| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Нелинейная интерференция солитонов и волн в доменной магнитной структуре В. В. Киселевab, С. В. Баталовab a Институт физики металлов им. М. Н. Михеева УрО РАН, Екатеринбург, Россия b Физико-технологический институт Уральского федерального университета им. Первого президента России Б. Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923030054 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеОсновное состояние магнитных материалов обычно не является однородным, а представляет собой периодическую доменную структуру. Для широкого класса ферро- и антиферромагнетиков с плоскопараллельной полосовой доменной или спиральной структурой плотность функции Лагранжа имеет вид [1]–[9]
$$
\begin{equation}
L=\frac{\alpha}{2} \biggl[ \frac{1}{c^2} (\partial_t \Phi)^2 - ( \partial_q \Phi)^2 \biggr]-\kappa [1-\cos (N \Phi)]- \gamma \partial_q \Phi,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $q$, $t$ – пространственная координата и время, $\alpha>0$ – постоянная обменного взаимодействия, $c$ – максимальная групповая скорость спиновых волн в доменной структуре. Второй член обычно связан с кристаллографической анизотропией или внешним магнитным полем ($N$ – целое число, $\kappa>0$ – постоянная анизотропии). Последний член не изменяет уравнений Лагранжа, но влияет на энергию основного состояния среды. Его появление возможно только в кристаллах без центра инверсии, где оно приводит к спиральному упорядочению магнитных моментов [1]–[4]. Угол $\Phi(q,t)$ задает ориентацию нормированного вектора ферро- или антиферромагнетизма $\mathbf{n}$ ($\mathbf{n}^2=1$) [5]–[9]. Например, в геликоидальном ферромагнетике с анизотропией типа “легкая плоскость” (плоскость $Oxy$) и внешним магнитным полем $\mathbf{H}=(0,0,H)$ в базисной плоскости координата $q=z$, $\kappa \propto H$, $N=1$, $\mathbf{n}=(\cos \Phi,\sin \Phi,0)$ [8]. Для ферромагнетика с полосовой доменной структурой и квадратичной анизотропией типа “легкая ось” (ось $Oz$) $\gamma=0$, $q=x$, $N=2$, $\mathbf{n}=(0,\cos \Phi,\sin \Phi)$ [6], [7]. Для мультиферроиков с циклоидальной структурой в плоскости $Oyz$ координата $q=y$, $N=2$, $\mathbf{n}=(0,\sin \Phi,\cos \Phi)$ [9]. Второе слагаемое в лагранжиане (1.1) характеризует остаточную анизотропию в “легкой плоскости” $Oyz$. В широко распространенных двухподрешеточных антиферромагнетиках кристаллографического класса $D_{2 h}$ электрическое поле $\mathbf{E}=(0,0,E)$ приводит к магнитоэлектрической связи $\gamma \partial_y \Phi$ с параметром $\gamma \propto E$. Во всех случаях после масштабных преобразований $\Phi'=N \Phi$, $q'=q \sqrt{\kappa N/\alpha}$, $t'=c t \sqrt{\kappa N/\alpha}$ поле $\Phi$ описывается универсальной интегрируемой моделью синус-Гордон:
$$
\begin{equation}
\partial_{t'}^2 \Phi' - \partial_{q'}^2 \Phi' + \sin \Phi' = 0 .
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
Штрихи, помечающие новые переменные, далее опускаем. Уравнение синус-Гордон (1.2) эквивалентно условию совместности следующей вспомогательной линейной системы [10]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_t \Psi &= \frac{i}{2} \biggl[ \frac{\partial_q \Phi}{2} \sigma_3 + \sigma_1 w_1 \cos \frac{\Phi}{2} + \sigma_2 w_2 \sin \frac{\Phi}{2} \biggr]\Psi \equiv V \Psi, \\ \partial_q \Psi &= \frac{i}{2} \biggl[ \frac{\partial_t \Phi}{2} \sigma_3 + \sigma_1 w_2 \cos \frac{\Phi}{2} + \sigma_2 w_1 \sin \frac{\Phi}{2} \biggr]\Psi \equiv U \Psi \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
относительно векторов-функций $\Psi(q,t)$. Здесь $\sigma_i$, $i=1,2,3$, – матрицы Паули. Коэффициенты $w_1$, $w_2$ связаны условием $w_1^2 - w_2^2 = 1$. Оно допускает униформизацию в терминах двоякопериодических эллиптических функций Якоби $\operatorname{sn} (u,k)$ и $\operatorname{cn} (u,k)$ [10]–[12]:
$$
\begin{equation}
w_1 = \operatorname{cn} (u,k),\qquad w_2 = i \operatorname{sn} (u,k),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
где $0<k<1$ – модуль эллиптических функций Якоби. Комплексный спектральный параметр $u$ определен в параллелограмме периодов со сторонами [$4K, 4iK'$], где $K=K(k)$ – полный эллиптический интеграл первого рода, $K'=K(k')$, $k'=\sqrt{1-k^2}$ – дополнительный модуль эллиптических функций [11]–[13]. Униформизация (1.4) обусловлена наличием доменной структуры:
$$
\begin{equation}
\varphi_0 (\chi)= \pi - 2 \operatorname{am} (\chi, k), \qquad \chi=\frac{q}{k},
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $\operatorname{am} (\chi, k)$ – эллиптическая амплитуда Якоби [11]–[13]. Доменная структура представляет собой последовательность доменов, разделенных доменными стенками. В $m$-м домене $\varphi_0 \approx 2 \pi m$ ($m$ – целое число). Каждый домен имеет ширину $L_0 = 2Kk$. Домены разделены переходными областями – доменными границами толщиной $l_0 = 2 k K'/\pi$ [5]. Отношение $L_0/l_0 = \pi K/K'$ сильно меняется в зависимости от формы и размеров образца. В массивных образцах $L_0/l_0 \backsim 10^2$. Это означает, что модуль $k'\ll 1$. Асимптотические пределы
$$
\begin{equation}
\frac{L_0}{l_0} \approx \frac{\pi^2}{2} \bigg[\ln \frac{4}{k} \bigg]^{-1}, \quad k \ll 1; \qquad \frac{L_0}{l_0} \approx 2 \ln \frac{4}{k'}, \quad k' \ll 1,
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
показывают, что с уменьшением $k$ размер доменов приближается к толщине границ между ними. Примем отношение $L_0/l_0 \approx 5.5$ за предельное, при котором еще сохраняется доменная структура. Такой величине соответствует близкий к единице параметр $k =0.968 \equiv k_1$ ($K'=1.6$, $K=2.8$). Согласно второй из формул (1.6) с дальнейшим увеличением $k$ (при $k' \to 0$) отношение $L_0/l_0$ монотонно и очень медленно возрастает. Так, при $k=0.9994 \equiv k_2$ имеем $L_0/l_0 \approx 9.5$ ($K' \approx \pi/2$, $K \approx 4.75$). В настоящей работе получены асимптотические формулы, которые описывают нелинейную интерференцию солитонов и волн в периодической структуре (1.5) с произвольными $0<k<1$. Однако хорошо различимая последовательность длинных доменов с узкими границами между ними наблюдается лишь в интервале $k_1 \leqslant k<1$. Решению (1.5) соответствует одномерная решетка из топологических солитонов – $2\pi$-кинков поля $\varphi_0(\chi)$. Движение солитона в решетке из топологических солитонов сопровождается макроскопическими трансляциями доменной структуры. В этом отношении солитоны в доменной структуре напоминают дислокации в кристаллах [14]. Свойства солитонов в доменной структуре в отсутствие спиновых волн подробно изучены в работах [5], [15], [16]. В работах [5], [17] для изучения нелинейной динамики спиральной (полосовой доменной) структуры предложен вариант метода обратного рассеяния c двумя типами граничных условий:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Phi (q,t) \to \varphi_2^{(0)} (\chi) &= \varphi_0 (\chi,k) &\quad &\text{при} \quad q \to +\infty, \\ \Phi (q,t) \to \varphi_1^{(0)} (\chi) &= 2\pi \sigma + \varphi_0 (\chi + \Delta,k)&\quad &\text{при} \quad q \to -\infty, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где $\sigma=\pm 1$, и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Phi (q,t) \to \varphi_2^{(0)} (\chi) &= \varphi_0 (\chi, k) &\quad \text{при} &\quad q \to +\infty, \\ \Phi (q,t) \to \varphi_1^{(0)} (\chi) &= \varphi_0 (\chi + \Delta,k) &\quad \text{при} &\quad q \to -\infty . \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
При $\sigma = 1$ ($\sigma = -1$) полосовая структура испытывает сжатие (растяжение) на период и дополнительное смещение вдоль оси $\chi$ на расстояние $\Delta$, меньшее периода решетки кинков. В результате в одной из ячеек решетки образуется лишний $2\pi$-кинк (антикинк) поля $\Phi$ с тем же (противоположным) топологическим зарядом, что и у остальных кинков структуры. Граничные условия (1.7) ((1.8)) предполагают наличие нечетного (четного) числа кинков и произвольное число бризеров – пульсирующих солитонов, каждый их которых можно трактовать как связанное состояние кинка и антикинка. Параметр $\Delta$ определяет дополнительный сдвиг структуры из-за образования в ней солитонов (кинков и бризеров). Предельным значениям поля $\Phi(q,t)$ соответствуют фундаментальные матричные решения Йоста $\Psi_{1,2}(u,\chi,t)$ системы (1.3), задаваемые асимптотиками
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \Psi_1 (\chi, t, u) \to \Psi_1^{(0)} &= \sigma_3^{(\theta+1)/2} \Psi_\Delta (\chi, t, u) \sigma_3^{(\theta+1)/2} &\quad \text{при} &\quad \chi \to -\infty, \\ \Psi_2 (\chi, t, u) \to \Psi_2^{(0)} &= \Psi_0 (\chi, t, u) &\quad \text{при} &\quad \chi \to +\infty, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
где $\theta=1$ и $\theta=-1$ при краевых условиях (1.7) и (1.8) соответственно. Здесь и далее будем объединять линейно независимые вектор-столбцы решений системы (1.3) в матричные функции размерности $2 \times 2$. Матричная функция $\Psi_\delta (u, \chi, t)$ выражается через сигма- и дзета-функции Вейерштрасса с периодами $[2K, 4iK']$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi_\delta (u,\chi,t)=M (u,\chi + \delta) \exp \biggl( C (u,\chi,t) \sigma_3 + \frac{\eta_1 \delta}{K} u \sigma_3 \biggr),\\ C (u,\chi,t) = i p(u) \chi + \frac{i t}{2 k} \operatorname{dn} (u,k),\\ p(u) = -i \biggl( \frac{\eta_1 u}{K} - \frac{1}{2} [ \zeta (u - i K') + \zeta (u + i K') ]\biggr)=\frac{i}{2} Z(u),\\ \begin{aligned} \, M (u,\chi)&=\\ &\hspace{-1cm} = \begin{pmatrix} \sigma (\chi +u)& i \sigma (\chi + 2iK' -u) e^{- \eta_3 (\chi + i K' - u)} \\ -i \sigma (\chi + 2iK' + u) e^{- \eta_3 (\chi + i K' + u)} & \sigma(\chi -u) \end{pmatrix} \times {} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \times \frac{m(\chi)}{\sigma(u)} e^{-(\eta_1 u/k) \chi \sigma_3}, \end{aligned}\\ m(\chi)= \frac{1}{\sqrt{2}} \biggl| \frac{\sigma (iK')}{\sigma (\chi + iK')} \biggr|, \qquad \det M = \frac{\operatorname{dn} u}{1 - \operatorname{dn} u}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Параметры $\eta_{1,3}$ определяют трансформационные свойства функций Вейерштрасса $\sigma(u)$ и $\zeta(u)$, $Z(u)=Z(u,k)$ – дзета-функция Якоби [11]–[13]. Здесь и далее, если специально не оговорено, все функции Якоби имеют модуль $k$. Ветвь квадратного корня в (1.10) выбрана так, чтобы выполнялось условие
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \sqrt{\sigma (\chi \pm 2K + iK')\sigma (\chi \pm 2K - iK')} = - | \sigma (\chi + iK') | e^{ \pm 2 \eta_1 (\chi \pm K)}, \\ | \sigma (\chi + iK')| = \sqrt{\sigma (\chi + iK') \sigma (\chi - iK')}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В параллелограмме периодов $[2K, 4iK']$ функции Вейерштрасса из особенностей имеются лишь нули и полюсы. Поэтому представление (1.10) хорошо выявляет аналитические свойства $\Psi_\delta(u)$ как функции от $u$. На практике возбуждение солитонов в доменной структуре всегда сопровождается генерированием спин-волновых пакетов. Их наличие не связано со сдвигом структуры, а потому они совместимы с обоими типами краевых условий (1.7), (1.8) [5], [17]. Солитоны, волны и доменная структура в течение длительного времени образуют единую сильно коррелированную систему. Поскольку ядра солитонов не являются жесткими образованиями, нелинейная интерференция солитонов и волн приводит к релаксационным колебаниям солитонов, изменяет их свойства и характер движения. Впервые подобные эффекты были установлены в работах [18]–[21]. В работах [18], [19] показано, что ядра интегральных уравнений метода обратной задачи для моделей Кортевега–де Фриза, синус-Гордон и нелинейного уравнения Шредингера с однородным основным состоянием упрощаются при $t \to \pm \infty$ на интервалах $q= [q_0 +(\nu_0 \pm 0) t,\,+\infty)$. Здесь $q$ – пространственная координата, $t$ – время, $q_0, \nu_0 = \mathrm{const}$. На этих интервалах удалось вычислить асимптотические данные рассеяния для решений исходных моделей, а с их помощью оценить сдвиг фазы и положения, которые приобретает каждый солитон в результате взаимодействия с цугом диспергирующих волн и прочими солитонами. Более подробно строение оптических солитонов и особенности их динамики в поле излучения были исследованы методом одевания в рамках нелинейного уравнения Шредингера [20], [21]. Спектр линейных спиновых волн в полосовой структуре содержит две ветви – бесщелевую и активационную. Начальное возмущение доменов с течением времени трансформируется в два волновых цуга. В приближении, линейном по амплитуде возмущения $|r(u)|$, волновое поле в доменной структуре имеет вид [22]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi(q,t) \approx \varphi_0 (\chi)&+\frac{4}{\pi} \operatorname{Re} \int_{-K'}^{K'} dv\,[\bar{r}(iv)U(iv, \chi) e^{2C(iv, \chi, t)}-{} \nonumber\\ &-\bar{r}(iv-K)U(iv-K, \chi) e^{2C(iv-K, \chi, t)}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
Величина
$$
\begin{equation}
U(u, \chi) \equiv (\operatorname{dn}(u, k)-1)M_{11}(u, \chi)M_{21}(u, \chi)
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
совпадает с периодической частью функции Ламе $\Lambda(u, \chi)$:
$$
\begin{equation}
\Lambda(u, \chi) = U(u, \chi)e^{2ip(u)\chi},\qquad U(u, \chi \pm 2 K)=-U(u, \chi).
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Уравнение Ламе
$$
\begin{equation*}
(\partial_\chi^2 - 2 k^2 \operatorname{sn}^2 (\chi, k)+k^2) \Lambda(u, \chi)=-\operatorname{dn}^2 (u, k) \Lambda(u, \chi)
\end{equation*}
\notag
$$
возникает при линеаризации модели синус-Гордон относительно фоновой структуры $\varphi_0 (\chi)$ [5], [17]. Два слагаемых в правой части (1.11) – это вклады от активационных и бесщелевых мод соответственно. Лоренцева симметрия модели (1.2) выделяет пространственно-временнóй конус $|q/t|<1$, в пределах которого только и могут распространяться волны. Групповая скорость активационных мод достигает предела, который в безразмерных переменных равен единице. Бесщелевые моды движутся медленнее. Их групповая скорость не превышает значения $v_\mathrm{max}= K k'/E$, где $E$ – полный эллиптический интеграл второго рода с модулем $k$. В работе [22] показано, что в пространственно-временнóй области
$$
\begin{equation}
\frac{K k'}{E} < \biggl|\frac{q}{t}\biggr|<1, \qquad t \to + \infty,
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
преобладают активационные волны. На основе асимптотического анализа задачи Римана для доменных структур с параметром $k'\ll 1$ в пренебрежении бесщелевыми модами вычислена асимптотика нелинейного поля активационных мод на больших временах. В магнитных пленках возможны случаи, когда $L_0/l_0 = O(1)$ [7]. Зависимость предельной скорости бесщелевых мод от параметра $k$ (см. ниже рис. 2) показывает, что в пленках есть пространственные интервалы
$$
\begin{equation}
\biggl|\frac{q}{t}\biggr|<\frac{Kk'}{E} <1,\qquad \frac{q}{t}=\mathrm{const}, \qquad t \to + \infty,
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
в которых на больших временах сосуществуют активационные и бесщелевые волны на равных основаниях. Область (1.15) наиболее важна для анализа, так как в ней спин-волновые цуги имеют максимальную амплитуду и вносят основной вклад в наблюдаемые величины. В настоящей работе мы обобщаем результаты работы [22] и, не предполагая малости $k'$, находим поля обоих слабонелинейных волновых цугов в доменной структуре при $t \to + \infty$. Статья построена следующим образом. В разделе 2 приведены основные формулы, необходимые для расчета взаимодействия солитонов и волн в полосовой доменной структуре. В разделе 3 получены асимптотические формулы для поля излучения и матриц задачи Римана на больших временах в пространственной области (1.15) ($q>0$) при наличии цугов активационных и бесщелевых волн в доменной структуре. В разделе 4 найдены волновые поля и матрицы задачи Римана на переднем фронте цуга бесщелевых мод. С помощью этих результатов в разделе 5 построены и проанализированы новые решения модели синус-Гордон, описывающие кинки и бризеры в поле диспергирующих волн полосовой доменной структуры. Показано, что в ходе релаксационных колебаний солитоны стремятся к стационарным состояниям по закону $t^{-1/2}$. Наличие волнового поля ведет к уширению солитонов. Найдены изменения координат, скоростей и частот солитонов в волновом поле доменной структуры. 2. Аналитическое описание солитонов и волн в доменной структуреНам понадобятся ключевые результаты описания нелинейной динамики доменной структуры методом обратной задачи рассеяния [5], [17]. Прежде всего по начальному распределению намагниченности вычисляют спектральные данные вспомогательной линейной системы (1.3). Они регламентируют дальнейшую эволюцию возмущения доменной структуры: дискретный спектр порождает солитоны, непрерывный – спиновые волны [10], [23]. Матричная функция $\Psi_\delta (u,\chi,t)$ (1.10) обладает следующими трансформационными свойствами:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi_\delta (u \pm 2 K) = \sigma_3 \Psi_\delta (u) \sigma_3 e^{\pm 2 \eta_1 \sigma_3 \delta}, \qquad \Psi_\delta^* [ (u \pm 2iK')^* ]=\sigma_1 \Psi_\delta (u) e^{\pm \eta_3 \sigma_3 \delta} g(u), \\ \Psi_\delta^* (-u^*) = - \sigma_2 \Psi_\delta (u) \sigma_2, \qquad \Psi_\delta (\chi \pm 4K, t, u) = \Psi_\delta (\chi,t,u) e^{\pm 4K i p(u) \sigma_3},\\ g(u) \equiv \frac{k\operatorname{sn} u}{1 + \operatorname{dn} u}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Непрерывному спектру задачи рассеяния для системы (1.3) отвечает множество
$$
\begin{equation*}
\Gamma = \{\operatorname{Re} u = 0, K, \,\, |\!\operatorname{Im} u | \leqslant 2 K'\} \quad \mathrm{mod} (2K, 4iK').
\end{equation*}
\notag
$$
На контуре $\Gamma$ фундаментальные решения $\Psi_{1,2}$ (1.9) определены одновременно и потому связаны между собой: Матрица перехода $T(u)$ зависит только от $u$ и обладает следующими свойствами:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, T(u)=\begin{pmatrix} a(u) & - \bar{b}(u) \\ b(u)&\hphantom{-}\bar{a}(u) \end{pmatrix}, \qquad a(u) \bar{a}(u)+b(u) \bar{b}(u)=1; \\ \bar{a}(u)=a^*(-u^*),\qquad \bar{b}(u)=b^*(-u^*); \nonumber \\ T(u \pm 2 K)= \sigma_3 T(u) \sigma_3 e^{\pm 2 \eta_1 \Delta \sigma_3}, \qquad T^*[(u \pm 2iK')^*]= -\theta T(u) e^{\pm \eta_3 \Delta \sigma_3}. \nonumber \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Обозначим $i$-й столбец матрицы $\Psi$ как $\Psi^{(i)}$, $i=1,2$. Согласно [5], [17] функции $\Psi_1^{(1)}(u)$, $\Psi_2^{(2)}(u)$, $a(u)$ аналитически продолжаются с контура $\Gamma$ в область
$$
\begin{equation*}
D_1 = \{-K<\operatorname{Re} u < 0, \,\, |\! \operatorname{Im} u | \leqslant 2 K'\} \quad \mathrm{mod} (2K, 4iK'),
\end{equation*}
\notag
$$
а функции $\Psi_2^{(1)}(u)$, $\Psi_1^{(2)}(u)$, $\bar{a}(u)$ оказываются аналитическими в области
$$
\begin{equation*}
D_2 = \{0<\operatorname{Re} u < K, \,\, |\! \operatorname{Im} u | \leqslant 2 K'\} \quad \mathrm{mod} (2K, 4iK').
\end{equation*}
\notag
$$
Нули функций $a(u)$ и $\bar{a}(u)$ в областях их аналитичности определяют дискретный спектр системы (1.3), который параметризует солитоны в доменной структуре. Далее для определенности считаем все нули простыми. Спектральные плотности $b(u)$ и $\bar{b}(u)$ конкретизируют диспергирующие волны в доменной структуре. Чисто солитонным возбуждениям соответствуют решения задачи Римана с нулями коэффициентов $a(u)$ и $\bar{a}(u)$ в областях $D_1$ и $D_2$, когда $b=\bar{b}\equiv 0$. В этом случае условие унимодулярности матрицы перехода дает $a_\mathrm{sol}(u) \bar{a}_\mathrm{sol}(u) =1$. Индекс “$\mathrm{sol}$” указывает, что рассматриваемые коэффициенты относятся к чисто солитонному сектору. Элементы $a_\mathrm{sol}(u)$ и $\bar{a}_\mathrm{sol}(u)$ являются мероморфными квазипериодическими функциями с периодами [$2 K, 4iK'$]. Их алгебраическая структура полностью определяется [5], [17] редукциями, нулями, полюсами и условием нормировки в особой точке $u=iK'$ вспомогательной линейной системы (1.3):
$$
\begin{equation}
a_{\mathrm{sol}} (u) = c\prod_{p=1}^{M} \varepsilon_p \frac{\sigma(u - \xi_p)}{\sigma(u + \xi_p^*)} e^{-\eta_3 \varepsilon_p \xi_p} \prod_{s=1}^{N} \frac{\sigma (u - \mu_s)\sigma (u - \mu_s^* + 2iK')}{\sigma (u + \mu_s^*) \sigma(u + \mu_s + 2iK')} e^{\eta_3 (\mu_s + \mu_s^*)},
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
$\bar{a}_{\mathrm{sol}}(u)=[a_{\mathrm{sol}} (-u^*)]^*$. Каждый ноль вида
$$
\begin{equation}
u = \xi_p \equiv -\tau_p + i \varepsilon_p K', \qquad 0< \tau_p<K, \qquad \varepsilon_p = \pm 1,
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
параметризует кинк в доменной структуре. При краевых условиях (1.7) число кинков $M$ нечетное, $c = i\sigma$, а в случае граничных условий (1.8) число $M$ четное, $c=1$. Комплекные числа параметризуют бризеры. На число $N$ бризеров нет ограничений. Представление (2.4) приводит к верным трансформационным свойствам функции $a_\mathrm{sol}(u)$ только при условии, что положения ее нулей связаны со сдвигом $\Delta$ доменной структуры:
$$
\begin{equation}
\sum_{p=1}^{M} \tau_p + \sum_{s=1}^{N} (\mu_s + \mu_s^*) = - \frac{\Delta}{2} \qquad \textrm{mod} (2K).
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Здесь нули функции $a(u)$ определены по mod($2K,4iK'$), а сдвиг $\Delta$ – по $\textrm{mod} (4K)$. Поэтому равенство (2.7) будет справедливо по $\textrm{mod} (2K)$. Для построения решений модели синус-Гордон, описывающих взаимодействие солитонов и волн в доменной структуре, удобно вначале рассмотреть более простую задачу описания диспергирующих волн в доменной структуре без солитонов. Волновые цуги не приводят к результирующему сдвигу структуры. Поэтому решения Йоста $F_{1,2}$ вспомогательной системы (1.3) задаются асимптотическими условиями
$$
\begin{equation}
F_{1, 2}(u, \chi, t) \to \Psi_{0}(u, \chi, t), \qquad \chi \to \mp \infty.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Здесь матричные функции $F_{1,2}(u)$ двоякопериодичны по $u$ с периодами [$4K,4iK'$]. На контуре $\Gamma$ они связаны между собой:
$$
\begin{equation}
F_1 (u) = F_2 (u) T_\mathrm{c}(u), \qquad u \in \Gamma.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Новая матрица перехода
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, T_\mathrm{c}(u)=\begin{pmatrix} a_\mathrm{c}(u) & - \bar{b} (u) \\ b(u)&\bar{a}_\mathrm{c}(u) \end{pmatrix}, \qquad \bar{b} (u) = b^*(-u^*),\qquad \bar{a}_\mathrm{c} (u) = a_\mathrm{c}^*(-u^*), \\ a_\mathrm{c}(u)\bar{a}_\mathrm{c}(u) + b(u)\bar{b}(u)=1,\qquad a_\mathrm{c}(u \pm 2 K)= a_\mathrm{c}(u), \qquad a_\mathrm{c}^*[(u \pm 2\,iK')^*]= a_\mathrm{c}(u), \\ b(u \pm 2 K)= -b(u), \qquad b^*[(u \pm 2\,iK')^*]= b(u), \qquad u \in \Gamma, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
получается из прежней после выделения из коэффициентов $a(u)$ и $\bar{a}(u)$ их солитонных частей:
$$
\begin{equation*}
a(u) = a_\mathrm{sol}(u) a_\mathrm{c}(u),\qquad \bar{a}(u) = \bar{a}_\mathrm{sol}(u) \bar{a}_\mathrm{c}(u).
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $a_\mathrm{c}(u)$ и $\bar{a}_\mathrm{c}(u)$ являются двоякопериодическими без нулей в областях своей аналитичности $D_1$ и $D_2$. С помощью задачи Римана (2.9) формулы для поля излучения можно строить локально в окрестности каждой точки пространства и времени. Далее для определенности рассмотрим область (1.14), в которой координата $q>0$. Выделим из фундаментальных решений $F_{1,2}(\chi, t, u)$ множитель $\Psi_0 (\chi,t, u)$, содержащий существенные особенности по $u$, и введем новые функции $E_1 (u)$ и $E_2 (u)$, аналитические в областях $D_1$ и $D_2$ соответственно:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & E_1 (u) = ( F_1^{(1)}(u), F_2^{(2)}(u)) \begin{pmatrix} a_\mathrm{c}^{-1}(u)& 0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \Psi_0^{-1}(u), \\ & E_2 (u) = ( F_2^{(1)}(u), F_1^{(2)}(u) ) \begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0&a_\mathrm{c}^{-1}(u) \end{pmatrix} \Psi_0^{-1}(u), \qquad \det E_{1,2}(u)=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Проблема интегрирования вспомогательных уравнений (1.3) и модели синус-Гордон (1.2) сводится к решению регулярной задачи Римана на торе, которая формулируется следующим образом [5], [17]. Необходимо найти аналитические в областях $D_1$ и $D_2$ двоякопериодические (с периодами [$4K, 4iK'$]) функции $E_1 (u)$ и $E_2 (u)$, которые удовлетворяют условию сопряжения на контуре $\Gamma$:
$$
\begin{equation}
E_2 (u) = E_1 (u)\,G(u), \qquad G(u)= \Psi_0 (u) \begin{pmatrix} 1 & -\bar{r} (u) \\ -r(u)&\hphantom{-}n(u) \end{pmatrix} \Psi_0^{-1} (u), \qquad u \in \Gamma,
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $n(u)=1+ r(u)\bar{r}(u)$, коэффициенты отражения $r(u)=b(u)/a_\mathrm{c}(u)$ и $\bar{r}(u)=\bar{b}(u)/\bar{a}_\mathrm{c}(u)$ обладают свойствами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &1+r(u) \bar{r} (u) = [a_\mathrm{c}(u) \bar{a}_\mathrm{c}(u)]^{-1},\qquad \bar{r} (u)=r^*(-u^*),\quad r(u=\pm i K')=0,\\ &r (u \pm 2K) = -r(u), \qquad r^* [(u \pm 2i K')^*] = r(u),\\ &\bar{r} (u \pm 2K) = -\bar{r}(u), \qquad \bar{r}^* [(u \pm 2i K')^*] = \bar{r}(u), \qquad u \in \Gamma. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Кроме того, матричные функции $E_1(u)$ и $E_2(u)$ должны удовлетворять редукциям
$$
\begin{equation}
E_{1,2} (u \pm 2K) = \sigma_3 E_{1,2} (u) \sigma_3, \qquad E_{1,2}^* [(u \pm 2i K')^*] = \sigma_1 E_{1,2}(u) \sigma_1,
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
ограничению
$$
\begin{equation}
E_{1} (u) = \sigma_2 E_{2}^* (-u^*) \sigma_2, \qquad u \in \Gamma,
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
и в особых точках $u=\pm i K'$ системы (1.3) принимать значения
$$
\begin{equation}
E_{1,2}(-i K') = e^{-(i/4)(\Phi - \varphi_0) \sigma_3},\qquad E_{1,2}(i K') = e^{(i/4)(\Phi - \varphi_0) \sigma_3}.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Условие сопряжения аналитических функций (2.10) является иной формой записи связи (2.2) решений Йоста на контуре $\Gamma$. Свойства симметрии (2.11)–(2.13) матриц задачи Римана и их асимптотические значения (2.14) следуют из аналитических свойств и значений для функций Йоста. Соотношения (2.14) используются для доопределения матриц задачи Римана и вычисления волнового поля в доменной структуре модели синус-Гордон [5], [17]. При наличии непрерывного спектра явное решение регулярной задачи Римана невозможно. Однако в наиболее интересной пространственно-временнóй области (1.15) удается найти асимптотические решения уравнения (1.2) и вспомогательной системы (1.3) на больших временах. Остановимся на этом подробнее. 3. Асимптотическое решение задачи РиманаПостроение “затравочного” волнового поля в доменной структуре сводится к решению задачи Римана, матрица сопряжения которой при $t \to +\infty$ быстро осциллирует на множестве непрерывного спектра вспомогательной линейной системы всюду, за исключением окрестностей точек стационарной фазы. Систематический подход асимптотического исследования осциллирующих задач Римана предложен в работах [24]–[26]. Его основная идея состоит в следующем. Посредством подходящих треугольных факторизаций матрицы сопряжения исходную задачу Римана локализуют вблизи точек стационарной фазы. Вводятся новые аналитические функции и разделяющий их контур. На новом контуре спектральные коэффициенты модельной задачи кусочно-постоянны, а матрица сопряжения экспоненциально стремится к единичной при удалении от точек стационарной фазы. В конечном счете решение упрощенной задачи Римана выражается через специальные функции. С помощью этой техники, получившей название метода наискорейшего нелинейного спуска, установлены многие важные результаты для интегрируемых нелинейных уравнений и моделей статистической механики [25]–[31]. Применим ее к нашей задаче. В формулировке задачи Римана (2.10) матрица $G(u)$ имеет следующую алгебраическую структуру:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G(u, \chi, t) &= M(u, \chi, t)G_0(u, \chi, t)\,M^{-1}(u, \chi, t),\\ G_0 (u, \chi, t) &= \begin{pmatrix} 1 & -\bar{r} (u)\,e^{2C(u, \chi, t)} \\ -r(u)e^{-2C(u, \chi, t)} & n(u) \end{pmatrix}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где $n(u)=1+ r(u)\bar{r} (u)$. Матричная функция $M$ периодична по $\chi$ с периодом $4K$, а функция $C(u, \chi, t)$ линейна по $\chi$, $t$ (см. формулы (1.10)). Обе функции мероморфны по параметру $u$. В пределе (1.15) множители $e^{\pm 2C}$ быстро осциллируют на контуре $\Gamma$ всюду, за исключением окрестностей точек стационарной фазы. Точками стационарной фазы будут корни уравнения $\partial_u C(u, \chi, t)=0$. В параллелограмме периодов со сторонами [$4K, 4iK'$] контур $\Gamma$ состоит из отрезков $\gamma_s$ и $\tilde{\gamma}_s$, разделяющих области $D_1^{(s)}$ и $D_2^{(s)}$, $s=1,2$ (см. рис. 1). Коэффициенты отражения $r(u)$ и $\bar{r}(u)$, заданные на линиях $\gamma_1 \cup \tilde{\gamma}_1$ и $\gamma_2 \cup \tilde{\gamma}_2$, параметризуют активационные и бесщелевые волновые моды доменной структуры соответственно. На отрезке $\gamma_1 = \{u = iv, -2 K'< v< 2 K'\}$ при $q>0$, $t \to +\infty$ параметры $v$ в точках стационарной фазы определяются уравнением [22]
$$
\begin{equation}
0<\frac{q}{t} = \frac{k^2\operatorname{sn}(v, k')}{\beta+ \alpha\operatorname{sn}^2 (v, k')} <1,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $\alpha = E/K - k'^2>0$, $\beta = 1-E/K>0$, $E=E(k)$ – полный эллиптический интеграл второго рода [12], [13]. На всем интервале $1>k>0$ справедливо неравенство $\beta>\alpha > k' \beta$. Из (3.2) находим две точки стационарной фазы $u_{A,B} \equiv iv_{A,B}$, которые связаны между собой: $v_B=2 K'-v_A$, $0<v_A<K'$. На отрезке $\gamma_2 = \{u = iv-K, -2 K'< v< 2 K'\}$ параметры $v$ в точках стационарной фазы совпадают с корнями уравнения
$$
\begin{equation}
0<\frac{q}{t} = \frac{k'k^2\operatorname{sn}(v, k')}{\alpha+ \beta k'^2 \operatorname{sn}^2 (v, k')} <1 .
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
В отличие от (3.2), уравнение (3.3) имеет решения не всегда, а только при условии где $v_\mathrm{max}$ – предельная групповая скорость бесщелевых мод в доменной структуре (см. рис. 2). В этом разделе мы получим асимптотические формулы для волнового поля в доменной структуре в области, где справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
0<\frac{q}{t} < \frac{K k'}{E}<1, \qquad \frac{q}{t}=O(1), \qquad t \to +\infty.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
В этом случае уравнение (3.3) на отрезке $\gamma_2$ имеет две точки стационарной фазы: $u_{M,L} \equiv iv_{M,L}-K$, где $v_L=2 K'-v_M$, $0<v_M<K'$ (см. рис. 1). Вследствие свойств симметрии (2.12) на линиях
$$
\begin{equation*}
\tilde{\gamma}_1 = \{u = iv+2 K, -2 K'< v< 2 K'\} \quad \text{и}\quad \tilde{\gamma}_2 = \{u = iv+K, -2 K'< v< 2 K'\}
\end{equation*}
\notag
$$
точками стационарной фазы будут точки $u_{\widetilde{A},\widetilde{B}} \equiv u_{A,B}+ 2 K$ и $u_{\widetilde{M},\widetilde{L}} \equiv u_{M,L}+ 2 K$. Множители $e^{\pm C(u)}$ аналитически продолжаются с контура $\Gamma$ и остаются ограниченными только в определенных областях фундаментального прямоугольника. А именно, если $0<k<1$, $q>0$, то функция $e^C(u)$ ($e^{-C(u)}$) ограничена в заштрихованных (незаштрихованных) областях на рис. 1. Линии $\operatorname{Re} C(u) = 0$ в точках пересечения с отрезками $\Gamma$ имеют локальные экстремумы. Для приближенного решения задачи Римана (2.10) сведем ее к эффективной задаче Римана с новым контуром $\Sigma$ [22]. В окрестности любой из точек стационарной фазы контур $\Sigma$ представляет собой объединение двух линий наискорейшего спуска для множителей $e^{\pm C(u)}$. В точке пересечения линии ортогональны и образуют в плоскости спектрального параметра $u$ “крест”, повернутый на угол $\pi/4$ относительно мнимой оси $u$ (см. рис. 3). Для конкретизации преобразования зададим обход первоначальных отрезков $\Gamma=\gamma_1 \cup \tilde{\gamma}_1 \cup \gamma_2 \cup \tilde{\gamma}_2$ так, чтобы области $D_1^{(s)}$ оставались слева от них (рис. 1). Далее знак “$+$” (“$-$”) всегда приписывается области, которая располагается слева (справа) от ориентированной линии. Ключевую роль в упрощении задачи Римана играет функция $\kappa(u)$, имеющая на линиях $\Gamma$ скачок $n(u)=1+r(u) \bar{r}(u)$:
$$
\begin{equation*}
\kappa_{+}(u)=n(u)\kappa_{-}(u), \qquad u \in [u_A, u_B], [u_L, u_M], [u_{\widetilde{A}}, u_{\widetilde{B}}], [u_{\widetilde{L}}, u_{\widetilde{M}}],
\end{equation*}
\notag
$$
и аналитическая в параллелограмме со сторонами [$4K, 4iK'$] на остальных участках контура $\Gamma$ и вне контура. Пользуясь формулами Сохоцкого–Племеля [32], можно записать $\kappa(u)$ в виде где $S(u',u)=\zeta(u'-u)-\zeta(u'-i K')$, периоды дзета-функций Вейерштрасса [$2K, 4iK'$],
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J_1 = \frac{1}{2 \pi i} \int_{u_A}^{u_B} du'\,\ln n(u') S(u', u),\qquad J_2 = \frac{1}{2 \pi i} \int_{u_L}^{u_M} du'\,\ln n(u') S(u', u),\nonumber\\ \Delta_0 = \frac{1}{2 \pi i}\biggl(\,\int_{u_A}^{u_B}+\int_{u_L}^{u_M}\biggr)du'\,\ln n(u'), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
и интегрирование производится вдоль линий $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Условия симметрии коэффициентов отражения (2.11) приводят к полезным соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J_1 = -2 \pi \int_{v_A}^{K'} dv\,\ln n(iv)[\zeta(iv-u)+\zeta(2i K'-iv-u)],\\ J_2=-2 \pi \int_{K'}^{v_M}d v \ln n(iv-K)[\zeta(iv-u-K)+\zeta(2i K'-iv-K-u)+2 \eta_1], \\ \ln n(iv)=\ln (1+|r(iv)|^2)>0, \qquad \ln n(iv-K)=\ln (1-|r(iv-K)|^2)<0,\\ \Delta_0 = \frac{1}{\pi} \biggl(\,\int_{v_A}^{K'}dv\,\ln n(iv)+\int_{K'}^{v_M}dv\,\ln n(iv-K)\biggr), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
позволяющим установить свойства функции $\kappa(u)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \kappa^* [(u \pm 2 i K')^*]=\kappa(u) e^{\mp \eta_3 \Delta_0},\qquad \kappa(u \pm 2 K)=\kappa(u) e^{\mp 2\eta_1 \Delta_0},\\ \kappa^*(-u^*)=\kappa^{-1}(u), \qquad \kappa(u=\pm i K')=e^{\mp \eta_3 \Delta_0/2}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
В пределе $q \to +\infty$ ($q/t<1$) точки $v_A, v_M$ стремятся к $K'$. Поэтому медленно меняющийся в пространстве и времени параметр $\Delta_0$ стремится к нулю. Отсюда заключаем, что квазипериодическая функция $\Psi_{\Delta_0}(u, \chi, t)$ в пределе $q \to +\infty$ становится двоякопериодической и совпадает с функцией $\Psi_{0}(u, \chi, t)$, которая задает асимптотические условия для решений Йоста (2.8). Более того, согласно (2.1), (3.9) функция
$$
\begin{equation}
\widetilde{\Psi}(u,\chi,t) \equiv \Psi_{\Delta_0}(u, \chi , t) \operatorname{diag}(\kappa(u), \kappa^{-1}(u))
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
обладает теми же трансформационными свойствами, что и $\Psi_0 (u, \chi, t)$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} \widetilde{\Psi} (u \pm 2 K) &= \sigma_3 \widetilde{\Psi} (u) \sigma_3, &\qquad \widetilde{\Psi}^* [(u \pm 2 i K')^*]&=\sigma_1 \widetilde{\Psi} (u)g(u), \\ \widetilde{\Psi}^* (-u^*) &= - \sigma_2 \widetilde{\Psi} (u) \sigma_2, &\qquad \widetilde{\Psi} (\chi \pm 4K, t, u) &= \widetilde{\Psi} (\chi, t, u) e^{\pm 4K i p(u) \sigma_3}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
и удовлетворяет нормировочным соотношениям
$$
\begin{equation}
\Psi_0 (u) \widetilde{\Psi}^{-1}(u)|_{u=\pm i K'} = \exp \biggl[\pm\frac{i\sigma_3}{4} (\varphi_0-\varphi_{\Delta_0}) \biggr],\qquad \det \widetilde{\Psi}(u)=\frac{\operatorname{dn}u}{1-\operatorname{dn}u},
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
где $\varphi_\delta (\chi)= \pi - 2 \operatorname{am} (\chi+\delta, k)$, а решение $\Psi_{\Delta_0+\delta} (u, \chi, t) \operatorname{diag}(\kappa(u), \kappa^{-1}(u))$ удовлетворяет редукциям (2.1). На рис. 3 линии $\Sigma_A^{(s)}$, $s=1,2,3,4$, нового контура $\Sigma$ и отрезок $\gamma_1$ прежнего контура разбивают окрестность точки $u=u_A$ на шесть секторов $\omega_A^{(p)}$, $p=1,2,\dots,6$. Похожие обозначения введем вблизи всех точек стационарной фазы в фундаментальном прямоугольнике со сторонами [$4K, 4iK'$]. Тогда нижний индекс $A, B, L, M,\dots$ у линий и секторов будет конкретизировать точку стационарной фазы. Сходными буквами латинского алфавита, например $A$ и $\widetilde{A}$, $B$ и $\widetilde{B}$ и т. п., обозначим “кресты”, сдвинутые на $2K$ вдоль вещественной $u$-оси. Верхние индексы на рис. 3 выбраны так, чтобы линии (секторы) с одинаковыми номерами $s$ ($p$) были связаны преобразованиями симметрии. Чтобы не загромождать рис. 3, мы изображаем на нем только основные секторы и линии активационных и бесщелевых мод. Если для соседних “крестов” нижние индексы линий и секторов совпадают, то на рисунке они не указаны. Индексы других линий и секторов нетрудно получить из приведенных на рисунке трансляциями на $\pm 2K$ вдоль вещественной $u$-оси. Введем обозначения
$$
\begin{equation*}
A(r) \equiv \begin{pmatrix} 1 & r \\ 0&1 \end{pmatrix}, \qquad B(r) \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ r&1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
для верхне- и нижнетреугольных матриц. Обобщая построения работы [25], с помощью функции $\kappa(u)$ факторизуем матрицу перехода $T(u)$ в произведение треугольных матриц и перейдем от задачи Римана (2.10) с контуром $\Gamma$ к новой задаче Римана относительно кусочно-аналитической функции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu(u)&= \begin{cases} N \widetilde{\Psi} A(\bar{r}) \widetilde{\Psi}^{-1}, & u \subset \omega^{(1)},\\ N \widetilde{\Psi} B(r n^{-1}) \widetilde{\Psi}^{-1}, & u \subset \omega^{(3)},\\ N \widetilde{\Psi} A(-\bar{r} n^{-1}) \widetilde{\Psi}^{-1}, & u \subset \omega^{(4)}, \\ N \widetilde{\Psi} B(-\bar{r}) \widetilde{\Psi}^{-1}, & u \subset \omega^{(6)},\\ N, & u \subset \omega^{(2)} \cup \omega^{(5)}, \end{cases} \\ n(u)&=1+r(u) \bar{r}(u), \qquad N=e^{(i\sigma_3/4) (\Phi -\varphi_{\Delta_0})} E(u) \Psi_0 (u) \widetilde{\Psi}^{-1}(u), \nonumber \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
имеющей скачки только на линиях $\Sigma$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu_{-}(u)&=\mu_{+}(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_{+} W(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_{-}^{-1}, \qquad u \subset \Sigma, \\ W(u)&= \begin{cases} A(\bar{r}), & u \subset \Sigma^{(1)},\\ B(rn^{-1}), & u \subset \Sigma^{(2)},\\ A(\bar{r}n^{-1}), & u \subset \Sigma^{(3)}, \\ B(r), & u \subset \Sigma^{(4)}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Согласно формулам (2.11)–(2.14), (3.11)–(3.13) матрицы новой задачи Римана удовлетворяют прежним редукциям
$$
\begin{equation}
\mu (u \pm 2K) = \sigma_3 \mu (u) \sigma_3, \qquad \mu^* [(u \pm 2i K')^*] = \sigma_1 \mu(u) \sigma_1
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
и принимают новые значения в выделенных точках:
$$
\begin{equation}
\mu(-i K') =I, \qquad \mu(i K') = e^{(i/2)(\Phi - \varphi_{\Delta_0}) \sigma_3}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Первое из условий (3.16) делает однозначным построение матриц задачи Римана (3.14). После того как они найдены, второе из равенств (3.16) восстанавливает решение $\Phi(q, t)$ существенно нелинейного уравнения синус-Гордон (1.2) для волн в доменной структуре. Модифицированная задача Римана (3.14) замечательна тем, что на контуре $\Sigma$ в пределе (3.5) матрица сопряжения $\widetilde{\Psi}_{+}(u) W(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_-^{-1}$ экспоненциально стремится к единичной при удалении от центров “крестов” $\Sigma_S$, где $S=A,B,L,M,\widetilde{A},\widetilde{B},\widetilde{L},\widetilde{M}$. Не будет большой ошибкой, если на лучах $\Sigma_S$ спектральные плотности $r(u)$ и $\bar{r}(u)$ заменить их значениями $r_S$ и $\bar{r}_S$ в точках стационарной фазы $u=u_S$. Тогда матрица $W(u)$ (3.14) станет кусочно-постоянной. В работе [25] для модифицированной модели Кортевега–де Фриза переход от первоначальных коэффициентов отражения к их кусочно-постоянной аппроксимации обоснован посредством тщательных оценок. По той же причине на линиях каждого “креста” $\Sigma_S$ функцию $\widetilde{\Psi}(u)$ можно заменить ее разложением вблизи точки $u=u_S$. В результате приближенное решение задачи Римана (3.14) на контуре $\Sigma$ будет объединением более простых задач Римана на лучах $\Sigma_S$. Для расчета значений $\mu(u) \equiv \mu_A (u)$ в секторах “креста” $\Sigma_A$ введем локальный параметр $\lambda$: $u=u_A - i \lambda/\sqrt{t \gamma_A}$, где
$$
\begin{equation*}
2i \partial_u^2 C(u_A)= t\gamma_A, \qquad \gamma_A=\frac{k\operatorname{dn}(v_A, k')(\beta-\alpha \operatorname{sn}^2 (v_A, k'))}{\operatorname{cn}(v_A, k')(\beta+\alpha \operatorname{sn}^2 (v_A, k'))}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $2 \pi \nu \equiv \ln n(u_A) >0$. Нам понадобится функция $\lambda^{i\nu}$, определенная в $\lambda$-плоскости с разрезом вдоль луча $\mathbb{R}_{-}=(-\infty, 0]$, и матрица $\varepsilon(\lambda) \equiv e^{i\lambda^2 \sigma_3/4}$. Заменим выражения $\Psi_{\Delta_0}(u)$ и $\kappa(u)$ их асимптотическими разложениями вблизи точки $u_A =iv_A$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi_{\Delta_0}(\lambda) \approx M(u_A, \chi+\Delta_0)\varepsilon(\lambda) e^{\sigma_3 C(u_A, \chi, t)+\eta_1 \Delta_0 iv_A/K},\\ \kappa(\lambda) \approx \lambda^{i\nu} e^{ih} e^{\eta_3 \Delta_0/2}, \qquad \varepsilon(\lambda) \equiv e^{i\lambda^2 \sigma_3/4}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
2ih \equiv -i\nu\ln (\gamma_At|\sigma(u_B-u_A)|^2)+I_1+I_2
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
и $\sigma(u_B-u_A)$ – сигма-функция Вейерштрасса с периодами [$2K, 4iK'$],
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, I_1 &= \frac{1}{\pi}\int_{v_A}^{K'}dv\,[\zeta(iv-iv_A)+\zeta(-iv+iv_B)]\ln \frac{n(iv)}{n(u_A)}, \\ I_2 &=\frac{1}{\pi}\int_{K'}^{v_M}dv\,[\zeta(iv-iv_A-K)+\zeta(-iv+iv_B-K)+2 \eta_1]\ln n(iv-K). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Величины $h$, $\Delta_0$, $\eta_1$ вещественны, $C(u_A, \chi, t)$, $\eta_3$ чисто мнимые. Выражение для функции $\kappa(\lambda)$ (3.17) получено интегрированием по частям представления (3.6) с использованием формул (3.8) и равенства $n(u_A)=n(u_B)$. Особая точка $u=iK'$ не препятствует интегрированию, так как $r(iK')=0$, а потому $\ln n(iK')=0$. Вычисление матриц $\mu_A(u)$ вблизи точки $u=u_A$ на больших временах (при $|u-u_A|=|\lambda|/\sqrt{t\gamma_A}\ll 1$) равносильно решению модельной задачи Римана в комплексной $\lambda$-плоскости. Соответствующие прежним линии и секторы приведены на рис. 4. В окрестности точки $u=u_A$ необходимо построить функции $\mu_A (\lambda) \Psi_A$, аналитические в секторах $\omega_A^{(p)}$ с условиями сопряжения на лучах $\Sigma_A$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {} [\mu_A (\lambda) \Psi_A]_{-}=[\mu_A (\lambda) \Psi_A]_{+} [\lambda^{i\nu\sigma_3} \varepsilon(\lambda)]_{+} W(u_A)[\lambda^{-i\nu\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda)]_{-},\qquad \lambda \subset \Sigma_A, \\ \Psi_{A} = M(u_A, \chi+\Delta_0)e^{i h\sigma_3}\exp \biggl[i\sigma_3 \biggl(C(u_A, \chi, t)+\frac{\eta_1 \Delta_0}{K}iv_A-\frac{\eta_3 \Delta_0}{2}\biggr)\biggr]. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
 Рис. 4.Лучи $\Sigma_B$ ($\Sigma_A$) и секторы $\omega^{(p)}_B$ ($\omega^{(p)}_A$) кусочно-аналитической функции $\mu_B (\lambda)$ ($\mu_A (\lambda)$) в плоскости параметра $\lambda$ изображены на рис. 4а (рис. 4б). Жирные линии – разрезы $\mathbb{R}_{+}$ и $\mathbb{R}_{-}$. Задачу Римана (3.19) на лучах $\Sigma_A$ нетрудно преобразовать в задачу Римана с контуром вдоль вещественной оси $\mathbb{R}$ [22], [25]. Это достигается с помощью кусочно-аналитической функции
$$
\begin{equation*}
\varphi^A (\lambda)= \begin{cases} \varepsilon(\lambda) A [\bar{r}_A] \lambda^{-i\nu\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(1)}_A, \\ \varepsilon(\lambda) B[r_A n_A^{-1}] \lambda^{-i\nu\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(3)}_A, \\ \varepsilon(\lambda) A[-\bar{r}_A n_A^{-1}]\lambda^{-i\nu\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(4)}_A, \\ \varepsilon(\lambda) B[-r_A] \lambda^{-i\nu\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(6)}_A, \\ \varepsilon(\lambda) \lambda^{-i\nu\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(2)}_A \cup \omega^{(5)}_A, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
которая устраняет скачки на линиях $\Sigma_A$:
$$
\begin{equation*}
\varphi_{+}^A [\lambda^{i\nu\sigma_3} \varepsilon(\lambda)]_{+} W(u_A)[\lambda^{-i\nu\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda)]_{-}(\varphi_{-}^A)^{-1}=I, \qquad \lambda \subset \Sigma_A .
\end{equation*}
\notag
$$
В то же время предельные значения $\varphi_{\pm}^A$ на оси $\mathbb{R}$ связаны соотношением
$$
\begin{equation*}
\varphi_{+}^A (\varphi_{-}^A)^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -\bar{r}_A \\ -r_A&1+r_A \bar{r}_A \end{pmatrix},\qquad -\infty<\lambda<\infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bar{r}_A \equiv r_A^*$ и обход оси $\mathbb{R}$ осуществляется против направления оси $\operatorname{Re} \lambda$ (см. рис. 4). Отсюда следует, что калибровочное преобразование
$$
\begin{equation*}
\mu_A (\lambda) \Psi_A=H^A (\lambda) \varphi^A (\lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
приводит задачу сопряжения аналитических функций на лучах $\Sigma_A$ (3.19) к эквивалентной задаче:
$$
\begin{equation}
H_{-}^A=H_{+}^A \varepsilon(\lambda) \begin{pmatrix} 1 & -\bar{r}_A \\ -r_A&1+r_A \bar{r}_A \end{pmatrix} \varepsilon^{-1}(\lambda),\qquad \lambda \subset \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Модельную задачу Римана (3.20) доопределим условием [22]
$$
\begin{equation*}
H^A (\lambda) \to \Psi_A\lambda^{i\nu \sigma_3} \qquad \text{при}\qquad \lambda \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда искомое решение имеет вид
$$
\begin{equation*}
H^A (\lambda) = \Psi_AX^A (\lambda) \varepsilon^{-1}(\lambda).
\end{equation*}
\notag
$$
Матрица $X^A (\lambda)$ выражается через функции параболического цилиндра [25]. В области $\operatorname{Im}\lambda>0$ ее компоненты суть
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \begin{pmatrix} X_{11}^A \\ X_{21}^A \end{pmatrix}& = e^{-\pi \nu/4} \begin{pmatrix} D_{i\nu}(\xi) \\ -i\beta_{A} e^{-\pi i/4}D_{i\nu -1}(\xi) \end{pmatrix},&\qquad &\xi = \lambda e^{-\pi i/4},\qquad \\ \begin{pmatrix} X_{12}^A \\ X_{22}^A \end{pmatrix} &= e^{3 \pi\nu/4} \begin{pmatrix} -\dfrac{i\nu}{\beta_{A}} e^{-3\pi i/4}D_{-i\nu -1}(\tilde{\xi})\\ D_{-i\nu}(\tilde{\xi}) \end{pmatrix},&\qquad &\tilde{\xi} = \lambda e^{-3\pi i/4}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В нижней полуплоскости имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \begin{pmatrix} X_{11}^A \\ X_{21}^A \end{pmatrix} & = e^{3\pi\nu/4} \begin{pmatrix} D_{i\nu}(\eta) \\ -i\beta_{A} e^{3\pi i/4} D_{i\nu -1}(\eta) \end{pmatrix},&\qquad &\eta = \lambda e^{3\pi i/4}, \\ \begin{pmatrix} X_{12}^A \\ X_{22}^A \end{pmatrix} & = e^{-\pi\nu/4} \begin{pmatrix} -\dfrac{i\nu}{\beta_{A}} e^{\pi i/4}D_{-i\nu -1}(\tilde{\eta})\\ D_{-i\nu}(\tilde{\eta}) \end{pmatrix},&\qquad &\tilde{\eta} = \lambda e^{\pi i/4}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Параметры $\nu$ и $\beta_A$ выражаются через значение $r_A$ коэффициента отражения:
$$
\begin{equation*}
\beta_{A} = \frac{\Gamma(1-i\nu)}{\sqrt{2\pi}} e^{-\pi i/4-\pi\nu/2} r_A, \qquad \nu =\frac{\ln n_A}{2 \pi}= \frac{1}{2 \pi}\ln[1+|r_A|^2]>0 .
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя результаты, получаем соотношение
$$
\begin{equation}
\mu_A (\lambda) \Psi_A = \Psi_A\, X^A (\lambda) \varepsilon^{-1}(\lambda) \varphi^A (\lambda),
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
которое позволяет перенести множитель $\Psi_A$ справа налево в произведении некоммутирующих матриц. Для остальных точек стационарной фазы $S =\widetilde{A}, B, \widetilde{B}$, ассоциированных с ветвью активационных мод, вычисления функций $\mu_{S}(\lambda)$ в секторах “крестов” $\Sigma_S$ производятся по той же схеме. Локальные параметры $\lambda$ около точек стационарной фазы $u=u_S$ вводятся единообразно: Свойства симметрии функций $r(u)$, $\kappa(u)$, $\widetilde{\Psi}(u)$, $\mu(u)$ (2.11), (3.9), (3.11), (3.15) приводят к связям
$$
\begin{equation}
\mu_B (\lambda) \Psi_B = \sigma_1 \mu_A^*(-\lambda^*) \Psi_A^* g(u_A^*),\qquad \mu_{\widetilde{A}, \widetilde{B}} (\lambda) \Psi_{\widetilde{A}, \widetilde{B}} = \sigma_3 \mu_{A, B}(\lambda) \Psi_{A, B} \sigma_3.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Определение функции $g(u)$ такое же, как в (2.1). Для бесщелевой моды вблизи точек стационарной фазы $G = M, L ,\widetilde{M}, \widetilde{L}$ локальный параметр $\lambda$ определяется иначе: где
$$
\begin{equation*}
2 i \partial_u^2 C(u_M)= -t\gamma_M, \qquad \gamma_M=\frac{k' k\operatorname{cn}(v_M, k')[\alpha-\beta(k')^2 \operatorname{sn}^2 (v_M, k')]}{\operatorname{dn}(v_M, k')[\alpha+\beta (k')^2 \operatorname{sn}^2 (v_M, k')]}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
Напомним, что при $1>k>0$ справедливо неравенство $\beta>\alpha>\beta (k')^2$. Линии и секторы в плоскости $\lambda$ около точек $M$ и $L$ приведены на рис. 5. Условия сопряжения аналитических функций $\mu_M (\lambda)$ на лучах $\Sigma_M$ имеют вид
$$
\begin{equation}
[\mu_M (\lambda) \Psi_M]_{-}=[\mu_M (\lambda) \Psi_M]_{+}[(-\lambda)^{i\tilde{\nu}\sigma_3} \varepsilon^{-1}(\lambda)]_{+} W(u_M)[(-\lambda)^{-i\tilde{\nu}\sigma_3} \varepsilon(\lambda)]_{-} ,\qquad \lambda \subset \Sigma_M,
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
где функция $(-\lambda)^{i\tilde{\nu}}$ определена в плоскости $\lambda$ с разрезом вдоль луча $\mathbb{R}_{+}=[0, +\infty)$,
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi_{M} = M(u_M, \chi+\Delta_0)e^{i \tilde{h} \sigma_3}\exp \biggl[i\sigma_3 \biggl(C(u_M, \chi, t)+\frac{\eta_1 \Delta_0}{K}iv_M-\frac{\eta_3 \Delta_0}{2}\biggr)\biggr], \\ 2 \pi \tilde{\nu} =-\ln n(u_M) =-\ln(1-|r(iv_M-K)|^2)>0,\\ 2i\tilde{h} = -i\tilde{\nu}\ln (\gamma_Mt|\sigma(u_L-u_M)|^2)+\widetilde{J}_1+\widetilde{J}_2,\\ \begin{aligned} \, \widetilde{J}_1 &=\frac{1}{\pi}\int_{K'}^{v_M} dv\,[\zeta(iv-iv_M)+\zeta(-iv+iv_L)]\ln \frac{n(iv-K)}{n(u_M)}, \\ \widetilde{J}_2 &=\frac{1}{\pi}\int_{v_A}^{K'} dv\,[\zeta(iv-iv_M+K)+\zeta(-iv+iv_L+K)-2 \eta_1]\ln n(iv). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Калибровочное преобразование
$$
\begin{equation*}
\mu_M (\lambda) \Psi_M=H^M (\lambda) \varphi^M (\lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
с функцией
$$
\begin{equation*}
\varphi^M (\lambda)= \begin{cases} \varepsilon^{-1}(\lambda) A [\bar{r}_M] (-\lambda)^{-i\tilde{\nu}\sigma_3} \varepsilon(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(1)}_M, \\ \varepsilon^{-1}(\lambda) B[r_M n_M^{-1}] (-\lambda)^{-i\tilde{\nu}\sigma_3} \varepsilon(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(3)}_M, \\ \varepsilon^{-1}(\lambda) A[-\bar{r}_M n_M^{-1}] (-\lambda)^{-i\tilde{\nu}\sigma_3} \varepsilon(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(4)}_M, \\ \varepsilon^{-1}(\lambda) B[-r_M] (-\lambda)^{-i\tilde{\nu}\sigma_3} \varepsilon(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(6)}_M, \\ \varepsilon^{-1}(\lambda)(-\lambda)^{-i\tilde{\nu}\sigma_3} \varepsilon(\lambda), & \lambda \subset \omega^{(2)}_M \cup \omega^{(5)}_M, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
сводит задачу (3.25) на лучах $\Sigma_M$ к модельной задаче Римана на вещественной оси:
$$
\begin{equation}
H_{-}^M=H_{+}^M \varepsilon^{-1}(\lambda) \begin{pmatrix} 1 & -\bar{r}_M \\ -r_M&1+r_M\bar{r}_M \end{pmatrix} \varepsilon(\lambda),\qquad \lambda \subset \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
где $r_M=r(iv_M-K)$, $\bar{r}_M=-r_M^*$ и обход оси $\mathbb{R}$ также осуществляется против направления оси $\operatorname{Re}\lambda$ (рис. 6). Выбор решения фиксирует условие
$$
\begin{equation*}
H^M (\lambda) \to \Psi_M(-\lambda)^{i\tilde{\nu} \sigma_3} \qquad\text{при}\qquad \lambda \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналитическая функция $\mu_M (\lambda) \Psi_M$ бесщелевой ветви допускает факторизацию:
$$
\begin{equation}
\mu_M (\lambda) \Psi_M = \Psi_M X^M (\lambda) \varepsilon(\lambda)\varphi^M (\lambda).
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
В принятой параметризации функции на разных “крестах” $\Sigma_G$ связаны между собой:
$$
\begin{equation}
\mu_L (\lambda) \Psi_L = \sigma_1 \mu_M^*(-\lambda^*) \Psi_M^* g(u_M^*),\qquad \mu_{\widetilde{L}, \widetilde{M}} (\lambda) \Psi_{\widetilde{L}, \widetilde{M}} = \sigma_3 \mu_{L, M}(\lambda) \Psi_{L, M} \sigma_3.
\end{equation}
\tag{3.29}
$$
Матрица $X^L (\lambda)$ получается из $X^A (\lambda)$ формальной заменой: $\nu \to -\tilde{\nu}$, $r_A \to r_M^*=-r_M$, $X^M (\lambda)=[X^L (-\lambda^*)]^*$. Результаты, найденные вблизи точек стационарной фазы, позволяют построить асимптотическое при $t \to +\infty$ решение исходной двоякопериодической задачи Римана (3.14). Для этого в качестве ядра Коши на торе используем выражение
$$
\begin{equation}
Y(u',u)=\zeta(u'-u|2K, 2i K')-\zeta(u'+i K'|2K, 2i K'),\qquad Y(u',-i K')=0.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
Здесь дзета-функции Вейерштрасса, в отличие от ранее используемых, имеют периоды [$4K, 4iK'$]. Поэтому в правой части (3.30) новые полупериоды специально указаны после вертикальной черты. Используя теорему Коши, восстановим значения кусочно-аналитической функции $\mu(u)$ вне контура $\Sigma$ по ее скачкам при переходе через линии $\Sigma$:
$$
\begin{equation}
\mu(u)=I+\frac{1}{2 \pi i} \int_\Sigma du'\, Y(u',u) \mu_{+}(u')[\widetilde{\Psi}(u')]_{+} (I-W(u'))[\widetilde{\Psi}(u')]_{-}^{-1}.
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
Из-за выбора ядра представление (3.30) удовлетворяет первому из равенств (3.16). В то же время формула (3.31) задает двоякопериодическую функцию $\mu(u)$ только при дополнительных ограничениях на подынтегральное выражение. Дальнейшие вычисления проведем, предполагая эти ограничения выполненными. Окончательный результат подтвердит их правильность. В пределе (3.5) на лучах $\Sigma_{S,G}$, где $S=A,B,\widetilde{A},\widetilde{B}$ и $G=L,M,\widetilde{L},\widetilde{M}$, матрица перехода $[\widetilde{\Psi}]_{+} (I-W)[\widetilde{\Psi}]_{-}^{-1}$ экспоненциально стремится к нулю при удалении от точек стационарной фазы. Поэтому в равенстве (3.31) при значениях $|u-u_{S,G}|>1/\sqrt{t\gamma_{A,M}}$ на каждом из “крестов” можно перейти от интегрирования по переменной $u'$ к интегрированию по локальным параметрам $\lambda$ (3.22), (3.24). В пределе $t \to \infty$ в ядрах Коши и функции $W(u)$ можно пренебречь зависимостью от $\lambda$: $Y(u',u) \to Y(u_{S,G}, u)$, $W(u') \to W(u_{S,G})$, а оставшиеся подынтегральные матрицы на лучах $\Sigma_{S}$, $\Sigma_{G}$ заменить выражениями (3.21), (3.23), (3.28), (3.29). Тогда контурные интегралы в (3.31) сводятся к табличному [33]:
$$
\begin{equation*}
\int_{0}^{\infty} dt\,e^{-t^2/4} t^{k-1} D_{-p}(t)=\frac{\sqrt{\pi}\,2^{-(k+p)/2}\Gamma(k)}{\Gamma[(k+p+1)/2]}.
\end{equation*}
\notag
$$
Расчет приводит к сокращению лишних слагаемых и нетривиальному объединению оставшихся членов. В конечном счете из (3.31) находим асимптотику при $t \to \infty$ решения задачи Римана (3.14) при наличии волнового поля в доменной структуре:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \mu(u)&=I+\sum_{S=A,M}{\varepsilon_S \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_S t}}} \begin{pmatrix} \alpha(u_S, u)R_S & \beta(u_S, u) \varepsilon_S P_S^* \\ \beta(u_S, u)P_S&- \alpha(u_S, u) R_S \end{pmatrix} +O\biggl(\frac{1}{t}\biggr), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, R_S &= 2 (\operatorname{dn} u_S -1) \operatorname{Re}[M_{21}(u_S, \chi+\Delta_0)M_{11}(u_S, \chi+\Delta_0)e^{i\theta_S}],\\ P_S &= (\operatorname{dn} u_S -1) \operatorname{Re}[-\varepsilon_S [M_{11}^*(u_S, \chi+\Delta_0)]^2 e^{-i\theta_S}+M_{21}^2(u_S, \chi+\Delta_0) e^{i\theta_S}],\\ \end{aligned} \\ \theta_S =\arg \bar{r}_S +\arg \Gamma(1+i\nu_S)-2 iC(u_S, \chi,t)+\frac{2 \eta_1 \Delta_0 v_S}{K}+h_S -i\eta_3 \Delta_0 +\frac{\pi \varepsilon_S}{4},\\ \alpha(u_{A,M}, u) \operatorname{dn} u_{A,M} = Y(u_{A,M}, u) - Y(u_{B,L}, u)+Y(u_{\widetilde{A},\widetilde{M}}, u)-Y(u_{\widetilde{B},\widetilde{L}}, u),\\ \beta(u_{A,M}, u) \operatorname{dn} u_{A,M} = Y(u_{A,M}, u) \pm Y(u_{B,L}, u)-Y(u_{\widetilde{A},\widetilde{M}}, u) \mp Y(u_{\widetilde{B},\widetilde{L}}, u), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
где $\varepsilon_A=1$, $\varepsilon_M=-1$ и введены обозначения $h_A =h$, $\nu_A=\nu$, $h_M=\tilde{h}$, $\nu_M=\tilde{\nu}$ (см. (3.17), (3.18), (3.26)). Наличие общего множителя $\varepsilon_S$ под знаком суммы в первом из равенств (3.32) объясняется относительным поворотом на угол $\pi$ контуров, изображенных на рис. 4 и 5. Полученное решение, как и ожидалось, содержит двоякопериодические комбинации ядер Коши $\alpha(u_S, u)$ и $\beta(u_S, u)$. Выразим их через функции Якоби:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \alpha(u_S, u)&=(\operatorname{cn} u_S+i\operatorname{sn} u_S)(\operatorname{cn} u_S-i\operatorname{sn} u_S) \beta(u_S, u),\\ \beta(u_S, u)&=[\operatorname{cn} u\operatorname{sn} u_S -\operatorname{cn} u_S\operatorname{sn} u]^{-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
при этом $\alpha(u_S, iK')=2 i$, $\alpha(u_S, -iK')=\beta(u_S, \pm iK')=0$. В справедливости этих и других тождеств настоящей работы проще всего убедиться разложением их правых и левых частей на простые дроби или на множители [11] (по дзета- или по сигма-функциям Вейерштрасса соответственно). С помощью формул (3.16), (3.32), (3.33) находим асимптотику при $t \to \infty$ решения задачи Коши для поля излучения $\varphi_r=\Phi-\varphi_{\Delta_0}$ в доменной структуре при отсутствии солитонов:
$$
\begin{equation}
\varphi_r \approx - 2i [\mu_{11}(iK')-1]=4 \sum_{S=A,M}{\varepsilon_S \, \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_St}}}R_S.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Сравним этот результат с решением (1.11) линеаризованной задачи. Последнее получено в работе [22] путем сведения регулярной задачи Римана (2.10) к интегральным уравнениям, решение которых найдено итерациями при $|r(u)|\ll 1$, $u \in \Gamma$, в виде разложения по степеням $r(u)$. В области (3.5) вычисление интеграла (1.11) методом стационарной фазы дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi_r ={}&4\, \sqrt{\frac{2}{\pi t}}\,\operatorname{Re}\biggl[\frac{\bar{r}(u_A)}{\sqrt{\gamma_A}}\,U(u_A, \chi) e^{2 C(u_A, \chi, t)+i\pi/4}-{} \nonumber\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad- \frac{\bar{r}(u_M)}{\sqrt{\gamma_M}}\,U(u_M, \chi) e^{2 C(u_M, \chi, t)-i\pi/4}\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Результат (3.34) отличается от (3.35) перенормировкой амплитуд и фаз волновых цугов из-за взаимодействия волн между собой и с доменной структурой. В частности, в настоящей работе найдены логарифмические по времени поправки к фазе колебаний волнового поля (см. выражения для $h$, $\tilde{h}$ (3.18), (3.26)). В линейном по $|r_s|$ приближении формулы (3.34) и (3.35) совпадают, поскольку в этом случае $\sqrt{\nu_S} \approx |r_S|/\sqrt{2\pi}$, а значит,
$$
\begin{equation*}
\theta_{A,M} \approx \arg \bar{r}_{A,M}+2 C(u_{A,M}, \chi, t) \pm \frac{\pi}{4}, \qquad \Delta_0 \approx 0.
\end{equation*}
\notag
$$
Из формул (3.13), (3.32) находим асимптотическое при $t \to \infty$ решение вспомогательной линейной системы (1.3) в области (3.5) ($q>0$):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Psi_{\mathrm c} (u) =e^{-(i\sigma_3/4)\varphi_r} \mu(u) \widetilde{\Psi}(u) \approx \mu_r (u) \widetilde{\Psi}(u), \\ \mu_r (u) =I+\sum_{S=A,M}{\varepsilon_S \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_S\,t}}} \begin{pmatrix} \tilde{\alpha}(u_S, u)R_S & \beta(u_S, u) \varepsilon_S P_S^* \\ \beta(u_S, u)P_S&-\tilde{\alpha}(u_S, u) R_S \end{pmatrix} +O\biggl(\frac{1}{t}\biggr), \\ \tilde{\alpha}(u_S, u)=\alpha(u_S, u)-i=\frac{\operatorname{cn} u\operatorname{cn} u_S +\operatorname{sn} u_S \operatorname{sn} u}{\operatorname{cn} u \operatorname{sn} u_S -\operatorname{cn} u_S \operatorname{sn} u}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Асимптотический анализ волнового поля доменной структуры и матриц задачи Римана в области (3.5) при $q<0$ осуществляется по той же схеме и дает близкие результаты. Поясним утверждение. В отсутствие солитонов краевые условия при $q \to \pm \infty$, а значит, и асимптотические решения нелинейного уравнения (1.2) на интервалах $\infty>q>0$ и $-\infty<q<0$ связаны между собой: $\Phi(-q, t)=2 \pi-\Phi(q, t)$. Поэтому операторы вспомогательной линейной системы (1.3) обладают свойствами симметрии
$$
\begin{equation*}
U(-u, -q, t)=-\sigma_3 U(u, q, t) \sigma_3, \qquad V(-u, -q, t)=\sigma_3 V(u, q, t) \sigma_3,
\end{equation*}
\notag
$$
а решения Йоста выражаются друг через друга:
$$
\begin{equation*}
\Psi_1 (-u, -q, t)=\sigma_3 \Psi_2 (u, q, t) \sigma_3 .
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда матрица перехода удовлетворяет ограничению $T^{-1}(u)=\sigma_3 T(-u) \sigma_3$, которое равносильно дополнительным свойствам симметрии ее элементов:
$$
\begin{equation*}
\bar{a}(u)=a(-u),\qquad b(u)=b(-u),\qquad \bar{b}(u)=\bar{b}(-u).
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует полезное соотношение между асимптотическими решениями задач Римана на больших временах $\mu(u, \chi, t)$ (3.32) ($q>0$) и $\mu'(u, \chi, t)$ ($q<0$):
$$
\begin{equation*}
\mu'(u, \chi, t)=\sigma_3 \mu(-u, -\chi, t) \sigma_3.
\end{equation*}
\notag
$$
В работе [34] показано, что в случае однородного основного состояния среды изложенный подход дает первые члены разложения по степеням $t^{-1/2}$ волновых полей и матриц задачи Римана. Последние были найдены в работе [35] методом многомасштабных разложений. При этом роль “быстрой” переменной играла линейно зависящая от $q$, $t$ фаза волнового цуга, а отношение $q/t$ характеризовало медленные изменения его амплитуды и начальной фазы. Отметим, однако, что обобщение техники многомасштабных разложений для исследования волн в доменной структуре влечет серьезные трудности. 4. Волновое поле на переднем фронте цуга голдстоуновских модМы показали, что на больших временах начальное распределение намагниченности порождает в области (3.5) доменной структуры два волновых цуга из активационных и бесщелевых мод. Скорость волн в безразмерных переменных не превышает единицы: $|q/t| \leqslant 1$. Групповая скорость активационных мод может достигать единицы. Бесщелевые моды обладают меньшей предельной скоростью $v_{\mathrm{max}}=K k'/E<1$. Поэтому сформированный ими цуг на больших временах отстает от цуга активационных мод. В данном разделе мы обсудим переход из области, где имеются два волновых цуга, к области, в которой преобладают активационные моды. Результаты разделов 3, 4 используются далее для описания взаимодействия солитонов и волн в разных пространственных областях доменной структуры. На переднем фронте цуга бесщелевых мод (в пространственной области $q \gtrsim v_{\mathrm{max}} t$ при $t \to +\infty$) его поле экспоненциально спадает. Приближение к фронту со стороны меньших значений $q$ с математической точки зрения проявляется в сближении точек стационарной фазы у функций $e^{\pm C(u)}$ на отрезках $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$. Предельной скорости бесщелевых мод $q/t=v_{\mathrm{max}}$ соответствует слияние точек стационарной фазы: $u_{L,\widetilde{L}}=u_{M,\widetilde{M}}=\mp K + iK'$. Дальнейшее продвижение в область $q>v_{\mathrm{max}} t$ приводит к появлению у функций $e^{\pm C(u)}$ седловых точек вместо точек стационарной фазы. Такими точками будут корни уравнения $\partial_u C(u)=0$, которые возникают в областях $D_{1,2}$ вблизи точек $u=\mp K + iK'$. А именно, при $q>0$ около отрезка $\gamma_2$ возникают две точки перевала:
$$
\begin{equation}
u_{1,2}=-K + iK' \pm \varepsilon, \qquad u_{1,2} \in D_{1}^{(1)} \cup D_{2}^{(2)},
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где вещественный параметр $\varepsilon>0$ определяется уравнением
$$
\begin{equation}
0<\frac{q}{t} = \frac{k' k^2 \operatorname{dn}(\varepsilon, k)}{\alpha \operatorname{dn}^2 (\varepsilon, k)+(k')^2 \beta} <1,\qquad 0<\varepsilon<\tilde{\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Граничное значение $0<\tilde{\varepsilon}<K$ фиксируется уравнением $\operatorname{dn}(\tilde{\varepsilon}, k)=k' \sqrt{\beta/\alpha}$, гарантирующим рассмотрение волн только в пределах доступного для них конуса $q/t<1$. Вследствие редукций (2.12) седловыми точками функций $e^{\pm C(u)}$ около отрезка $\tilde{\gamma}_2$ будут точки $\tilde{u}_{1,2}=u_{1,2}+2 K$. Пусть коэффициенты отражения $r(u)$ и $\bar{r}(u)$ допускают аналитическое продолжение с контуров $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$ в малые окрестности седловых точек функций $e^{\pm C(u)}$. Тогда асимптотические формулы для волнового поля в доменной структуре на переднем фронте цуга бесщелевых мод можно получить методом перевала [36]. Как и ранее, это достигается локализацией задачи Римана. Около седловых точек осуществляется подходящая треугольная факторизация матриц перехода на отрезках $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$, что позволяет вблизи бесщелевого спектра ввести новые кусочно-аналитические функции с условиями сопряжения на новых линиях наискорейшего спуска. Преобразования задачи Римана около сохранившихся на отрезках $\gamma_1$, $\tilde{\gamma}_1$ точек стационарной фазы $u=u_S$, $S=A, \widetilde{A}, B, \widetilde{B}$, осуществляются по прежней схеме. Линии наискорейшего спуска $\Sigma_S$ будут такими же, как в разделе 3. В то же время отсутствие точек стационарной фазы на отрезках $\gamma_2$, $\tilde{\gamma}_2$ спектра бесщелевых мод приводит к упрощению функций $\kappa(u)$, $\widetilde{\Psi}(u)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \kappa (u) =\exp \biggl[\frac{1}{2 \pi i} \int_{u_A}^{u_B} du'\,\ln n(u') S(u', u) -\frac{\eta_3 \Delta_0}{2}\biggr], \\ \Delta_0 = \frac{1}{2 \pi i} \int_{u_A}^{u_B} du'\,\ln n(u'), \qquad \widetilde{\Psi}(u,\chi,t) \equiv \Psi_{\Delta_0}(u, \chi, t) \operatorname{diag}(\kappa(u), \kappa^{-1}(u)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Вместо линий $\Sigma_G$, $G=L, \widetilde{L}, M, \widetilde{M}$, теперь вводим $\Sigma_{S_{1,2}}$ и $\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$. Это отрезки вертикальных прямых, параллельные отрезкам $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$ в фундаментальном прямоугольнике со сторонами $[4K, 4iK']$ (рис. 6). Линии $\Sigma_{S_{1,2}}$ и $\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$ проходят через седловые точки $u=u_{1,2}$ и $u=\tilde{u}_{1,2}$ соответственно. Из сравнения рис. 3 и рис. 6 заключаем, что одну из них – $\Sigma_{S_{1}}$ – можно трактовать как объединение двух прежних $\Sigma_{L}^{(4)}$ и $\Sigma_{M}^{(4)}$, а вторая – $\Sigma_{S_{2}}$ – образуется слиянием $\Sigma_{L}^{(1)}$ и $\Sigma_{M}^{(1)}$. Отрезки $\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$ получаются сдвигом на $2K$ отрезков $\Sigma_{S_{1,2}}$. Направления обхода всех кривых на рис. 6 указаны стрелками. Отрезки $\Sigma_{S_{1,2}}$ и $\gamma_2$ ($\Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$ и $\tilde{\gamma}_2$) выделяют в окрестности бесщелевого спектра две новые области $\Omega_1$ и $\Omega_2$ ($\widetilde{\Omega}_1$ и $\widetilde{\Omega}_2$). На отрезках $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$ выполним нижне-верхнетреугольную факторизацию матрицы перехода:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & -\bar{r}(u) \\ -r(u)&\hphantom{-}n(u) \end{pmatrix} =B[-r(u)]A[-\bar{r}(u)].
\end{equation*}
\notag
$$
Это позволит для описания бесщелевых мод в областях $\Omega_{1,2}$ и $\widetilde{\Omega}_{1,2}$ ввести новые кусочно-аналитические функции без скачков на отрезках $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$:
$$
\begin{equation}
\mu(u)= \begin{cases} N \widetilde{\Psi} A(\bar{r}) \widetilde{\Psi}^{-1}, & u \subset \Omega_2 \cup \widetilde{\Omega}_2,\\ N \widetilde{\Psi} B(-r) \widetilde{\Psi}^{-1}, & u \subset \Omega_1 \cup \widetilde{\Omega}_1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Условия их сопряжения с аналитическими функциями активационных мод (3.13) теперь переносятся на линии $\Sigma_g =\Sigma_{S_{1,2}} \cup \Sigma_{\widetilde{S}_{1,2}}$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mu_{-}(u)=\mu_{+}(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_{+} W(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_{-}^{-1}, \qquad u \subset \Sigma_g, \\ W(u)=\begin{cases} A(\bar{r}), & u \subset \Sigma_{S_2} \cup \Sigma_{\widetilde{S}_2},\\ B(r), & u \subset \Sigma_{S_1} \cup \Sigma_{\widetilde{S}_1}. \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Контур $\Sigma_f=\Sigma_g+\Sigma_a$ задачи Римана, ассоциированной с передним фронтом бесщелевых мод, состоит из линий $\Sigma_g$ и $\Sigma_a =\Sigma_A \cup \Sigma_{\widetilde{A}} \cup \Sigma_B \cup \Sigma_{\widetilde{B}}$. Условия сопряжения аналитических функций активационных мод на контурах $\Sigma_a$ задаются по-прежнему формулами (3.14). Матричные функции $\mu(u)$ задачи Римана (3.14), (4.5) с контуром $\Sigma_f=\Sigma_g+\Sigma_a$ удовлетворяют редукциям (3.15) и условиям нормировки (3.16). Как и ранее, с помощью теоремы Коши восстановим значения кусочно-аналитической функции $\mu(u)$ вне контура $\Sigma_f$ по ее скачкам при переходе через линии $\Sigma_f$:
$$
\begin{equation}
\mu(u)=I+\frac{1}{2 \pi i} \int_{\Sigma_f} du' \,Y(u',u) \mu_{+}(u')[\widetilde{\Psi}(u')]_{+} (I-W(u'))[\widetilde{\Psi}(u')]_{-}^{-1}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
На переднем фронте бесщелевых мод матрица перехода $[\widetilde{\Psi}(u)]_{+} W(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_{-}^{-1}$ на линиях $\Sigma_g$ стремится к единичной при удалении от седловых точек, а вклады от контурных интегралов вдоль $\Sigma_g$ экспоненциально спадают по мере продвижения в область $q>v_{\mathrm{max}} t$. Поэтому в главном приближении при вычислении интегралов вдоль отрезков $\Sigma_g$ в правой части (4.6) можно пренебречь интерференционными эффектами и положить $\mu_{+}(u') \approx I$, а также аппроксимировать спектральные функции $r(u)$, $r(u')$ их значениями в соответствующих седловых точках. Вследствие редукций (2.11) полученные постоянные вещественны и связаны между собой:
$$
\begin{equation}
r(u_1) =r^*(u_1)=-\bar{r}(u_2),\qquad r(\tilde{u}_{1,2})=-r(u_{1,2}).
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
В малых окрестностях седловых точек $u=u_{1,2}$ заменим функцию $2C(u)$ первыми членами ее разложений в ряд Тейлора:
$$
\begin{equation}
2 C(u) \approx \frac{i\pi q}{2 K k} \pm [b_0 -(u-u_{1,2})^2 \gamma_0] t,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, b_0 &= \frac{k' k}{\alpha \operatorname{dn}^2 (\varepsilon, k)+(k')^2 \beta}[\beta \operatorname{sn}(\varepsilon, k) \operatorname{cn}(\varepsilon, k)-Z(\varepsilon, k) \operatorname{dn}(\varepsilon, k)]>0,\\ \gamma_0 &= \frac{k' \operatorname{sn}(\varepsilon, k)[\alpha \operatorname{dn}^2 (\varepsilon, k)-(k')^2 \beta]}{2k \operatorname{cn}^3(\varepsilon, k)[\alpha \operatorname{dn}^2 (\varepsilon, k)+(k')^2 \beta]}(\operatorname{dn}^2(\varepsilon, k)-(k')^2)>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Разложения функции $2C(u)$ вблизи точек $u=\tilde{u}_{1,2}$ получаются из (4.8) после замены $u_{1,2} \to \tilde{u}_{1,2}$. В окрестностях седловых точек введем вещественные локальные параметры $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
u=u_{1,2}+\frac{i\lambda}{\sqrt{\gamma_0 t}},\qquad u=\tilde{u}_{1,2}+\frac{i\lambda}{\sqrt{\gamma_0 t}}
\end{equation*}
\notag
$$
и заменим подынтегральные функции $F(u) \equiv I-[\widetilde{\Psi}(u)]_{+} W(u) [\widetilde{\Psi}(u)]_{-}^{-1}$ на контурах $\Sigma_g$ главными членами их разложений:
$$
\begin{equation}
F(u) \approx e^{-\lambda^2} F(u_g), \qquad u_g = u_{1,2}, \tilde{u}_{1,2},\quad u, \lambda \subset \Sigma_g.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Отрезки $\Sigma_g$ служат линиями наискорейшего спуска c седловых поверхностей функции $F(u)$ [36]. Благодаря свойствам симметрии (3.11), (4.7) матрицы в правых частях равенств (4.10) связаны между собой:
$$
\begin{equation*}
F(u_2)=-\sigma_1 F^*(u_1) \sigma_1, \qquad F(\tilde{u}_{1,2})= \sigma_3\,F(u_{1,2})\sigma_3.
\end{equation*}
\notag
$$
Вторая из редукций (3.11) соотносит элементы матрицы $\widetilde{\Psi}(u_1)$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} [\widetilde{\Psi}(u_1)]_{11} g(u_1)&=[\widetilde{\Psi}^*(u_1)]_{21},&\qquad [\widetilde{\Psi}(u_1)]_{12} g(u_1)&=[\widetilde{\Psi}^*(u_1)]_{22},\\ [\widetilde{\Psi}(u_1)]_{21} g(u_1)&=[\widetilde{\Psi}^*(u_1)]_{11},&\qquad [\widetilde{\Psi}(u_1)]_{22} g(u_1)&=[\widetilde{\Psi}^*(u_1)]_{12}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где $g(u_1) = k \operatorname{sn} (u_1, k)/(1 + \operatorname{dn} (u_1, k))$. Как и ранее, в пределе $t \to \infty$ в ядрах Коши можно пренебречь зависимостью от $\lambda$: $Y(u',u) \to Y(u_G, u)$, где $u_G = u_{1,2}, \tilde{u}_{1,2}$. С учетом перечисленных упрощений все контурные интегралы по линиям $\Sigma_g$ в формуле (4.6) сводятся к гауссовому интегралу:
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} d \lambda\, e^{-\lambda^2}=\sqrt{\pi}.
\end{equation*}
\notag
$$
Приближенное вычисление контурных интегралов (4.6) вдоль линий $\Sigma_a$ в области (1.14) осуществляется по прежней схеме. Приведем окончательный результат для матричной функции $\mu(u)$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mu(u) ={}&I+\sqrt{\frac{\nu_A}{\gamma_A t}} \begin{pmatrix} \alpha(u_A, u)R_A & \beta(u_A, u)P_A^* \\ \beta(u_A, u)P_A&-\alpha(u_A, u) R_A \end{pmatrix} -{} \nonumber\\ &-\frac{r(u_1)}{2 \sqrt{\pi t\gamma_0}} \begin{pmatrix} \alpha(u_1, u)R_0 & -\beta(u_1, u) P_0^* \\ \beta(u_1, u)P_0&-\alpha(u_1, u) R_0 \end{pmatrix} +O\biggl(\frac{1}{t}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Коэффициенты $R_A$, $P_A$ определяются формулами (3.32) в пределе $v_M \to K'$, который соответствует переходу к упрощенным функциям (4.3). Элементы $R_0$, $P_0$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, R_0 = R_0^* = k\operatorname{sn}(u_1, k)|\widetilde{\Psi}_{22}(u_1)|^2, \qquad P_0 =[\operatorname{dn}(u_1, k)-1]\widetilde{\Psi}^2_{22} (u_1),\\ \widetilde{\Psi}^2_{22} (u_1) =M_{22}(\chi+\Delta_0, u_1) \exp\biggl(-\frac{i\pi q}{4 k K}-\frac{b_0 t}{2}-\frac{\eta_1 \Delta_0 u_1}{K}-\ln \kappa(u_1) \biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Значения $\alpha(u_S, u)$, $\beta(u_S, u)$, $\kappa(u)$, $\Delta_0$, $b_0$ такие же, как в (3.33), (4.3) и (4.9). Из формул (3.16), (4.12) находим асимптотику при $t \to +\infty$ решения задачи Коши для поля излучения $\varphi_r = \Phi-\varphi_{\Delta_0}$ в доменной структуре на переднем фронте цуга бесщелевых мод:
$$
\begin{equation}
\varphi_r=4 \sqrt{\frac{\nu_A}{\gamma_At}}R_A - \frac{2\,r(u_1)}{\sqrt{\pi t\gamma_0}} R_0.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Как и осциллирующий член $R_A$, экспоненциально спадающий вклад $R_0=O(e^{-b_0 t})$ связан с функцией Ламе (см. (1.12), (1.13)):
$$
\begin{equation*}
R_0= \Lambda(\chi+\Delta_0, -u_1) \exp \biggl(-\Delta_0 [\zeta(u_1+i K')+\zeta(u_1-i K')]-2 \ln \kappa(u_1) -\frac{it}{k}\operatorname{dn}(u_1, k)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы воспользовались формулами (4.11) и соотношением Периоды функций Вейерштрасса $[2K, 4iK']$. В непосредственной близости к фронту бесщелевых мод при выполнении неравенства $0<(V-v_\mathrm{max})/v_\mathrm{max}\ll 1$, где $V=q/t$, значения параметра $\varepsilon$ (4.2) малы. Из (4.2) находим связь $\varepsilon$ с относительной скоростью:
$$
\begin{equation*}
\varepsilon^2 =\frac{V-v_\mathrm{max}}{V c_0},\qquad c_0 =\frac{1}{2}[1+(k')^2]-k' v_\mathrm{max} >0.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае
$$
\begin{equation*}
b_0 =\frac{2}{3 k}\varepsilon^3 k' c_0,\qquad \gamma_0 =\frac{k'}{k}\varepsilon c_0.
\end{equation*}
\notag
$$
В области (1.14) на больших расстояниях от фронта бесщелевых волн в формуле (4.12) можно пренебречь вторым слагаемым. Тогда волновое поле в доменной структуре будет представлено только цугом активационных мод, который в главном приближении совпадает с найденным в работе [22], отличие состоит в разной параметризации формул и уточнении начальных фаз в выражениях для $R_A$. Асимптотическое при $t \to \infty$ решение вспомогательной линейной системы (1.3) вблизи фронта бесщелевых мод ($q>0$) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi_\mathrm{c} (u)={}&\biggl[I+\sqrt{\frac{\nu_A}{\gamma_A t}} \begin{pmatrix} \tilde{\alpha}(u_A, u)R_A & \beta(u_A, u) P_A^* \\ \beta(u_A, u)P_A&-\tilde{\alpha}(u_A, u) R_A \end{pmatrix} -{} \nonumber\\ &\qquad-\frac{r(u_1)}{2 \sqrt{\pi t\gamma_0}} \begin{pmatrix} \tilde{\alpha}(u_1, u)R_0 & -\beta(u_1, u) P_0^* \\ \beta(u_1, u)P_0&-\tilde{\alpha}(u_1, u) R_0 \end{pmatrix} + O\biggl(\frac{1}{t}\biggr) \biggr] \widetilde{\Psi}(u), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
функция $\tilde{\alpha}(u_S, u)$ определена в (3.36). В пространственно-временнóй области (1.14) в формуле (4.14) можно пренебречь слагаемым с множителем $r(u_1)$.
5. Солитоны в волновом поле доменной структурыРешения модели (1.2), описывающие нелинейную интерференцию солитонов и поля излучения, найдем методом одевания частных решений с помощью задачи Римана. Для магнетиков с однородным основным состоянием эффективность предлагаемого подхода для изучения релаксации солитонов в поле диспергирующих волн ранее была продемонстирована в рамках модели синус-Гордон и уравнения Ландау–Лифшица [34], [37]. В настоящей работе из-за наличия доменной структуры аналитические свойства функций задачи Римана определяются на римановой поверхности, топологически эквивалентной тору, и оказываются двоякопериодическими функциями спектрального параметра $u$ с периодами $[4K, 4iK']$. Конформное преобразование
$$
\begin{equation*}
\lambda=\operatorname{cn}(u, k)+i\operatorname{sn}(u, k),\qquad |\!\operatorname{Re} u|<2 K, \quad |\!\operatorname{Im} u|<2 K',
\end{equation*}
\notag
$$
отображает элементарную ячейку в $u$-плоскости со сторонами $4K$, $4iK'$ на два экземпляра комплексной плоскости $\lambda$. На первом из них областям $D_2^{(1)}$ и $D_1^{(1)}$ соответствуют верхняя и нижняя $\lambda$-полуплоскости. Отрезок $\gamma_1$ перейдет в вещественную $\lambda$-ось. Отрезкам $\gamma_2$ и $\tilde{\gamma}_2$ фундаментального прямоугольника соответствуют два разреза: $\lambda = \pm i[\nu_b, \nu_b^{-1}]$ ($\nu_b=\sqrt{(1-k')/(1+k')}$), через берега которых осуществляется переход на второй лист $\lambda$-плоскости. На рис. 7 направления обхода контуров $\gamma_1$, $\gamma_2$, $\tilde{\gamma}_2$ на первом листе плоскости $\lambda$ согласованы с обходами одноименных контуров в фундаментальном прямоугольнике $u$-плоскости (см. рис. 1). Особым точкам $u=i K'$ и $u=-i K'$ линейной системы (1.3) соответствуют значения $\lambda=0$ и $\lambda=\infty$. Области $D_{1,2}^{(2)}$ фундаментального прямоугольника отображаются на второй лист плоскости $\lambda$. Метод одевания допускает некоторую степень произвола в построении солитонных матриц задачи Римана. В отличие от предложенной в [5], [17] последовательной процедуры одевания на торе, которая дает солитонные решения с заданными условиями при $\chi \to \pm \infty$, в настоящей работе мы осуществляем более “мягкое” построение. Ввиду асимптотического характера формул для волнового поля краевые условия задачи заранее не фиксируем. Все изменения доменной структуры, обусловленные наличием в ней волн и солитонов, в частности макроскопический сдвиг доменов, найдем из анализа явных решений модели синус-Гордон (1.2). Принципиальными при этом являются лишь два момента: устранение лишних полюсов в одевающих формулах и учет редукций, гарантирующих верные трансформационные свойства у новых решений. На первом листе плоскости $\lambda$ коэффициенты $w_1 (u)$, $w_2 (u)$ вспомогательной системы (1.3), а также множители $\tilde{\alpha}(u_S, u)$, $\beta(u_S, u)$ в затравочном решении (3.36) являются рациональными функциями параметра $\lambda$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, w_1 (u)=\frac{1}{2} \biggl(\lambda+\frac{1}{\lambda}\biggr),\qquad w_2 (u)=\frac{1}{2} \biggl(\lambda-\frac{1}{\lambda}\biggr),\\ \tilde{\alpha}(u_S, u)=\frac{i (\lambda^2_S+\lambda^2)}{\lambda_S^2-\lambda^2},\qquad \beta(u_S, u)=\frac{2i \lambda_S \lambda}{\lambda_S^2-\lambda^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda_S=\operatorname{cn}(u_S, k)+i\operatorname{sn}(u_S, k)$. Поэтому вычисление солитонных матриц задачи Римана на торе заменим построением на первом листе плоскости $\lambda$ мероморфных матричных функций с подходящими нулями, полюсами и редукциями. Преимущество процедуры одевания состоит в том, что требуемые решения строятся локально в окрестности каждой точки пространства и времени. Это позволяет получить явные формулы для солитонов на фоне волновых цугов, которые формируются при $t \to \infty$ из произвольного начального возмущения доменной структуры. В отсутствие солитонов такие цуги соответствуют непрерывному спектру прямой задачи рассеяния и описываются универсальными формулами, которые получены в предыдущих разделах. Добавление солитонов в систему осуществляется посредством алгебраических вычислений и достигается введением дискретного спектра в задачу рассеяния при заданном непрерывном спектре. С помощью калибровочного преобразования
$$
\begin{equation*}
F(\chi, t, \lambda)=e^{(i\sigma_3/4)\Phi} \Psi(\chi, t, \lambda)
\end{equation*}
\notag
$$
перейдем от вспомогательной системы (1.3) к эквивалентной системе линейных уравнений [23]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_\eta F &= \frac{i}{4 \lambda}[\sigma_1 \cos \Phi -\sigma_2 \sin \Phi] F \equiv V(\lambda, \eta, \xi) F, \\ \partial_\xi F &= \frac{i}{4}[\lambda \sigma_1 +2 \partial_\xi \Phi\sigma_3] F \equiv U(\lambda, \eta, \xi) F, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $\xi=t+q$, $\eta=t-q$. Тогда при заданном непрерывном спектре задачи (1.3), (1.7) добавление соответствующего солитонам дискретного спектра (2.5), (2.6) сводится к преобразованию [5], [17], [23] $F(\lambda)=R(\lambda) F_0 (\lambda)$, где $F_0 (\lambda)$ – затравочное решение системы (5.1) для волнового поля $\Phi^{(0)}=\varphi_{\Delta_0}+\varphi_r$ в доменной структуре при отсутствии солитонов (см. (3.36)):
$$
\begin{equation}
F^{(0)}(\chi, t, \lambda)=e^{(i\sigma_3/4)\Phi^{(0)}} \Psi_\mathrm{c} (u(\lambda)).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Матричная функция $R(\lambda)$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation*}
R(\lambda)R^\unicode{8224} (\lambda)=I,\qquad \sigma_1 R^*(-\lambda^*) \sigma_1 = R(\lambda),\qquad R(\lambda) \to I \quad \text{при} \quad \lambda \to \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
и является мероморфной в $\lambda$-плоскости. Индексы $\unicode{8224}$ и $*$ обозначают операции эрмитового и комплексного сопряжений соответственно. Полюсы функции $R(\lambda)$ соответствуют нулям коэффициента $\bar{a}_\mathrm{sol}(u)$ (2.4) в области $D_2^{(1)}$ и находятся в верхней полуплоскости параметра $\lambda$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda&=\lambda_p=\lambda(u=-\xi_p^*),& p=1,2,\dots, M, \\ \lambda&=\lambda_k=\lambda(u=-\mu_k^*),\quad \lambda_{k+N}=-\lambda_k^*, & k=1,2,\dots, N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Приведем явный вид элементов матрицы $R(\lambda)$ в виде разложения по полюсам [5], [23]:
$$
\begin{equation}
R_{\alpha \beta}(\lambda)=\delta_{\alpha \beta}+\sum_{i,j=1}^{M+2N} \frac{(m^i)_\alpha (m^j)_\beta}{\lambda-\lambda_j} \frac{\partial \ln \det A}{\partial A_{j i}},
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где $\alpha,\beta=1,2$, $\delta_{\alpha \beta}$ – символ Кронекера, $A_{i j} =(\mathbf{m}^{i*} \cdot \mathbf{m}^{j})(\lambda_i -\lambda_j^*)^{-1}$. Зависимость от $q$, $t$ векторов $\mathbf{m}^{j}=(m_1^j, m_2^j)$ определяется требованием отсутствия “лишних” полюсов в точках $ \lambda=\lambda_p^*=\lambda(u=\xi_p)$, $p=1,2,\dots,M$, и $\lambda=-\lambda_k$, $\lambda_k^*=\lambda(u=\mu_k)$, $k = 1,2,\dots,N$, в одевающих формулах [23]:
$$
\begin{equation}
V(\lambda)=-R(\lambda) [\partial_\eta-V^{(0)}(\lambda)] R^{-1}(\lambda),\qquad U(\lambda)=-R(\lambda) [\partial_\xi-U^{(0)}(\lambda)] R^{-1}(\lambda).
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Здесь $U^{(0)}(\lambda)$ и $V^{(0)}(\lambda)$ – значения операторов $U(\lambda)$ и $V(\lambda)$ на “затравочном” решении $\Phi^{(0)}=\varphi_{\Delta_0}+\varphi_r$. Для бризерных состояний параметры $\lambda_j$ и векторы $\mathbf{m}^{j}$ входят парами:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{m}^{k}=F^{(0)}(\chi, t, \lambda_k^*=\lambda(u=\mu_k)) \mathbf{c}^k, \qquad \mathbf{m}^{k+N}=\sigma_1 \mathbf{m}^{k*},\qquad k = 1,2,\dots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{c}^s$ – произвольные постоянные комплексные векторы. Кинку с параметрами
$$
\begin{equation*}
u=\xi_p=i K' s_p -\tau_p,\qquad 0<\tau_p<K,\qquad s_p = \pm 1,
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует вектор $\mathbf{m}^{p}=F^{(0)}(\chi, t, \lambda_p^*=\lambda(u=\xi_p)) \mathbf{d}^p$, где
$$
\begin{equation}
\mathbf{d}^p = e^{i\gamma_p/2}(\tilde{d}_{p1}, \tilde{d}_{p2}),\qquad \gamma_p = s_p \biggl[\operatorname{am}(\tau_p, k)+\frac{\pi}{2}\biggr],
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
$\tilde{d}_{p1}$, $\tilde{d}_{p2}$ – произвольные вещественные параметры. С помощью формул для сигма-функций Вейерштрасса с периодами $[2K, 4iK']$:
$$
\begin{equation*}
-is_p \frac{\sigma(\xi_p)}{\sigma(\xi_p^*)}e^{\eta_3 s_p \tau_p}=e^{i\gamma_p} = \frac{k \operatorname{sn}(\xi_p, k)}{1+\operatorname{dn}(\xi_p, k)},\qquad \xi_p^* + 2iK' s_p =\xi_p,
\end{equation*}
\notag
$$
нетрудно проверить, что такой выбор вектора $\mathbf{d}^p$ гарантирует выполнение редукции $\mathbf{m}^p=\sigma_1 \mathbf{m}^{p *}$. Полученные результаты позволяют построить требуемый класс решений модели синус-Гордон. Левая и правая части первого равенства (5.5) имеют простые полюсы в точке $\lambda=0$. Приравнивая вычеты в этих полюсах, сразу получаем явное выражение для поля $\Phi(q, t)$:
$$
\begin{equation}
\Phi(q, t)=-i\ln[R(\lambda=0)(\sigma_1 \cos \Phi^{(0)}-\sigma_2 \sin \Phi^{(0)}) R^{\unicode{8224}}(\lambda=0)]_{12},
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
где $\Phi^{(0)}=\varphi_{\Delta_0}+\varphi_r$. Формула (5.7) в пространственно-временнóй области $q/t=O(1)$, $t^2-q^2>0$, $q>0$, $t \to +\infty$, описывает релаксацию, движение и столкновения солитонов в доменной структуре при наличии активационного и бесщелевого цугов диспергирующего излучения. Нелинейная интерференция солитонов и излучения вблизи и впереди фронта бесщелевых волн описывается такими же формулами, в которых матричная функция (5.2) вместо $\Psi_{\mathrm c} (u)$ (3.36) содержит $\Psi_{\mathrm c} (u)$ (4.14). Обсудим типичные релаксирующие солитоны. Кинки в поле излученияРассмотрим солитон, который образован введением дополнительной доменной стенки ($2 \pi$-кинка поля $\Phi(q, t)$) в полосовую структуру, т. е. в одномерную решетку из $2\pi$-кинков (1.5). Динамика такого солитона в волновом поле доменной структуры определяется формулой (5.7), когда функция $R(\lambda)$ имеет единственный полюс в точке
$$
\begin{equation*}
\lambda_1 =\lambda(u=-\xi_1^*) \equiv ig(\tau_1), \qquad g(\tau_1)= \frac{k\operatorname{sn} (\tau_1, k)}{1 + \operatorname{dn} (\tau_1, k)}>0.
\end{equation*}
\notag
$$
В фундаментальном прямоугольнике $u$-плоскости ему соответствует параметр $u=-\xi_1^*=i K'+\tau_1$, $0<\tau_1 <K$. После простых вычислений из (5.7) получаем выражение, удобное для дальнейшего анализа: где $l_1$ – первая компонента вектора $\mathbf{l}=\mu_r(u=\xi_1) \mathbf{n}$,
$$
\begin{equation}
\mathbf{n}=\widetilde{\Psi}(u=\xi_1)\mathbf{d}=M(\xi_1, \chi+\Delta_0, t) \exp\biggl(\sigma_3\biggl[C(\xi_1, \chi, t)+\ln \kappa(\xi_1)+\frac{\eta_1 \Delta_0 \xi_1}{K}\biggr]\biggr) \mathbf{d},
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
$M(u, \chi, t)$, $C(u, \chi, t)$, $\widetilde{\Psi}(u)$, $\kappa(u)$, $\Delta_0$ определены в (1.10), (3.6), (3.7), (3.10). Вследствие выбора $\mathbf{d}$ компоненты вектора $\mathbf{n}=(n_1, n_2)$ (5.9) связаны редукцией $n_2=n_1^*$. В дальнейшем нам понадобится комбинация функций Вейерштрасса (функций Якоби с модулем $k$):
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, D(u|v_A, v_M) ={}& \ln \kappa(u|v_A, v_M) + \frac{\eta_1 \Delta_0 u}{K}={}\\ ={}&\frac{1}{\pi} \biggl(\,\int_{v_A}^{K'} dv\,\ln n(iv) f(u, v)+ \int_{K'}^{v_M} dv\,\ln n(iv-K) f(u+K, v)\biggr), \end{aligned} \\ \begin{aligned} \, f(u, v)={}&{-}\frac{1}{4} \biggl(Z(u+iv)+Z(u-iv)+{}\\ &\qquad +\frac{\operatorname{cn}(u+iv)}{\operatorname{sn}(u+iv)}[\operatorname{dn}(u+iv)-1]+ \frac{\operatorname{cn}(u-iv)}{\operatorname{sn}(u-iv)}[\operatorname{dn}(u-iv)+1]\biggr). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
В первой из формул (5.10) слабая зависимость $D(u)$ и $\kappa(u)$ от “медленных” функций $v_A (q, t)$, $v_M (q, t)$ указана после вертикальной черты. Поле $\Phi_d (q, t)$, описывающее движение солитона в доменной структуре при отсутствии волн, выражается через $n_1 (q, t)$ [5], [16]:
$$
\begin{equation}
\Phi_d (q, t)= 2 i\ln(n_1/n_1^*)=4 \mathrm{Arg}[s^{1/2} e^{y+i\varphi_{+}/4}+s^{-1/2} e^{-y+i\varphi_{-}/4}].
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
При переходе к правой части равенства (5.11) использованы соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl|\frac{\widetilde{\Psi}_{11}(\xi_1) \tilde{d}_1}{\widetilde{\Psi}_{12}(\xi_1) \tilde{d}_2}\biggr|=s e^{2y},\qquad s= \biggl|\frac{\sigma(\chi+\Delta_0+\xi_1)}{\sigma(\chi+\Delta_0-\xi_1^*)}\biggr| e^{(2 \eta_1 \tau_1/K)(\chi+\Delta_0)},\\ 2 y=2 \operatorname{Re}[C(\chi, t, \xi_1)+D(\xi_1)]-\ln |c|, \qquad c=\frac{\tilde{d}_2}{\tilde{d}_1},\\ \biggl(e^{i\gamma_1} \frac{\widetilde{\Psi}_{11}(\xi_1)}{\widetilde{\Psi}_{11}^*(\xi_1)}\biggr)^{1/2}=e^{i\varphi_{+}/4}, \qquad \biggl(-e^{i\gamma_1} \frac{\sigma\widetilde{\Psi}_{12}(\xi_1)}{\widetilde{\Psi}_{12}^*(\xi_1)}\biggr)^{1/2}=e^{i\varphi_{-}/4},\\\ \begin{aligned} \, & \varphi_{+}(\chi)=\pi - 2 \operatorname{am} (\chi+\Delta_0 -\tau_1, k), \\ & \varphi_{-}(\chi)=\pi (2 \sigma+1) - 2 \operatorname{am} (\chi+\Delta_0 +\tau_1, k), \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
$\sigma=-\operatorname{sign}(\tilde{d}_1 \tilde{d}_2)$, $\tilde{d}_{1,2}$ – вещественные постоянные интегрирования (см. (5.6)). Функции $s(\chi)$, $e^{i \varphi_\pm (\chi)}$ периодичны по $\chi$. Поэтому свойства солитона (5.11) характеризуются экспоненциальными множителями $e^{\pm y}$, где $y$ – линейная функция координаты $q$ и времени $t$: В отсутствие излучения параметры
$$
\begin{equation}
\Delta_0 = \frac{1}{\pi} \biggl(\,\int_{v_A}^{K'}dv\,\ln n(iv)+\int_{K'}^{v_M}dv\,\ln n(iv-K)\biggr),\qquad q_r=2 l_0 \operatorname{Re} D(\xi_1|v_A, v_M)
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
в (5.13) обращаются в нуль, так как в этом случае $\ln n(i v)\equiv 0$, $\ln n(i v-K) \equiv 0$. Величины
$$
\begin{equation}
l_0 = k \biggl[Z(\tau_1)+\frac{\operatorname{cn}\tau_1}{\operatorname{sn}\tau_1} \operatorname{dn} \tau_1 \biggr]^{-1}>0,\qquad V_0 =\frac{l_0 \operatorname{cn}\tau_1}{k\operatorname{sn}\tau_1}>0,\qquad q_0=l_0 \ln|c|
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
в отсутствие излучения задают соответственно размер солитона, скорость его движения в структуре и положение центра солитона в момент времени $t=0$. Солитон (5.11), как и дислокация в кристалле, является элементарным переносчиком макроскопического сдвига доменной структуры. Из-за его образования меняются краевые условия задачи:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi_d (q, t) &\to \varphi_{+}(\chi) \quad \text{при} \quad \chi \to +\infty, \\ \Phi_d (q, t) &\to \varphi_{-}(\chi) \quad \text{при} \quad \chi \to -\infty, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где функции $\varphi_{\pm}(\chi)$ определены формулами (5.12). Положения равновесных доменов (5.16) вне солитона свидетельствуют о том, что при $\sigma=1$ ($\sigma=-1$) солитон (5.11) представляет собой “лишнюю” доменную стенку (кинк) в полосовой структуре той же (противоположной) хиральности, что и стенки доменной структуры. В пластине мультиферроика с циклоидальной структурой доменные стенки структуры проявляются как солитоны электрической поляризации на поверхности образца [3], [9]. Согласно второй из формул (5.15) лишний кинк в доменной структуре не бывает неподвижным. Поэтому образование кинка (5.11) в циклоидальной структуре мультиферроика может быть обнаружено по перемещению одного из солитонов электрической поляризации вдоль решетки из неподвижных солитонов структуры. Приведенные результаты позволяют записать решение (5.8) для кинка в волновом поле доменной структуры в виде
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Phi =\Phi_d-2 i \ln \biggl[\frac{1+i A+B^* e^{-i \Phi_d/2}}{1-i A+B e^{i \Phi_d/2}}\biggr],\\ i A =\sum_{S=A,M} \varepsilon_S \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_S t}}\tilde{\alpha}(u_S, \xi_1) R_S,\qquad A=A^*,\\ B=\sum_{S=A,M} \varepsilon_S \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_S t}}\beta(u_S, \xi_1) P_S. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
В этом случае в формулах (5.11), (5.12) параметры $q_r$ и $\Delta_0$ не равны нулю. Нелинейная интерференция кинка (5.11) и волнового поля (3.34) проявляется в неадиабатических релаксационных колебаниях кинка в решении (5.17), которые убывают по закону $\propto t^{-1/2}$ ($q/t=O(1)$). Изменение параметра $q_0$ в формуле (5.17) сдвигает кинк относительно поля излучения. Слева от кинка (при $y\ll-1$) и справа от него (при $y\gg 1$) имеем соответственно
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Phi \approx \varphi_{\mp}-2i[2 i A+B^* e^{-i \varphi_{\mp}/2}-B e^{i \varphi_{\mp}/2}]=4 \sum_{S=A,M} \varepsilon_S \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_S\,t}}R_S^{\mp},\\ R_S^{\mp} =2 (\operatorname{dn} u_S -1)\operatorname{Re} [M_{21}(u_S, \chi + \Delta_0 \pm \tau_1) M_{11}(u_S, \chi + \Delta_0 \pm \tau_1)e^{i (\theta_S \mp f_S)}], \\ f_S=-i \ln \biggl[\frac{\sigma(u_S-\xi_1)}{\sigma(u_S+\xi_1^*)} e^{\eta_3 \tau_1 - (2 \eta_1/K)\tau_1 u_S} \biggr]=f_S^*. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.18}
$$
Здесь мы факторизовали периодические по $\chi$ коэффициенты перед множителями $e^{\pm i \theta}$ в (5.11) в произведение сигма-функций Вейерштрасса с периодами $[2K, 4i K']$ [11]. Активационный и бесщелевой волновые цуги после прохождения через солитон приобретают фазовые сдвиги, равные $2 f_A$ и $2 f_M$ соответственно. Выражение для $f_{A,M}$ дает последняя из формул (5.18) при $s=A, M$. Параметр $\Delta_0(q,t)$ определяет медленно меняющееся в пространстве и времени смещение солитона вместе с доменной структурой под влиянием волнового поля. Кроме того, из-за наличия кинка волновое поле и домены слева и справа от центра солитона в соответствии с формулой (2.7) наряду со сдвигом на период претерпевают дополнительный относительный сдвиг по переменной $\chi$ на величину $\Delta=-2 \tau_1$, который не превосходит длины домена и определяется исключительно строением ядра кинка. В отличие от смещения $\Delta_0$, вызванного излучением, сдвиг структуры $\Delta$, порожденный кинком, наблюдается и вне области волнового поля. Изменения фазы волнового поля и дилатация $\Delta=-2 \tau_1$ доменной структуры несут информацию о толщине и скорости кинка. Медленно меняющийся в пространстве и времени параметр $q_r$ (5.14) описывает индуцированный волновым полем дрейф солитона относительно доменной структуры, а также изменение толщины кинка из-за наличия локализованных на кинке колебаний волнового поля:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, q_r = \frac{l_0}{\pi} \biggl(\,\int_{v_A}^{K'} dv\,\ln n(iv) g(\xi_1, v)+ \int_{K'}^{v_M} dv\,\ln n(iv-K) g(\xi_1+K, v)\biggr), \\ g(\xi_1, v)=\operatorname{Re} f(\xi_1, v)= Z(\tau_1, k)+\frac{k^2 scd(s')^2}{1-d^2 (s')^2}+\frac{sc (d c'-d')(c'+(s')^2 d' d)}{(1-d^2 (s')^2)(s^2+c^2 (s')^2)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.19}
$$
Здесь для сокращения записи введены обозначения: $s=\operatorname{sn}(\tau_1, k)$, $c=\operatorname{cn}(\tau_1, k)$, $d=\operatorname{dn}(\tau_1, k)$, $s'=\operatorname{sn}(v+K', k')$, $c'=\operatorname{cn}(v+K', k')$, $d'=\operatorname{dn}(v+K', k')$. Зависимость параметра $q_r$ от координаты $q$ и времени $t$ входит через “медленные” функции $v_S(q, t)$, $S=A,M$. Пусть для определенности излучение находится преимущественно слева от центра $q_0$ кинка: $q_0\gg 1$ ($q/t=O(1)$, $t \to \infty$). Тогда скорость $V_r$ вынужденного движения кинка и его эффективная толщина $l_\mathrm{eff}$ в поле излучения вычисляются по формулам
$$
\begin{equation*}
V_r =-\partial_t q_r \approx \frac{l_0}{\pi}[\ln n(i v_A) g(\xi_1, v_A) \partial_t v_A - \ln n(i v_M-K) g(\xi_1+K, v_M) \partial_q v_M]|_{q=q_0+V_0 t},
\end{equation*}
\notag
$$
$l_\mathrm{eff}\approx l_0 (1-\partial_q q_r)$. Без излучения скорость $V_0$ кинка (5.15) никогда не обращается в нуль. Дифференцируя тождества $\partial_u C(u, \chi, t)|_{u=u_S} \equiv 0$, $S=A,M$, по переменным $q$ и $t$, найдем производные $\partial_q v_S$ и $\partial_t v_S$:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} \partial_t v_A &= -\frac{1}{t\gamma_A}\frac{k\operatorname{sn}(v_A, k')}{\mathrm{cn^2}(v_A, k')}<0, &\qquad \partial_q v_A &= -\frac{1}{t\gamma_A}\biggl[\mathrm{dc}^2 (v_A, k')-\frac{E}{K}\biggr]>0,\\ \partial_t v_M &= -\frac{1}{t\gamma_M}\frac{k' k\operatorname{sn}(v_M, k')}{\operatorname{dn}^2 (v_M, k')}<0,&\qquad \partial_q v_M &= \frac{1}{t\gamma_M}\biggl[\frac{E}{K}-(k')^2 \mathrm{cd}^2 (v_M, k') \biggr]>0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
При $k > 0.1$ функция $g(\xi_1, v_S)$ положительна, а $g(\xi_1+K, v_S)$ отрицательна во всей области значений $\xi_1=i K'-\tau_1$, $0<\tau_1<K$, $0<v_S<K'$. Напомним, что активационные волны движутся навстречу солитону быстрее бесщелевых. Когда активационный цуг находится преимущественно слева от солитона, его поле немного уширяет кинк и пытается втянуть его в область излучения:
$$
\begin{equation}
V_\mathrm{eff}^a \approx V_0 - \frac{c_a}{t}, \qquad d_\mathrm{eff}^a \approx d_0 + \frac{b_a}{t}, \qquad t \to \infty,
\end{equation}
\tag{5.20}
$$
где $c_a \approx \mathrm{const}>0$ и $b_a \approx \mathrm{const}>0$. В случае прохождения активационных волн через солитон взаимодействие кинка с приближающимся к нему слева вторым бесщелевым цугом, наоборот, будет способствовать выталкиванию кинка из области излучения и уменьшению его ширины:
$$
\begin{equation}
V_\mathrm{eff}^g \approx V_{0a} + \frac{c_g}{t}, \qquad d_\mathrm{eff}^g \approx d_{0a} + \frac{b_g}{t}, \qquad t \to \infty,
\end{equation}
\tag{5.21}
$$
где $c_g \approx \mathrm{const}>0$ и $b_g \approx \mathrm{const}>0$. Цуг активационных волн в области правее солитона будет ускорять солитон в том же направлении, что и бесщелевой цуг слева от него. На начальном этапе взаимодействия кинка с бесщелевыми волнами этот эффект определяет слагаемые $V_{0a}(t)$, $d_{0a}(t)$ в формулах для $V_\mathrm{eff}^g$, $d_\mathrm{eff}^g$. В рассмотренной схеме одевания для построения кинка (5.11) был использован нуль $u=i K'-\tau_1$ коэффициента прохождения $a(u)$. Можно показать, что солитонное состояние, ассоциированное с другим нулем $u=-i K'-\tau_1$, представляет эквивалентный кинк, движущийся в полосовой структуре с противоположной хиральностью доменных стенок. Отметим, что используемая здесь схема одевания не сохраняет граничных условий для доменной структуры при $\chi \to \infty$ (ср. (5.16) с формулами (1.7)). Однако благодаря трансляционной инвариантности уравнения синус-Гордон (1.2) этот недостаток легко устранить заменой $\chi \to \chi+\tau_1$ в решении (5.11). Еще раз напомним, что, в отличие от порожденных кинком дилатации $\Delta=-2 \tau_1$ и трансляции доменной структуры на период, смещение $\Delta_0(q,t)$ (5.14), вызванное волновым полем, обращается в нуль при $\chi \to +\infty$. Релаксирующие бризерыБризерное возбуждение доменной структуры, релаксирующее в поле излучения, описывается матричной функцией $R(\lambda)$ (5.4) с двумя полюсами $\lambda=\lambda_1, -\lambda_1^*$. Параметры $\lambda_1^*$ и $\mu$ связаны между собой:
$$
\begin{equation*}
\lambda_1^* \equiv \kappa+i \kappa'=e^{i\operatorname{am}(\mu, k)},\qquad \mu=i \theta-\frac{\rho}{2},\qquad |\theta| \leqslant 2 K', \qquad 0<\rho< 2 K.
\end{equation*}
\notag
$$
Для дальнейшего анализа важно, что $\kappa'=\operatorname{Im} \lambda_1^*<0$. Формула (5.7) дает поле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi(q, t)&=-2i\ln \biggl[e^{i \Phi^{(0)}/2}\frac{\lambda_1^* |m_1|^2+\lambda_1 |m_2|^2}{\lambda_1 |m_1|^2+\lambda_1^* |m_2|^2}\biggr]\equiv {} \nonumber\\ &\equiv 4 \operatorname{Arg}[e^{i \Phi^{(0)}/4}(\lambda_1^* |m_1|^2+\lambda_1 |m_2|^2)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.22}
$$
“Затравочные” решения для диспергирующих волн (3.34), (3.36) найдены с точностью до слагаемых $O(1/\sqrt{t})$. С той же точностью вычислим $e^{i \Phi^{(0)}/4}$ и $|m_{1,2}|^2$. В результате получим
$$
\begin{equation}
\Phi=\Phi_b+ 4 \operatorname{Arg} \biggl\{1+\sum_{S=A,M} \varepsilon_S \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_S t}} \biggl[i R_S+\frac{8 \kappa \kappa' \lambda_S}{N |\lambda_S^2-\lambda_1^2|^2}(B_\theta^S e^{i \theta_S}+B_{-\theta}^S e^{-i \theta_S}) \biggr]\biggr\}.
\end{equation}
\tag{5.23}
$$
Здесь введены следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, N =\lambda_1^* |n_1|^2+\lambda_1 |n_2|^2, \qquad \mathbf{n}=M(\mu, \chi+\Delta_0) e^{\sigma_3 [C(\mu, \chi, t)+D(\mu)]} \mathbf{c},\\ \lambda_S =e^{i\operatorname{am}(u_S, k)},\qquad M_{i j}^S=M_{i j}(u_S, \chi+\Delta_0),\qquad \Phi_b = 4 \operatorname{Arg} [N e^{i \varphi_{\Delta_0}/4}], \\ \begin{aligned} \, B_\theta^S &= (\operatorname{dn} u_S-1)(\lambda_1 n_2^* M_{21}^S+\lambda_S n_1^* M_{11}^S)(\lambda_S n_2 M_{11}^S-\lambda_1^* n_1 M_{21}^S), \\ B_{-\theta}^S &= (\operatorname{dn} u_S-1)[\lambda_1 n_2^* (M_{11}^S)^*-\varepsilon_S \lambda_S n_1^* M_{21}^S][\lambda_S n_2 (M_{21}^S)^*+\varepsilon_S \lambda_1^* n_1 (M_{11}^S)^*]. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.24}
$$
Определение функции $D(u)$ такое же, как в (5.10). Протяженность и динамические свойства бризера обусловлены зависимостью вектора $\mathbf{n}$ от переменных $\chi$, $t$ (5.24). Поскольку матрица $M(\mu, \chi+\Delta_0)$ периодична по $\chi$, основную зависимость $\mathbf{n}$ от $\chi$, $t$ дает экспоненциальный множитель $e^{\sigma_3 (C(\mu, \chi,t)+D(\mu))} \mathbf{c}$. В формулы (5.22) и (5.23) компоненты вектора $\mathbf{n}$ входят через отношение $n_1/n_2$, поэтому ключевые свойства бризера описываются функцией
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 2 [C(\mu, \chi,t)&+D(\mu)]+\ln\biggl(\frac{c_1}{c_2}\biggr)={} \nonumber\\ &=l_0^{-1}[q - V t-q_0 + q_r (v_A, v_M)]+i [\omega t - \tilde{p} q+\alpha_0+\alpha_r (v_A, v_M)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.25}
$$
Величины
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, V=\frac{l_0}{k}\operatorname{Im} \operatorname{dn}(\mu), \qquad l_0^{-1}=-\frac{2}{k}\operatorname{Im} p(\mu)>0, \\ \tilde{p}=\frac{2}{k}\operatorname{Re} p(\mu),\qquad \omega=\frac{1}{k}\operatorname{Re} \operatorname{dn}(\mu), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.26}
$$
где $\mu$ – комплексный параметр, определяют свойства бризера при отсутствии излучения: его скорость, ширину стенок, ограничивающих ядро бризера, волновое число и частоту пульсаций соответственно. Постоянные $q_0$, $\alpha_0$ конкретизируют положение центра бризера и начальную фазу его пульсаций при $t=0$ в отсутствие излучения. Комплексное поле зависящее от “медленных” переменных $v_{A, M}(q, t)$, описывает дрейф солитона и нелинейный сдвиг его частоты в поле излучения. Если излучение отсутствует, то выражение (5.27) обращается в нуль и решение (5.23) упрощается:
$$
\begin{equation}
\Phi=\Phi_b |_{D(\mu)=0}=-2i\ln \biggl[e^{i \varphi_{\Delta_0}/2} \frac{N}{N^*} \biggr]\biggl|_{D(\mu)=0}.
\end{equation}
\tag{5.28}
$$
Подробный анализ солитона (5.28) в доменной структуре без волнового поля выполнен в [5], [16]. Подобно кинку бризер (5.28) является элементарным переносчиком макроскопических трансляций доменной структуры. На больших расстояниях справа и слева от ядра бризера доменная структура сдвигается на величину $\mp \rho$:
$$
\begin{equation}
\Phi_b |_{D=0} \to \varphi_\pm (\chi)=\pi - 2 \operatorname{am} (\chi+\Delta_0 \mp \rho, k),\qquad q-q_0 \to \pm \infty,
\end{equation}
\tag{5.29}
$$
где $\rho = -\mu-\mu^*$. Здесь мы учли, что
$$
\begin{equation*}
\frac{N}{N^*}\biggl|_{D=0} \to \exp[-2\operatorname{am} (\chi+\Delta_0 \mp \rho, k) +2\operatorname{am} (\chi+\Delta_0, k)], \qquad q-q_0 \to \pm \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
В отличие от кинка, бризер (5.28) может быть не только движущимся, но и неподвижным. Бризер неподвижен при значениях $\mu=-\rho/2$, $\mu=\pm 2i K'-\rho/2$ ($|\lambda_1|=1$, $\lambda_1\neq i$). Если ядро неподвижного бризера находится в середине одного из доменов структуры, то оно отодвигает от себя соседние доменные стенки структуры. В результате образуется протяженный домен, который служит резонатором для пульсаций ядра бризера. Пульсации ядра индуцируют малые колебания прилегающих к нему соседних доменных границ структуры. При сравнительно малых скоростях солитона его движение выглядит как перемещение длинного домена вдоль полосовой структуры. Когда скорость бризера больше фазовой скорости пульсаций в его ядре, наблюдаются значительные деформации доменной структуры. К ядру движущегося солитона начинают периодически примыкать “предвестники” и “хвосты” из колеблющихся доменных стенок структуры [5], [16]. Нелинейная интерференция бризера и диспергирующего волнового поля проявляется в дополнительных релаксационных колебаниях солитона, которые уширяют его ядро и убывают со временем по закону $\propto t^{-1/2}$. На больших расстояниях от центра бризера при $q\ll q_0$ ($q\gg q_0$) справедливы формулы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_{11}^S M_{21}^S &-\frac{4i \kappa \kappa' \lambda_S}{|\lambda_S-\lambda_1|^2} \biggl[\frac{B_\theta^S}{N}-\biggl(\frac{B_{-\theta}^S}{N} \biggr)^* \biggr]\to {} \\ &\qquad\qquad\qquad\to M_{11}(u_S, \chi+\Delta_0 \mp \rho) M_{21}(u_S, \chi+\Delta_0 \mp \rho) e^{if^S_\pm}, \\ f_{+}^S &= (f_{+}^S)^*=-f_{-}^S ={}\\ & = -i \ln \biggl[\frac{\sigma(\mu-u_S) \sigma(\mu^*-u_S-2 i K')}{\sigma(\mu^*+u_S) \sigma(\mu+u_S +2 i K')}e^{((2 \eta_1/K)u_S+\eta_3)(\mu+\mu^*) }\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.30}
$$
Поэтому волновое поле справа (слева) от бризера имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Phi \to \varphi_\pm+4 \sum_{S=A,M}{\varepsilon_S \sqrt{\frac{\nu_S}{\gamma_S t}}}R_S^{(\pm)} \quad\text{при}\quad q-q_0 \to \pm \infty, \\ R_S^{(\pm)} = 2 (\operatorname{dn} u_S-1) \operatorname{Re}(M_{21}(u_S, \chi+\Delta_0 \mp \rho) M_{11}(u_S, \chi+\Delta_0 \mp \rho) e^{i(\theta_S + f^S_\pm)} ). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что бризер сдвигает начальное излучение (3.34) вместе с доменами на величину $-2 \rho = 2(\mu+\mu^*)$ по координате $\chi$. Волновые цуги активационных и бесщелевых мод после прохождения бризера приобретают фазовые сдвиги $2 f^A_{+}$ и $2 f_{+}^{M}$, которые медленно меняются в пространстве и времени. Явный вид $f^A_{+}$ и $f_{+}^{M}$ дает последняя из формул (5.30) при $S=A,M$. Поясним вывод первого из соотношений (5.30). Его правая часть выражена через переменные $\chi$, $\mu$, $\mu^*$, $u_S$, а левая содержит дополнительные переменные $\lambda_1$, $\lambda_1^*$, $\lambda_S$ в виде комбинации
$$
\begin{equation*}
J=\frac{4i \kappa \kappa' \lambda_S}{|\lambda_S-\lambda_1|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Величины $\lambda_1$, $\lambda_1^*$, $\lambda_S$, а вместе с ними и множитель $J$, представляют собой двоякопериодические мероморфные функции по переменным $\mu$, $\mu^*$, $u_S$. Для алгебраических преобразований полезны их представления через сигма-функции Вейерштрасса с периодами $[2K, 4iK']$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \lambda_1^* =e^{i\operatorname{am}(\mu, k)}=-\frac{\sigma(\mu-i K')}{\sigma(\mu+i K')}e^{\eta_3 \mu},\qquad \lambda_S =e^{i\operatorname{am}(u_S, k)},\\ J = \biggl(\frac{k}{2}\biggr)^2 \frac{\sigma(\mu+\mu^*) \sigma(\mu-\mu^*+2 i K') \sigma^4 (u_S+i K')}{|\sigma(\mu-\mu_S)|^2 |\sigma(\mu-\mu_S+2 i K')|^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При записи выражения для $J$ мы учли тождество $2/k=-i \sigma(2iK') e^{-i K' \eta_3}$. После перехода к пределам $q\ll q_0$ ($q\gg q_0$) в левой части первой из формул (5.30) отношения $n_1/n_2$ и $n_1^*/n_2^*$ не содержат экспоненциальных множителей и могут быть аналитически продолжены по переменной $\chi$ с вещественной оси в комплексную плоскость. Тогда они станут мероморфными функциями от $\chi$, $\mu$, $\mu^*$. В конечном счете доказательство справедливости асимптотических формул (5.30) сводится к проверке эквивалентности разложений по нулям и полюсам мероморфных по переменным $\chi$, $\mu$, $\mu^*$, $u_S$ функций, через которые выражается правая часть первого соотношения (5.30) [11]. Волновое поле смещает центр бризера на величину $q_r$ и приводит к изменению фазы $\alpha_r$ пульсаций его ядра (см. (5.25)). Поправки $q_r$, $\alpha_r$ зависят от пространственной координаты и времени. Отсюда, в частности, следует, что неподвижный в отсутствие излучения бризер ($\mu=-\rho/2$, $\mu =\pm 2 i K'-\rho/2$, $|\lambda_1|=1$, $\lambda_1 \ne i$) из-за наличия волнового поля начинает двигаться со скоростью
$$
\begin{equation}
V_r =-\partial_t q_r = \frac{l_0}{\pi}[\ln n(i v) g(\mu, v_A) \partial_t v_A - \ln n(i v-K) g(\mu+K, v_M) \partial_t v_M],
\end{equation}
\tag{5.31}
$$
где введены обозначения
$$
\begin{equation*}
g(\mu, v)\equiv \operatorname{Re}[f(\mu, v)]=Z(\rho/2, k)+\frac{k^2 scd(s')^2}{1-d^2 (s')^2}+\frac{scd [(c')^2-(s' d')^2]}{[1-d^2 (s')^2][s^2+c^2 (s')^2]},
\end{equation*}
\notag
$$
$s=\operatorname{sn}(\rho/2, k)$, $c=\operatorname{cn}(\rho/2, k)$, $d=\operatorname{dn}(\rho/2, k)$, $s'=\operatorname{sn}(v, k')$, $c'=\operatorname{cn}(v, k')$, $d'=\operatorname{dn}(v, k')$. Пусть излучение находится преимущественно слева от бризера: $q_0\gg 1$ ($q/t=O(1)$, $t^2-q^2>0$). Тогда в правой части формулы (5.31) можно заменить $q$ на $q_0$. Справедливы неравенства
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_t v_A|_{q=q_0} = -\frac{1}{t\gamma_A}\frac{k\operatorname{sn}(v_A, k')}{\mathrm{cn^2}(v_A, k')}<0, \qquad \partial_t v_M|_{q=q_0} = -\frac{1}{t\gamma_M}\frac{k' k\operatorname{sn}(v_M, k')}{\operatorname{dn}^2 (v_M, k')}<0,\\ \ln n(i v) >0, \qquad \ln n(i v-K)<0, \qquad g(\mu, v_A)>0, \quad g(\mu+K, v_M)<0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.32}
$$
Поэтому из (5.31), (5.32) следует, что первоначально неподвижный бризер вначале будет двигаться навстречу излучению активационных мод со скоростью, меняющейся со временем по закону
$$
\begin{equation}
V_r=-\frac{c_a}{t}, \qquad c_a \approx \mathrm{const}>0.
\end{equation}
\tag{5.33}
$$
Последующее взаимодействие бризера с более медленными бесщелевыми модами гасит этот эффект и ускоряет солитон в направлении движения обоих цугов. В длиннопериодических доменных структурах (при $k \to 1$) влияние на солитон бесщелевых мод проявляется слабее. Закономерность (5.33) подтверждается численным экспериментом. Пусть доменная структура описывается амплитудой Якоби (1.5) с модулем $k=k_2 = 0.9994$. Напомним, что тогда длина $L_0$ домена связана с толщиной $l_0$ доменной границы соотношением $L_0 \approx 9.5 l_0$. Неподвижный бризер (5.28) ($\mu=-\rho/2$) параметризуется величиной $0<\rho<2 K$. Выберем для $\rho$ промежуточное значение Анализ показывает, что выбор (5.34) позволяет полностью перейти в решении (5.28) от сигма-функций Вейерштрасса к эллиптическим функциям Якоби. Для определенности поместим бризер в середину домена (в точку $x_0=200$). Для генерации поля излучения в начальный момент времени $t=0$ добавим к решению (5.28) гауссов импульс вида
$$
\begin{equation}
A e^{-(x-x_1)^2/b^2},\qquad A=1, \quad b=10,\quad x_1=100.
\end{equation}
\tag{5.35}
$$
 Рис. 8.Смещение центра бризера (5.28), (5.34) со временем в поле излучения. По оси абсцисс отложено время, по оси ординат – координата центра бризера. Результаты численного счета приведены на рис. 8. Точками на рисунке указано фактическое положение бризера, полученное путем подгонки параметров в выражениях (5.28), (5.34) к численному решению уравнения синус-Гордон (1.2) методом наименьших квадратов. Разброс точек обусловлен взаимодействием бризера с полем излучения. Сплошная кривая соответствует их среднему значению. Значения $A$ и $b$ подобраны так, что со временем начальный импульс (5.35) целиком распадается на два волновых пакета, бегущих в противоположных направлениях, – без образования каких-либо добавочных солитонов (бризеров или кинков). В момент времени $t \approx 180$ распространяющийся вправо волновой пакет доходит до бризера (5.28), (5.34) и, проходя сквозь бризер, сдвигает его за время $\Delta t \backsim 200$ навстречу себе на величину $\Delta x =0.2$. К моменту времени $t \approx 400$ волновой пакет оказывается справа от бризера и вместе с подошедшим слева более слабым цугом бесщелевых мод замедляет и останавливает бризер. К моменту времени $t \approx 650$ бризера достигает второй волновой пакет активационных мод, отразившийся от левой границы расчетной области, и за время $\Delta t \backsim 350$ вновь смещает бризер влево на величину $\Delta x \approx 0.1$. При $t=1000$ все волновое поле оказывается преимущественно справа от бризера и за время $\Delta t \backsim 400$ сдвигает бризер вправо на расстояние $\Delta x \approx 0.15$. 6. ЗаключениеВ настоящей работе прямой асимптотический анализ матричной задачи Римана на торе и метод одевания использованы для построения аналитических решений модели синус-Гордон, которые описывают нелинейную интерференцию солитонов и диспергирующих волн в полосовой доменной структуре. Мы распространили асимптотическую технику работ [24]–[26] на новый практически важный класс задач. Ранее рассматривались сравнительно простые асимптотические условия типа ступеньки [27]–[30]. В нашем случае фоновым состоянием среды служит “лестница” из ступенек в форме $2\pi$-кинков. Хотя образование солитонов всегда сопровождается макроскопическим сдвигом решетки $2\pi$-кинков, в отсутствие солитонов локализованное волновое поле $\Phi(q, t)$ не порождает результирующего сдвига доменной структуры. Поэтому вспомогательная задача по построению в бессолитоном секторе асимптотических формул для диспергирующих волн и “затравочных” матриц задачи Римана решается при краевых условиях
$$
\begin{equation*}
\Phi(q, t) \to \varphi_0 (\chi) \quad \text{при} \quad q \to \pm \infty,
\end{equation*}
\notag
$$
где функция $\varphi_0 (\chi)$ определена формулой (1.5). Наличие полосовых доменов проявляется в том, что задача Римана формулируется не в комплексной плоскости спектрального параметра, как это было при всех предыдущих применениях техники наискорейшего спуска, а на римановой поверхности, топологически эквивалентной тору. Аналитическое описание новых сильно коррелированных состояний модели синус-Гордон (1.2) вскрывает неразрывную связь между солитонами, волновым полем и доменной структурой. Полученные результаты позволяют выбрать стратегию моделирования явлений и процессов в системе солитонов и волн доменной структуры. Асимптотические решения полезны для верификации численных расчетов. Они могут лечь в основу экспериментов по проверке предсказаний теории. Наличие сложных математических формул затрудняет понимание физических выводов. Поэтому в этом разделе мы сформулируем наиболее важные утверждения и аналитические ответы для наблюдаемых величин. При сравнительно слабых внешних воздействиях в доменной структуре возбуждаются только диспергирующие волны. Спектр линейных волн имеет две ветви – это бесщелевые внутриграничные колебания доменной структуры и активационные внутридоменные колебания намагниченности. На больших временах любое локализованное возмущение доменной структуры порождает два цуга слабонелинейных спиновых волн, движущихся с разными групповыми скоростями. Бесщелевые моды движутся медленнее активационных, поэтому существуют области пространства и времени, в которых два волновых цуга перекрываются, и есть области, где активационные волны обгоняют бесщелевые. В работе построены универсальные асимптотические формулы для цугов активационных и бесщелевых мод, которые формируются в доменной структуре на больших временах из произвольных начальных возмущений доменной структуры, не содержащих солитонов. Найдены волновые поля в области перекрытия цугов (3.34), а также вблизи и впереди фронта более медленного цуга бесщелевых мод (4.13). Спин-волновое поле смещает доменную структуру в том числе вместе с солитонами, если они есть, на величину $\Delta_0$ по координате $\chi=x/k$. В зависимости от перекрытия или разделения цугов смещение $\Delta_0$ определяется формулами (3.7) или (4.3). В любом случае вне волнового поля $\Delta_0=0$. Взаимодействие диспергирующих волн проявляется в перенормировке амплитуды и фазы соответствующих волновых пакетов линеаризованной теории, а также в появлении новых вкладов в фазу слабонелинейных цугов, которые зависят от времени логарифмически (в случае перекрытия цугов см. формулы (3.18), (3.26), (3.32)). Предложенная в работе модификация метода наискорейшего нелинейного спуска для задачи Римана на торе (2.9) позволила не только найти асимптотические при $t \to +\infty$ формулы для волновых полей, но и вычислить соответствующие им матричные функции (3.36), (4.14) задачи Римана. Матричные функции дают асимптотические при $t \to +\infty$ решения вспомогательной линейной системы (1.3) в областях формирования волновых цугов в отсутствие солитонов. В контексте метода одевания они используются в качестве “затравочных” решений для построения новых решений калибровочно-эквивалентной (1.3) системы (5.1) при наличии в доменной структуре солитонов и сформировавшегося на больших временах излучения. В свою очередь, это позволяет реконструировать аналитические решения (5.7) исходной модели синус-Гордон (1.2), которые описывают нелинейную интерференцию солитонов и волн в областях (3.5) доменной структуры, где поля излучения обладают наибольшей амплитудой. Солитоны возбуждаются в доменной структуре при значительных внешних воздействиях. Они делятся на два класса. Первый из них включает лишние доменные стенки ($2\pi$-кинки и антикинки) в доменной структуре (в решетке из одинаковых доменных стенок – $2 \pi$-кинков). Внутреннее строение и динамические свойства одиночного кинка определяет комплексный параметр $\xi_1 = i K' - \tau_1$, $0<\tau_1 <K$ (нуль задачи Римана). Через $\xi_1$ выражаются все наблюдаемые величины. В отсутствие излучения такими величинами являются размер кинка и скорость его движения в доменной структуре (5.15). Наряду со сдвигом всех доменов на период кинк порождает макроскопическую трансляцию доменной структуры на величину $\Delta = - 2 \tau_1$ по координате $\chi=q/k$, которая перемещается вместе с солитоном. Результирующая дилатация $\Delta = - 2 \tau_1$ полосовой структуры сохраняется и при наличии излучения, так как из-за образования кинка доменная структура сдвигается вместе с волновым полем, а деформация доменов волновым полем $\Delta_0$ стремится к нулю при $|\chi| \to \infty$. Для экспериментальной проверки выводов теории следует заменить параметр $\xi_1 = i K' - \tau_1$ подходящими наблюдаемыми величинами. Например, вместо $\tau_1$ использовать дилатацию $\Delta = - 2 \tau_1$ доменной структуры, а значение $K'=K(k')$ выразить через длину домена $L_0 =2 K(k) k$. Взаимодействие кинка с диспергирующими волнами проявляется в его релаксационных колебаниях, затухающих со временем по закону $\propto t^{-1/2}$. Центр кинка из-за взаимодействия с волновым полем смещается на величину $q_r$ (5.19), которая зависит от солитонного параметра $\xi_1$ и медленно меняется в пространстве и времени. Это проявляется в изменении толщины кинка и его дрейфе в поле излучения (5.20), (5.21). Особенность кинка (лишней доменной стенки) в доменной структуре состоит в том, что такой солитон всегда движется. Малое изменение его скорости, индуцированное полем излучения, трудно измерить. В то же время именно движение лишней доменной стенки позволяет легко обнаружить ее в решетке из неподвижных доменных стенок полосовой структуры. В работе показано, что после прохождения через кинк активационный и бесщелевой цуги приобретают фазовые сдвиги $2f_A$ и $2f_M$ соответственно. Величины $f_A$ и $f_M$ (5.18) зависят от параметра $\xi_1$ солитона и медленно меняются в пространстве и времени. Второй класс солитонов содержит пульсирующие частицеподобные объекты – бризеры. Строение и динамические свойства одиночного бризера определяет комплексный параметр $\mu=i \theta - \rho/2$, $|\theta| \leqslant 2 K'$, $0 < \rho < 2 K$. Через $\mu$ выражаются все параметры солитона. Так, при отсутствии излучения формулы (5.26) определяют скорость его движения вдоль доменной структуры, ширину стенок, ограничивающих ядро бризера, а также волновое число и частоту пульсаций поля $\Phi$ в ядре бризера. В отсутствие излучения при значениях $\mu=-\rho/2$, $\mu = \pm 2 i K'-\rho/2$ бризер является неподвижным. Для экспериментальной проверки результатов теории вместо формальных параметров $\theta$ и $\rho$ следует использовать наблюдаемые величины. Для движущегося бризера такими величинами могут быть дилатация доменной структуры и скорость движения солитона в отсутствие излучения. Для неподвижного солитона вместо $\rho$ можно использовать дилатацию $\Delta=-2 \rho$ или частоту пульсаций бризера. Измерение частоты неподвижного бризера облегчается тем, что она лежит в энергетической щели спектра спиновых волн [38]. Волновое поле смещает центр бризера на величину $q_r$ и приводит к изменению фазы $\alpha_r$ пульсаций его ядра (5.10), (5.27). Сдвиг положения солитона $q_r$ и изменение фазы $\alpha_r$ зависят от солитонного параметра $\mu$ и медленно меняются в пространстве и времени. Поэтому неподвижный в отсутствие излучения бризер при наличии волнового поля начинает двигаться со скоростью (5.31). Индуцированное излучением движение солитонов может играть решающую роль в работе устройств сверхплотной записи, хранения и считывания информации на магнитных солитонах. Вокруг ядра бризера, релаксирующего к стационарному состоянию по закону $\propto t^{-1/2}$, формируются области локализованных колебаний поля. Вне этих областей фаза волнового поля и доменная структура претерпевают регулярные изменения, которые характеризуют тип и свойства солитона. Как и в случае кинка, полная дилатация $\Delta=-2 \rho$ доменной структуры по координате $\chi=q/k$ из-за образования в ней бризера сохраняется и при наличии волнового поля. Активационный и бесщелевой цуги после прохождения через бризер приобретают фазовые сдвиги $2 f_{+}^A$ и $2 f_{-}^M$ (5.30), которые зависят от солитонного параметра $\mu$ и медленно меняются в пространстве и времени. Измерения дилатации доменной структуры из-за образования в ней солитонов и фазовых сдвигов у волновых цугов после их прохождения через солитоны можно использовать для обнаружения и диагностики кинков и бризеров в доменной структуре. БлагодарностиАвторы благодарны А. А. Расковалову и Д. В. Долгих за помощь в подготовке рукописи к печати. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KisBat23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|