta}]+n_{\beta}[g_{\tau\alpha}]-n_{\tau}[g_{\alpha\beta}]).
\end{equation}
\tag{В.2}
$$
Мы ищем путь через интерфейс, поэтому считаем, что $\dot{\phi}=0$, т. е. $\phi=\Phi=\text{const}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\ddot\theta+ \biggl(\Theta(f)\frac{l}{l^2+r^2_0}+\Theta(-f)\frac{1}l\biggr)\dot\theta\dot l+ \frac{1}{2}\delta(f)\dot\theta^2\biggl(\frac{r^2_0}{l^2+r^2_0}+\frac{r^2_0}{l^2}\biggr)=0.
\end{equation}
\tag{В.4}
$$
Во втором члене во втором слагаемом в (В.4) присутствует тройное произведение распределений, поэтому не существует корректных нетривиальных решений этих уравнений. Следовательно, не существуют метрические геодезические, которые пересекают интерфейс. Поскольку эта проблема также будет иметь место для любых связностей со значениями в пространстве распределений, для них не существуют никакие аффинные или метрические геодезические, проходящие через интерфейс.
Приложение Г. Приливные силы в идеальных звездных вратахИдеальная конфигурация звездных врат возникает при однородной связности, следовательно, аффинное уравнение геодезических имеет непротиворечивые решения, проходящие через интерфейс. Однако, поскольку метрика по-прежнему принимает значения в пространстве распределений, не существуют метрические геодезические, проходящие через интерфейс. Рассмотрим семейство аффинных геодезических, параметризованных величиной $\tau$. Тогда уравнение для геодезического отклонения имеет вид
$$
\begin{equation}
\frac{D^2\xi^\mu}{D\tau^2}-R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma} u^\nu u^\rho\xi^\sigma=0,
\end{equation}
\tag{Г.1}
$$
где $D/D\tau=u^\mu\nabla_\mu$ и $\xi^\mu$ – вектор геодезического отклонения. Поскольку нас интересуют только пространственные геодезические отклонения, введем следующий проектор:
$$
\begin{equation}
h_\mu^{\kern4pt\nu}=\delta_\mu^{\kern4pt\nu}-\frac{u_\mu u^\nu}{u^2},
\end{equation}
\tag{Г.2}
$$
где индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики (10). Далее положим
$$
\begin{equation}
\eta^\nu\equiv\xi^\mu h_\mu^{\kern4pt\nu}=\xi^\nu-u^\nu\frac{\xi^\mu u_\mu}{u^2},
\end{equation}
\tag{Г.3}
$$
где мы применили равенство $Du^\mu/D\tau=0$, вытекающее из того, что $u^\mu=dx^\mu/d\tau$ есть касательная к аффинной геодезической. Используя полученные выше результаты, находим, что
$$
\begin{equation}
\frac{D\xi^\nu}{D\tau}=\frac{D\eta^\nu}{D\tau} +u^\nu\frac{D}{D\tau}\biggl(\frac{\xi^\mu u_\mu}{u^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{Г.4}
$$
Теперь введем тетраду
$$
\begin{equation}
e^0_\mu=\frac{u_\mu}{|u|},\qquad e^a_\mu e^{b}_\nu\delta_{ab}=-h_{\mu\nu},
\end{equation}
\tag{Г.5}
$$
тогда можно переписать (Г.4) как
$$
\begin{equation}
e^a_\nu\frac{D\xi^\nu}{D\tau}=e^a_\nu\frac{D\eta^\nu}{D\tau},
\end{equation}
\tag{Г.6}
$$
где мы учли, что $e^a_\nu u^\nu=e^a_\nu e^0_\mu g^{\mu\nu}|u|=0$. Используя правило Лейбница, имеем
$$
\begin{equation}
\frac{D\xi^a}{D\tau}-\xi^\nu\frac{D e_\nu^a}{D\tau}=\frac{D\eta^a}{D\tau}-\eta^\nu\frac{D e_\nu^a}{D\tau}.
\end{equation}
\tag{Г.7}
$$
Применим в этом соотношении определение (Г.3) и получим
$$
\begin{equation}
\frac{D\xi^a}{D\tau}=\frac{D\eta^a}{D\tau}+u^\nu\biggl(\frac{\xi^\mu u_\mu}{u^2}\biggr)\frac{D e_\nu^a}{D\tau}.
\end{equation}
\tag{Г.8}
$$
Используем тождество
$$
\begin{equation}
0=\frac{D}{D\tau}(e^a_\nu u^\nu)=u^\nu\frac{De^a_\nu}{D\tau}
\end{equation}
\tag{Г.9}
$$
и получим окончательную формулу с помощью которой можно переписать уравнение геодезического отклонения как
$$
\begin{equation}
\frac{D^2\eta^a}{D\tau^2}+K^a_b\eta^b=0,\qquad K^a_b=-R^\mu_{\kern4pt\nu\rho\sigma} e^a_\mu v^\nu v^\rho e^\sigma_b.
\end{equation}
\tag{Г.11}
$$
В силу того, что для плоской связности, как и в идеальной конфигурации звездных врат, мы имеем $K^a_b=0$, у нас просто нет приливных сил, т. е. Это показывает, что идеальная конфигурация звездных врат является “абсурдно безопасной”.
Приложение Д. Уравнение неразрывностиД.1. Вывод уравненияПредставим существенно упрощенную версию получения искомого уравнения из работы [12]. Рассмотрим действие материи $S_{\mathrm m}$, которое, вообще говоря, является инвариантным по координатам. Теперь введем произвольный сдвиг координат $x^\mu\to x^\mu+\xi^\mu$. Наложим условие
$$
\begin{equation}
\delta_{\xi}S_{\mathrm m}=\int d^4x\, \biggl[\frac{\delta\mathcal L}{\delta g_{\mu\nu}}\delta_{\xi}g_{\mu\nu}+ \frac{\delta\mathcal L}{\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}}\delta_{\xi}\Gamma^\lambda_{\mu\nu}\biggr]=0.
\end{equation}
\tag{Д.1}
$$
Предположив, что рассматривается связность без кручения, можно показать, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta_{\xi}g_{\mu\nu}&=-2\widetilde\nabla_{(\mu}\xi_{\nu)}, \\ \delta_{\xi}\Gamma^\lambda_{\mu\nu}&=\xi^{\alpha}R^\lambda_{\kern4pt(\mu\nu)\alpha}-\nabla_{(\nu}\nabla_{\mu)}\xi^\lambda, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Д.2}
$$
где $\widetilde\nabla$ – ковариантная производная, соответствующая метрической связности. Используя эти соотношения в (Д.1), получаем
$$
\begin{equation}
\delta_{\xi}S_{\mathrm m}=\int d^4x\, [-2\mathcal T^{\mu\nu}\widetilde\nabla_\mu\xi_\nu- \Delta_\lambda^{\kern4pt\mu\nu}(\xi^{\alpha}R^\lambda_{\kern4pt\mu\nu\alpha}-\nabla_\nu\nabla_\mu\xi^\lambda)],
\end{equation}
\tag{Д.3}
$$
где мы использовали следующие определения:
$$
\begin{equation}
\mathcal T^{\mu\nu} :=\frac{\delta\mathcal L}{\delta g_{\mu\nu}},\qquad \Delta_\lambda^{\kern4pt\mu\nu}:= -\frac{\delta\mathcal L}{\delta\Gamma^\lambda_{\mu\nu}}.
\end{equation}
\tag{Д.4}
$$
Здесь $\mathcal T$ – плотность энергии-импульса и $\Delta^\lambda_{\kern4pt\mu\nu}$ – плотность гиперимпульса. После интегрирования по частям получаем
$$
\begin{equation}
\widetilde\nabla^\mu\mathcal T_{\mu\nu}+\nabla_\rho\nabla_\sigma\Delta_\nu^{\kern4pt\rho\sigma}- R^\lambda_{\kern4pt\rho\sigma\nu}\Delta_\lambda^{\kern4pt\rho\sigma}=0.
\end{equation}
\tag{Д.5}
$$
Д.2. Нефизичная конфигурация звездных врат: $T_{\mu\nu}\neq 0$, $\Delta_\mu^{\kern3pt\nu\lambda}\,{\neq}\,0$Можно показать, что для (32) имеет место следующее тождество [12]:
$$
\begin{equation}
\widehat\nabla_\mu\Delta_\lambda^{\kern4pt\mu\nu}=-\sqrt{-g}g^{\nu\mu}(\check{R}_{\mu\lambda}+R_{\lambda\mu}),
\end{equation}
\tag{Д.6}
$$
где $\check{R}^\lambda_{\kern4pt\kappa}=R^\lambda_{\kern4pt\mu\nu\kappa}g^{\mu\nu}$, $\widehat\nabla_\mu=2 S_\mu-\nabla_\mu$. Однако в нашем случае связность (20) приводит к тому, что $\nabla_\mu\Delta_\lambda^{\kern4pt\mu\nu}=0$. Следовательно, уравнение неразрывности сводится просто к
$$
\begin{equation}
\widetilde\nabla^\mu\mathcal T_{\mu\nu}-R^\lambda_{\kern4pt\rho\sigma\nu}\Delta_\lambda^{\kern4pt\rho\sigma}=0.
\end{equation}
\tag{Д.7}
$$
Метрическая связность, соответствующая (10), при этом задается как
$$
\begin{equation}
\widetilde\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\Theta(f)\Gamma^{+\gamma}_{\alpha\beta}+\Theta(-f)\Gamma^{-\gamma}_{\alpha\beta}+ \delta(f)\frac{\bar g^{\kern1pt\gamma\tau}}{2}(n_\alpha[g_{\tau\beta}]+n_{\beta}[g_{\tau\alpha}]-n_{\tau}[g_{\alpha\beta}]).
\end{equation}
\tag{Д.8}
$$
Используя это выражение в (Д.7), получаем
$$
\begin{equation}
\widetilde\nabla^\mu\mathcal T_{\mu\nu}-R^\lambda_{\kern4pt\rho\sigma\nu}\Delta_\lambda^{\kern4pt\rho\sigma}= \delta(f)r^2_0\sin\theta_0\frac{8 l^6+4 l^4 r^2_0-r^6_0}{8l^4(l^2+r_0^2)^2}\neq 0.
\end{equation}
\tag{Д.9}
$$
Следовательно, не существует физическая конфигурация жидкости и гипержидкости, которая позволила бы достичь такой конфигурации звездных врат. Д.3. Идеальная конфигурация звездных врат: $T_{\mu\nu}=0$, $\Delta_\mu^{\kern4pt\nu\lambda}\neq 0$Идеальная конфигурация звездных врат достигается, когда $\Gamma^\mu_{\nu\lambda}=\Gamma^{-\mu}_{\nu\lambda}$ всюду в пространстве-времени. Это приводит к обращению в нуль риманова тензора и коммутативности ковариантных производных, что в силу (Д.6) влечет $\nabla_\mu\Delta_\lambda^{\kern4pt\mu\nu}=0$. Таким образом, уравнение неразрывности выполняется тривиально. Приложение Е. Частные случаи физической конфигурации звездных вратРассмотрим различные частные случаи решения типа звездных врат. При $\theta_0=0$ уравнения (38) и (39) дают
$$
\begin{equation}
T_{\mu\nu}\big|_{\theta_0=0}=0,\qquad \Delta^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda|_{\theta_0=0}=0,
\end{equation}
\tag{Е.1}
$$
что неудивительно, так как предполагается, что это плоское пространство. Для случая $\theta_0=\pi$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T_{\mu\nu}\big|_{\theta_0=\pi}=0, \\ \begin{aligned} \, \Delta^{\kern4pt\mu\nu}_\lambda|_{\theta_0=\pi}&=2\Theta(\bar f\,) \frac{r^2_0}l\sin\theta[\delta^l_\lambda(-\delta^\mu_{t}\delta^\nu_t+\delta^\mu_l\delta^\nu_l)-\delta^{(\nu}_l\delta^{\mu)}_\lambda]= \\ &=2\frac{ r^2_0}l\sin\theta[\delta^l_\lambda(-\delta^\mu_{t}\delta^\nu_t+\delta^\mu_l\delta^\nu_l)-\delta^{(\nu}_l\delta^{\mu)}_\lambda]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{Е.2}
$$
Это имеющая форму полной сферы КНМТ, которая полностью поддерживается гиперимпульсом и имеет нулевую отрицательную энергию. Источником этого гиперимпульса может быть некая гипержидкость, которая обсуждалась в разделе 4.
Приложение Ж. Отсутствие конических особенностейРассмотрим метрику
$$
\begin{equation}
ds^2=-dt^2+dl^2+[l^2+r^2_0h(\theta)](d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2)
\end{equation}
\tag{Ж.1}
$$
(при $h(\theta)=\Theta(f)$ восстанавливается метрика (5), но здесь мы считаем, что $h(\theta)$ – произвольная функция), тогда одна из компонент тензора Риччи в метрической гравитации определяется выражением
$$
\begin{equation}
R_{l\theta}=\frac{lr^2_0h'(\theta)}{[l^2+r^2_0 h(\theta)]^2}.
\end{equation}
\tag{Ж.2}
$$
Эта компонента вызывает подозрения. Действительно, с учетом того, что
$$
\begin{equation}
\lim_{z\to 0} z^{\Delta-d}\frac{z^{\Delta}}{(z^2+x_\mu x^\mu)^{\Delta}}=\frac{\delta^{(d)}(x)}{C_{\Delta}},\qquad C_{\Delta}=\frac{\Gamma(\Delta)}{\pi^{d/2}\Gamma(\Delta-d/2)},
\end{equation}
\tag{Ж.3}
$$
где $d$ – размерность координаты $x^\mu$, мы получаем при $l\to 0$
$$
\begin{equation}
R_{l\theta}\overset{l\to 0}{=}\frac{\pi r_0h'(\theta)}{l^2+r^2_0h(\theta)}\delta(\sqrt{h(\theta)}\,)
\end{equation}
\tag{Ж.4}
$$
и видим, что существует примитивная сингулярность типа $\delta$-функции в начале координат. Далее используем тождество
$$
\begin{equation}
\delta(f(x))=\sum_{x_i\colon f(x_i)=0}\frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}
\end{equation}
\tag{Ж.5}
$$
и тогда получаем
$$
\begin{equation}
R_{l\theta}\overset{l\to 0}{=}\frac{2\pi r_0h'(\theta)}{l^2+r^2_0h(\theta)} \biggl[\;\sum_{\theta_i\colon h(\theta_i)=0}\sqrt{h(\theta_i)}\frac{\delta(\theta-\theta_i)}{|h'(\theta_i)|}\biggr].
\end{equation}
\tag{Ж.6}
$$
Теперь, если мы внесем общий множитель внутрь суммы,
$$
\begin{equation}
R_{l\theta}\overset{l\to 0}{=} 2\pi\sum_{\theta_i\colon h(\theta_i)=0}\frac{h'(\theta_i)}{|h'(\theta_i)|}\frac{r_0\sqrt{h(\theta_i)}}{l^2+r^2_0h(\theta_i)}\delta(\theta-\theta_i).
\end{equation}
\tag{Ж.7}
$$
Вновь воспользуемся тождеством (Д.6), поскольку $\sqrt{h(\theta_i)}=0$. Величина $l^2$ равна норме в трехмерном пространстве, следовательно,
$$
\begin{equation}
R_{l\theta}\overset{l\to 0}{=} -4\pi^3r^2_0\delta^{(3)}(l)\sum_{\theta_i\colon h(\theta_i)=0}\frac{h'(\theta_i)}{|h'(\theta_i)|}|h(\theta_i)|\delta(\theta-\theta_i)=0.
\end{equation}
\tag{Ж.8}
$$
В силу произвольности функции $h(\theta)$ это соотношение должно быть выполнено и при $h(\theta)=\Theta(f)$. Тогда полный тензор Риччи в пределе $l\to 0$ принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{ll}&{}\overset{l\to 0}{=}-\frac{2}{r^2_0h(\theta)}, \\ R_{\theta\theta}&{}\overset{l\to 0}{=}\frac{h(\theta)^{\prime\,2}-h(\theta)[h'(\theta) \operatorname{ctg} \theta+h''(\theta)]}{2h(\theta)^2}, \\ R_{\phi\phi}&{}\overset{l\to 0}{=}R_{\theta\theta}\sin^2\theta. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Ж.9}
$$
Можно видеть, что при $h(\theta)=\Theta(f)$ возникает сингулярность типа $\delta(\theta_0-\theta)$, но нет никаких сингулярностей типа $\delta$-функции в начале координат. БлагодарностиЭта работа посвящается народу и культуре Индии, т. е. земле Бхарат, за неустанную поддержку исследований в области фундаментальных наук на протяжении тысячелетий и по сей день. Я хотел бы поблагодарить Хосе Сеновиллу (Университет страны басков) и Дамианоса Иософидиса (Университет Аристотеля, Салоники, Греция) за их незамедлительные и прекрасные объяснения всех вопросов, связанных с общей теорией относительности. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Meh23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|