Теоретическая и математическая физика
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS


ТМФ:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти




Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация

Теоретическая и математическая физика, 2023, том 214, номер 1, страницы 102–121
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10301 (Mi tmf10301) 		 
Преобразование Прюфера и его применение к численному описанию движения квантовых частиц с различными спинами в полях классических черных дыр

В. П. Незнамов, И. И. Сафронов, В. Е. Шемарулин

Российский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики, Саров, Россия
PDF полного текста (824 kB) Полный текст в HTML
Список литературы:
PDF
HTML
DOI: https://doi.org/10.4213/tmf10301
Аннотация: Устойчивое и надежное численное интегрирование радиальных уравнений второго порядка в полях классических черных дыр можно осуществить с помощью преобразования Прюфера и перехода к использованию фазовых функций. Такой переход позволяет однозначно выделять в численных расчетах решения с физическими асимптотиками.
Ключевые слова: стационарные состояния, черные дыры, уравнения второго порядка, преобразование Прюфера и фазовые функции, особые точки и их классификация.
Поступило в редакцию: 15.04.2022
После доработки: 27.06.2022
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 214, Issue 1, Pages 89–105
DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923010051
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья

1. Введение

В работах [1]–[4] для квантово-механического описания движения фермионов в полях классических черных дыр использовалось самосопряженное уравнение второго порядка со спинорными волновыми функциями. В работах [5], [6] это уравнение применялось в плоском пространстве-времени для решения задач квантовой механики в притягивающих и отталкивающих кулоновских полях. В работах [7], [8] на основе уравнения второго порядка со спинорными волновыми функциями представлена квантовая электродинамика с вычислением некоторых физических эффектов.

В работе [9] мы показали отсутствие стационарных состояний скалярных частиц, фотонов и фермионов в полях классических черных дыр. Причиной этого является сингулярность эффективного потенциала в окрестности горизонтов событий, приводящая к существованию неприемлемого для квантовой механики режима “падения” частиц на горизонты событий [10]–[12]. Исключение составляют вырожденные стационарные состояния скалярных частиц, фотонов и фермионов с энергиями $E_\mathrm{st}$. Волновые функции этих состояний обращаются в нуль на горизонтах событий.

В настоящей работе мы исследуем численные решения по определению волновых функций вырожденных стационарных связанных состояний фермионов, фотонов и скалярных частиц в полях черных дыр. Мы доказываем единственность отбора численных решений с физическими асимптотиками, применяя преобразование Прюфера и переход к использованию фазовых функций [13], [14].

2. Стационарные решения фермионных уравнений второго порядка в полях классических черных дыр

Ниже мы рассмотрим черные дыры Шварцшильда (S), Райсснера–Нордстрё- ма (RN), Керра (K) и Керра–Ньюмена (KN).

Стационарная метрика Керра–Ньюмена характеризуется точечным источником с массой $M$ и зарядом $Q$, вращающимся с угловым моментом $J=Mca$. Для метрики Керра $Q=0$, для метрики Райсснера–Нордстрёма $J=0$, для метрики Шварцшильда $Q=0$, $J=0$.

Мы используем следующие обозначения: $r_0 =2GM/c^2$ – гравитационный радиус поля Шварцшильда, $r_\pm $ – радиусы внешнего и внутреннего горизонтов событий (для метрики Шварцшильда $r_+ =r_0$, $r_- =0$), $G$ – гравитационная постоянная, $c$ – скорость света, для метрик Райсснера–Нордстрёма и Керра–Ньюмена $r_Q =\sqrt{G} Q/c^2$.

Также мы используем безразмерные переменные: $\varepsilon =E/mc^2$, $\rho =r/l_\mathrm{c}$, где $E$, $m$ – энергия и масса квантовой частицы, $l_\mathrm{c} =\hbar/mc$ – комптоновская длина волны квантовой частицы,

$$ \begin{equation*} \begin{gathered} \, \alpha =\frac{r_0}{2l_\mathrm{c}}=\frac{GMm}{\hbar c}=\frac{Mm}{M_\mathrm{P}^2},\qquad \alpha_Q =\frac{r_Q}{l_\mathrm{c}}=\frac{\sqrt{G}Qm}{\hbar c}=\frac{\sqrt{\alpha_\mathrm{fs}}}{M_\mathrm{P}}m\frac{Q}{e}, \\ \alpha_a =\frac{a}{l_\mathrm{c}},\qquad \alpha_\mathrm{em} =\frac{qQ}{\hbar c}=\alpha_\mathrm{fs} \frac{qQ}{e^2}, \end{gathered} \end{equation*} \notag $$
где $M_\mathrm{P} =\sqrt{\frac{\hbar c}{G}} =2.2\cdot 10^{-5}$ г ($1.2\cdot 10^{19}$ ГэВ/с$^2$) – планковская масса, $\alpha_\mathrm{fs} =\frac{e^2}{\hbar c}\approx \frac{1}{137}$ – электромагнитная постоянная тонкой структуры, $\alpha$, $\alpha_\mathrm{em}$ – гравитационная и электромагнитная константы связи, $\alpha_Q$, $\alpha_a$ – безразмерные константы, характеризующие источник электромагнитного поля с зарядом $Q$ в метриках Райсснера–Нордстрёма и Керра–Ньюмена и отношение углового момента $J$ к $Mc$ в метриках Керра и Керра–Ньюмена.

Ниже мы используем систему единиц с $\hbar =c=1$.

После разделения переменных уравнение второго порядка для радиальной спинорной функции можно записать в виде [1]–[8]

$$ \begin{equation} \frac{d^2\psi}{d\rho^2}+2(E_\mathrm{Schr} -U_\mathrm{eff})\psi=0, \end{equation} \tag{1} $$
где $E_\mathrm{Schr} =(\varepsilon^2-1)/2$. Явный вид эффективных потенциалов $U_\mathrm{eff}$ для рассматриваемых метрик получен и приведен в работах [2]–[4], [9].

В эффективных потенциалах присутствует функция $\omega(\rho,\varepsilon)$, зависящая от энергии частицы1:

$$ \begin{equation} \omega_\mathrm{KN} =\varepsilon \biggl(1+\frac{\alpha_a^2}{\rho^2}\biggr)-\frac{\alpha_a m_\varphi}{\rho^2}-\frac{\alpha_\mathrm{em}}{\rho}, \end{equation} \tag{2} $$
$$ \begin{equation} \omega_\mathrm{K} =\varepsilon \biggl(1+\frac{\alpha_a^2}{\rho^2}\biggr)-\frac{\alpha_a m_\varphi}{\rho^2}, \end{equation} \tag{3} $$
$$ \begin{equation} \omega_\mathrm{RN} =\varepsilon -\frac{\alpha_\mathrm{em}}{\rho}, \end{equation} \tag{4} $$
$$ \begin{equation} \omega_\mathrm{S} =\varepsilon, \end{equation} \tag{5} $$
где $m_\varphi =-j,-j+1,\dots,j$ – проекция полного момента $j$.

Если на горизонтах событий $\omega(\rho_\pm,\varepsilon)\ne 0$, то для всех черных дыр существует неприемлемый для квантовой механики режим “падения” частиц на горизонты событий [10]–[12]. Здесь $(\rho_\pm)_\mathrm{KN} =\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 -\alpha_Q^2 -\alpha_a^2}$, $(\rho_\pm)_\mathrm{K} =\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 -\alpha_a^2}$, $(\rho_\pm)_\mathrm{RN} =\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 -\alpha_Q^2}$, $(\rho_+)_\mathrm{S} =2\alpha$, $(\rho_-)_\mathrm{S} =0$.

В случае $\omega(\rho_\pm,\varepsilon)=0$ для всех черных дыр в окрестностях горизонтов событий существует потенциальная яма:

$$ \begin{equation} U_\mathrm{eff}|_{\rho \to \rho_\pm} =-\frac{3}{32}\frac{1}{(\rho -\rho_\pm)^2}. \end{equation} \tag{6} $$
Здесь коэффициент $\frac{3}{32}<\frac{1}{8}$, что свидетельствует об отсутствии режима “падения” частиц на горизонты событий.

Энергии стационарных состояний для различных черных дыр в соответствии с (2)–(5) равны

$$ \begin{equation} \varepsilon_\mathrm{KN} =\frac{\alpha_a m_\varphi +\alpha_\mathrm{em}}{\alpha_a^2 +(\rho_\pm)^2}, \end{equation} \tag{7} $$
$$ \begin{equation} \varepsilon_\mathrm{K} =\frac{\alpha_a m_\varphi}{\alpha_a^2 +(\rho_\pm)^2}, \end{equation} \tag{8} $$
$$ \begin{equation} \varepsilon_\mathrm{RN} =\frac{\alpha_\mathrm{em}}{\rho_\pm}, \end{equation} \tag{9} $$
$$ \begin{equation} \varepsilon_\mathrm{S} =0. \end{equation} \tag{10} $$
Асимптотики решений уравнения (1) при $\rho \to \infty$ имеют вид
$$ \begin{equation} \psi|_{\rho \to \infty} =C_1 \chi_1 (\rho)e^{-\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}+C_2 \chi_2 (\rho)e^{\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}, \end{equation} \tag{11} $$
где $\chi_1(\rho)$, $\chi_2(\rho)$ – степенные функции от $\rho$.

Асимптотики решений уравнения (1) при $\rho \to \rho_\pm$ с учетом ведущей особенности эффективного потенциала (см. (6)) имеют вид

$$ \begin{equation} \psi|_{\rho \to \rho_\pm} =C_3 |\rho -\rho_\pm|^{1/4} +C_4 |\rho -\rho_\pm|^{3/4}. \end{equation} \tag{12} $$
Для стационарных связанных состояний с экспоненциально спадающими решениями при $\rho \to \infty$ и с асимптотиками решений в окрестностях горизонтов событий $\psi \sim |\rho -\rho_\pm|^{1/4}$ (см. [2]–[4]) мы должны положить в (11), (12) константы $C_2$ и $C_4$ равными нулю. В этой связи возникает два вопроса: существуют ли такие решения уравнения (1) и возможен ли однозначный выбор таких решений в численных расчетах.

2.1. Модельное уравнение второго порядка

Для ответа на поставленные выше вопросы рассмотрим модельное уравнение, отражающее основные особенности уравнения (1) при $\rho \to \infty$ и $\rho \to \rho_\pm$:

$$ \begin{equation} \frac{d^2\psi}{d\rho^2}+\frac{3}{16\rho^2}\psi +(\varepsilon^2-1)\psi =0. \end{equation} \tag{13} $$
В наших дискуссиях уравнение (13) предложено для анализа М. Н. Смоляковым. В уравнении (13) присутствуют асимптотики (11), (12) с заменой разности $|\rho -\rho_\pm|$ на $\rho$.

В случае $\varepsilon =0$ (метрика Шварцшильда, см. (10)) уравнение (13) имеет аналитическое решение

$$ \begin{equation} \psi(\rho)=C_3 \sqrt{\rho} K_{1/4}(\rho)+C_4 \sqrt{\rho} I_{1/4}(\rho). \end{equation} \tag{14} $$
Здесь $I_{1/4}(\rho)$ и $K_{1/4}(\rho)$ – модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда с асимптотиками
$$ \begin{equation} \sqrt{\rho} K_{1/4}(\rho) : \begin{cases} e^{-\rho}, & \rho \to \infty , \\ \rho^{1/4}, & \rho \to 0, \end{cases} \end{equation} \tag{15} $$
$$ \begin{equation} \sqrt{\rho} I_{1/4}(\rho) : \begin{cases} e^\rho, & \rho \to \infty, \\ \rho^{3/4}, & \rho \to 0. \end{cases} \end{equation} \tag{16} $$
Видно, что если в (14) $C_4 =0$, то остается искомое решение для стационарного связанного состояния $\varepsilon =0$, экспоненциально спадающее при $\rho \to \infty$, и $\sim \rho^{1/4}$ при $\rho \to 0$.

В случае $\varepsilon \ne 0$ (см. (7)–(9)), решения уравнения (13) имеют асимптотики (11) при $\rho \to \infty$ и асимптотики (15), (16) при $\rho \to 0$. Очевидно, для стационарных связанных состояний с энергиями (7)–(9) также существуют собственные функции с асимптотиками $\sim \rho^{1/4}$ при $\rho \to 0$ и экспоненциально спадающие при $\rho \to \infty$. Ниже мы приводим эти решения, полученные в численных расчетах. Мы можем с достаточной уверенностью сделать аналогичный вывод и для решений уравнения (1). Для окончательного доказательства этого вывода и для решения вопроса об отборе решений с физическими асимптотиками в численных расчетах обратимся к использованию фазовых функций в квантовой теории [13], [14], [2]–[4].

2.2. Преобразование Прюфера и фазовые функции

К уравнению (1) применим преобразование Прюфера. Пусть

$$ \begin{equation} \psi(\rho) =P(\rho)\sin \Phi(\rho), \end{equation} \tag{17} $$
$$ \begin{equation} \frac{d\psi(\rho)}{d\rho} =P(\rho)\cos \Phi (\rho). \end{equation} \tag{18} $$
Тогда
$$ \begin{equation} \psi (\rho) \biggl/ \frac{d\psi(\rho)}{d\rho}= \operatorname{tg} \Phi(\rho) \end{equation} \tag{19} $$
и уравнение (1) можно записать в виде
$$ \begin{equation} \frac{d\Phi}{d\rho} =\cos^2\Phi +2(E_\mathrm{Schr} -U_\mathrm{eff})\sin^2\Phi, \end{equation} \tag{20} $$
$$ \begin{equation} \frac{d\ln P}{d\rho} =(1-2(E_\mathrm{Schr} -U_\mathrm{eff}))\sin \Phi \cos \Phi. \end{equation} \tag{21} $$
Уравнение (21) должно решаться после определения собственных значений $\varepsilon _n$ и собственных функций $\Phi _n(\rho)$ из уравнения (20). Плотность вероятности обнаружения частиц на расстоянии $\rho$ в сферическом слое $d\rho$ равна
$$ \begin{equation} w(\rho)=P_n^2(\rho)\sin^2\Phi_n(\rho). \end{equation} \tag{22} $$

2.2.1. Асимптотики функций $\Phi(\rho)$, $P(\rho)$, $\psi(\rho)$

В табл. 1 приведены асимптотики решений уравнений (20), (21) и асимптотики (11), (12) для исходного уравнения (1).

Таблица 1.Асимптотики уравнений (1), (20), (21).

№$\Phi(\rho)$$(-1)^k\sin \Phi(\rho)$$P(\rho)$$\psi(\rho)$
1$\rho \to \infty$$- \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}+k\pi$$-\frac{1}{\sqrt{2-\varepsilon^2}}$$C'_1 \chi_1 (\rho)e^{-\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$$C_1 \chi _1(\rho)e^{-\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$
2$\rho \to \infty$$+ \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt {1-\varepsilon^2}}+k\pi$$\frac{1}{\sqrt{2-\varepsilon^2}}$$C'_2 \chi_2(\rho)e^{\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$$C_2 \chi_2(\rho)e^{\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$
3$\rho \to \rho_\pm $$4|\rho -\rho_\pm|+k\pi$$4|\rho -\rho_\pm|$$C'_3|\rho -\rho_\pm|^{-3/4}$$C_3|\rho -\rho_\pm|^{1/4}$
4$\rho \to \rho_\pm$$\frac{4}{3}|\rho -\rho_\pm|+k\pi$$\frac{4}{3}|\rho -\rho_\pm|$$C'_4|\rho -\rho_\pm|^{-1/4}$$C_4 |\rho -\rho_\pm|^{3/4}$
5$\rho \to 0$$\frac{2}{3}\rho +k\pi$$\frac{2}{3}\rho $$C'_5 \rho^{1/2}$$C_5 \rho^{3/2}$
6$\rho \to 0$$-2\rho +k\pi$$-2\rho$$C'_6 \rho^{-3/2}$$C_6 \rho^{-1/2}$

Первая, третья и пятая строки таблицы соответствуют асимптотикам решений уравнения (1) для стационарных связанных состояний с энергиями (7)–(10). Асимптотики в первой и третьей строках таблицы соответствуют области определения волновых функций $\rho \in [\rho_+,\infty)$; асимптотики в третьей и пятой строках таблицы соответствуют области $\rho \in (0,\rho_-]$. Анализ при $\rho \to 0$ применим только для метрики Райсснера–Нордстрёма. В этом случае $(U_\mathrm{eff})_\mathrm{RN}|_{\rho \to 0} =3/8\rho^2$ [3]. Для метрик Керра и Керра–Ньюмена эффективный потенциал конечен при $\rho =0$, и мы отбирали решения с физическими асимптотиками, используя двухлистную топологию рассматриваемых метрик (см. [4]).

2.2.2. Особые точки уравнений для фазовой функции

$\vphantom{\sum}$

1. Точка $\rho =0$. Анализ применим только для метрики Райсснера–Нордстрёма (см. п. 2.2.1).

В окрестности точки $\rho =0$ особенность $U_\mathrm{eff}|_{\rho \to 0} =\frac{3}{8}\frac{1}{\rho^2}$. Поэтому уравнение (20) для фазовой функции можно переписать в виде

$$ \begin{equation} \frac{d\Phi}{d\rho}=\frac{\rho^2\cos^2\Phi +2(\rho^2E_\mathrm{Schr} -3/8+O(\rho))\sin^2\Phi}{\rho^2}. \end{equation} \tag{23} $$

Особые точки находятся из условий равенства нулю числителя и знаменателя правой части последнего уравнения. Следовательно, особыми являются точки, лежащие на оси ординат:

$$ \begin{equation*} (0,\Phi_k ), \qquad \Phi_k =k\pi,\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\dots\, . \end{equation*} \notag $$
Подстановкой соотношения $\Phi (\rho )\cong A\rho $ в уравнение (20) можно легко найти линейные асимптотики решений в окрестности точки $(\rho,\Phi)=(0,0)$:
$$ \begin{equation*} \frac{d\Phi}{d\rho} \biggl|_{\rho =0,\,\Phi =0} =A=1-\frac{3}{4}A^2, \qquad A_{1,2} =-2,\frac{2}{3}. \end{equation*} \notag $$

2. Точки $\rho =\rho _\pm$. В окрестностях точек $\rho =\rho _\pm$ особенность

$$ \begin{equation*} U_\mathrm{eff}|_{\rho \to \rho_\pm} =-\frac{3}{32}\frac{1}{(\rho -\rho_\pm)^2}. \end{equation*} \notag $$
Поэтому нахождение особых точек в этих случаях по существу не отличается от предыдущего случая $\rho =0$. Таким образом, в этих случаях особыми являются точки
$$ \begin{equation*} (\rho_\pm,\Phi_k), \qquad \Phi_k =k\pi,\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\dots\, . \end{equation*} \notag $$

Линейные асимптотики $\Phi(\rho)\cong A|\rho -\rho_\pm|$ решений в окрестностях точек $(\rho,\Phi)=(\rho_\pm,0)$ определяются из уравнения

$$ \begin{equation*} \frac{d\Phi}{d\rho} \biggl|_{\rho =\rho_\pm,\,\Phi=0} =A=1+\frac{3}{16}A^2. \end{equation*} \notag $$
Следовательно, угловые коэффициенты $A_{1,2}=4,4/3$.

3. Точка $\rho =\infty$. Поведение эффективного потенциала $U_\mathrm{eff}$ на бесконечности описывается асимптотической формулой

$$ \begin{equation} U_\mathrm{eff}|_{\rho \to \infty} =\frac{c}{\rho}+O\biggl(\frac{1}{\rho^2}\biggr),\qquad c=\mathrm{const}. \end{equation} \tag{24} $$
Преобразование $\xi =1/\rho$ переводит точку $\rho =\infty$ в нуль, а уравнение (20) – в уравнение
$$ \begin{equation} -\xi^2\frac{d\Phi}{d\xi}=\cos^2\Phi +2(E_\mathrm{Schr} -U_\mathrm{eff})\sin^2\Phi. \end{equation} \tag{25} $$

На фазовой плоскости $(\xi,\Phi)$ точке $\xi =0$ отвечают особые точки соответствующей динамической системы, лежащие на оси ординат $(\xi,\Phi)=(0,\Phi_k^\pm)$, $k=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ . Из уравнения (25) следует, что при $\varepsilon \ne \pm 1$ асимптотические значения фазы $\Phi(\xi)|_{\xi \to 0}$ равны $\Phi_k^\pm =\pm \operatorname{arctg} ( 1/\sqrt{1-\varepsilon^2})+k\pi$.

2.2.3. Характер особых точек уравнения (20)

Характер особых точек определяется согласно хорошо известному алгоритму ([15], гл. 6; [16], стр. 441–442).

Представим уравнение (23) в виде

$$ \begin{equation*} \frac{d\Phi}{d\rho}=\frac{c\rho +d(\Phi -\Phi_k)+P_1(\rho,(\Phi-\Phi_k ))}{a\rho +b(\Phi -\Phi_k)+Q_1(\rho,(\Phi -\Phi_k ))}, \end{equation*} \notag $$
$a=b=c=d=0$, $P_1(\rho,(\Phi -\Phi_k))$ и $Q_1(\rho,(\Phi -\Phi_k ))$ – бесконечно малые второго порядка относительно $\rho$ и $(\Phi -\Phi_k)$. Определитель
$$ \begin{equation*} \Delta_k =\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{vmatrix}=0, \end{equation*} \notag $$
поэтому все точки $(0,\Phi_k)$ являются особыми точками высшего порядка.

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что и точки $(\rho_\pm,\Phi_k)$, $(\infty,\Phi_k^-)$ и $(\infty,\Phi_k^+)$ являются особыми точками высшего порядка.

В то же время поведение интегральных кривых уравнения (20) в окрестностях особых точек показывает, что точки $(0,\Phi_k)$ и $(\rho_\pm,\Phi_k)$ являются особыми точками, совмещающими особенности типов “узел” и “седло”, тогда как особые точки $(\infty,\Phi_k^-)$ являются регулярными “седловыми”, а особые точки $(\infty,\Phi_k^+)$ – регулярными “узловыми”.

2.2.4. Поведение интегральных кривых $\Phi =\Phi(\rho,C)$ уравнения (20) в окрестностях особых точек эффективного потенциала

Уравнение (20) для фазовой функции можно переписать в виде уравнения Риккати для $ \operatorname{tg} \Phi$:

$$ \begin{equation} \frac{d \operatorname{tg} \Phi}{d\rho}=1+2(E_\mathrm{Schr} -U_\mathrm{eff}) \operatorname{tg} ^2\Phi. \end{equation} \tag{26} $$

1. В окрестности точки $\rho =0$ особенность $U_\mathrm{eff}|_{\rho \to 0} =\frac{3}{8}\frac{1}{\rho^2}$ и уравнение (26) можно переписать в виде

$$ \begin{equation} \frac{d \operatorname{tg} \Phi}{d\rho}=1-\frac{3}{4}\frac{1}{\rho^2} \operatorname{tg} ^2\Phi. \end{equation} \tag{27} $$
Общее решение уравнения (27) имеет вид
$$ \begin{equation} \operatorname{tg} \Phi =\frac{2\rho (C\rho^2+1)}{3C\rho^2-1},\qquad C=\mathrm{const}. \end{equation} \tag{28} $$

Семейство $\Phi =\Phi(\rho,C)$ интегральных кривых (28) представлено на рис. 1. Верхняя сепаратриса $\Phi \approx (2/3)\rho$ соответствует значению $C=\pm \infty$, нижняя сепаратриса $\Phi \approx -2\rho$ – значению $C=0$. В окрестности нижней сепаратрисы поведение интегральных кривых характеризуется типом “узел”, над верхней сепаратрисой – типом “седло”. Видно, что в окрестности точки $\rho =0$ в “узловой” области все интегральные кривые касаются нижней сепаратрисы.

В случае существования двух горизонтов событий $\rho_\pm$ рассмотрим решения, в которых $\omega(\rho_\pm)=0$ (см. (2)–(5)).

2. В окрестности точки $\rho =\rho_-$ особенность $U_\mathrm{eff}|_{\rho \to \rho_-} =-\frac{3}{32}\frac{1}{(\rho -\rho_-)^2}$ и уравнение (26) можно переписать в виде

$$ \begin{equation} \frac{d \operatorname{tg} \Phi}{d\rho}=1+\frac{3}{16}\frac{1}{(\rho -\rho_-)^2} \operatorname{tg} ^2\Phi. \end{equation} \tag{29} $$
В области $\rho <\rho_-$ общее решение уравнения (29) имеет вид
$$ \begin{equation} \operatorname{tg} \Phi =\frac{4(\rho -\rho_-)(1-C\sqrt{\rho_- -\rho})}{1-3C\sqrt{\rho_- -\rho}},\qquad C=\mathrm{const}. \end{equation} \tag{30} $$

Семейство интегральных кривых $\Phi =\Phi (\rho -\rho_-,C)$ для метрик Райсснера–Нордстрёма представлено на рис. 2. Верхняя сепаратриса $\Phi \approx (-4/3)(\rho_- -\rho)$ соответствует значению $C=\pm \infty$, нижняя сепаратриса $\Phi \approx -4(\rho_- -\rho)$ – значению $C=0$. Как и в предыдущем случае, в окрестности нижней сепаратрисы поведение интегральных кривых характеризуется типом “узел”, над верхней сепаратрисой – типом “седло”.

Детальное рассмотрение поведения интегральных кривых в окрестности точки $\rho =\rho_-$ в “узловой” области показывает, что все они касаются нижней сепаратрисы (рис. 3).

3. В окрестности точки $\rho =\rho_+$ особенность $U_\mathrm{eff}|_{\rho \to \rho_+} =-\frac{3}{32}\frac{1}{(\rho -\rho_+)^2}$ и уравнение (26) можно переписать в виде

$$ \begin{equation} \frac{d \operatorname{tg} \Phi}{d\rho}=1+\frac{3}{16}\frac{1}{(\rho -\rho_+)^2} \operatorname{tg} ^2\Phi. \end{equation} \tag{31} $$
В области $\rho >\rho_+$ общее решение уравнения (31) имеет вид
$$ \begin{equation} \operatorname{tg} \Phi =\frac{4(\rho -\rho_+)(1-C\sqrt{\rho -\rho_+})}{1-3C\sqrt{\rho -\rho_+}},\qquad C=\mathrm{const}. \end{equation} \tag{32} $$
Семейство $\Phi =\Phi(\rho -\rho_+,C)$ интегральных кривых (32) для метрик Райсснера–Нордстрёма представлено на рис. 4. Верхняя сепаратриса $\Phi \approx 4(\rho -\rho_+)$ соответствует значению $C=0$, нижняя сепаратриса $\Phi \approx (4/3)(\rho -\rho_+)$ – значению $C=\pm \infty$. В отличие от двух предыдущих случаев в окрестности верхней сепаратрисы поведение интегральных кривых характеризуется типом “узел”, под нижней сепаратрисой – типом “седло”.

Детальное рассмотрение поведения интегральных кривых в окрестности точки $\rho =\rho_+$ в “узловой” области показывает, что все они касаются верхней сепаратрисы (рис. 5).

4. В окрестности точки $\rho =\infty$ для рассматриваемых полей эффективный потенциал имеет асимптотику (24) и уравнение (26) можно переписать в виде

$$ \begin{equation} \frac{d \operatorname{tg} \Phi}{d\rho}=1+c_1 \operatorname{tg} ^2\Phi,\qquad c_1=2E_\mathrm{Schr} =\varepsilon^2-1<0. \end{equation} \tag{33} $$
Общее решение уравнения (33) определяется формулами
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \, \frac{1}{2\sqrt{-c_1}}\ln \frac{1+\sqrt{-c_1} \operatorname{tg} \Phi}{1-\sqrt{-c_1} \operatorname{tg} \Phi}&=\rho +C,\qquad \sqrt {-c_1} | \operatorname{tg} \Phi|<1, \\ \frac{1}{2\sqrt {-c_1}}\ln \frac{\sqrt{-c_1} \operatorname{tg} \Phi +1}{\sqrt{-c_1} \operatorname{tg} \Phi -1}&=\rho +C,\qquad \sqrt{-c_1}| \operatorname{tg} \Phi|>1,\quad C=\mathrm{const}. \end{aligned} \end{equation} \tag{34} $$
Из (34) следует, что для всех решений уравнения (20)
$$ \begin{equation*} \lim_{\rho \to \infty} \Phi = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}+k\pi \mp 0 \end{equation*} \notag $$
(знак “–” относится к первой строке формулы (34), знак “+” – ко второй).

Преобразование $\xi =1/\rho$ переводит решение $\Phi =\Phi(\rho,C)$ (34) в решение

$$ \begin{equation} \Phi =\Phi(\xi,C). \end{equation} \tag{35} $$
Семейство интегральных кривых (35) представлено на рис. 6. На интегральных кривых, помеченных маркерами, константа $C=0$, между ними $C>0$. Ось ординат соответствует значению $C=-\infty$.

Детальное рассмотрение поведения интегральных кривых в окрестности точки $\xi =0$ в “узловой” области (лежащей выше оси абсцисс $\Phi =0$) показывает, что все эти кривые асимптотически стремятся к прямой $\Phi_0^+ = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}$, соответствующей значению $C=+\infty$, и входят в узел $(\xi =0,\Phi_0^+)$ (см. рис. 6). При $\xi \to 0$ из окрестности, принадлежащей “седловой” области (лежащей ниже оси абсцисс), все кривые, по определению не совпадающие с “седловой” сепаратрисой $\Phi_0^- =- \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}$ ($C=-\infty)$, удаляются от нее, переходят в “узловую область” и, соответственно, заканчиваются в узле $(\xi =0,\Phi_0^+)$.

Такое поведение интегральных кривых в окрестности точки $\rho =\infty$ ($\xi =0$) доказывает, что эта точка является регулярной особой.

2.2.5. Главные характеристики особых точек

$\vphantom{\sum}$

1. Регулярные особые точки $(\infty,\Phi_k^-)$ являются “седловыми” с сепаратрисами

$$ \begin{equation*} \Phi_k^- =- \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}+k\pi,\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\dots\,. \end{equation*} \notag $$

2. Регулярные особые точки $(\infty,\Phi_k^+)$ являются “узловыми” с сепаратрисами

$$ \begin{equation*} \Phi_k^+ = \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}+k\pi. \end{equation*} \notag $$

3. Особые точки $(\rho_\pm,\Phi_k^{(1,2)})$, $(0,\Phi_k^{(3,4)})$ являются особыми точками высшего порядка, совмещающими особенности типов “узел” и “седло”.

А. $\Phi_k^{(1)} =4|\rho -\rho_\pm|+k\pi$ – сепаратриса, входящая в “узловую” часть особой точки.

Б. $\Phi_k^{(2)} =\frac{4}{3}|\rho -\rho_\pm|+k\pi$ – сепаратриса, отделяющая “седловую” часть особой точки от “узловой”. “Узловые” кривые $\Phi_k^{(1)}$ при любых значениях $\rho \ne \rho _\pm$ отделены от сепаратрисы $\Phi_k^{(2)}$.

В. $\Phi_k^{(3)} =\frac{2}{3}\rho +k\pi$ – сепаратриса, отделяющая “седловую” часть особой точки от “узловой”.

Г. $\Phi_k^{(4)} =-2\rho +k\pi$ – сепаратриса, входящая в “узловую” часть особой точки. Здесь также “узловые” кривые $\Phi_k^{(4)}$ при любых значениях $\rho \ne 0$ отделены от сепаратрисы $\Phi_k^{(3)}$.

2.2.6. Стратегия интегрирования уравнений для фазовой функции

Прежде всего мы должны помнить, что интегрирование в численных расчетах нужно начинать в окрестности сепаратрисы “седла” и заканчивать в окрестности “узловой” сепаратрисы. Обратное интегрирование является невозможным, так как выход из “узла” является неустойчивым, а вход в “седло” с единственной сепаратрисой невозможен из-за конечной точности численных расчетов.

Рассмотрим область определения $\rho \in [\rho_+,\infty)$. В этом случае для стационарных связанных состояний с экспоненциально спадающими при $\rho \to \infty$ волновыми функциями мы должны интегрировать уравнение (20) “справа налево” (от $\infty$ к $\rho_+$), выбирая в качестве начальной точки интегрирования $\Phi_k^-$ и заканчивая интегрирование в точке $\Phi_k^{(1)}$. Интегрирование от $\Phi_k^{(2)}$ до $\Phi_k^+$ приведет к решениям, экспоненциально растущим при $\rho \to \infty$.

Для области определения $\rho \in (0,\rho_-]$ решения для стационарных связанных состояний получаются интегрированием от $\Phi_k^{(3)}$ до радиуса внутреннего горизонта событий, т. е. до $\Phi_k^{(2)}$.

2.2.7. Численные решения уравнений для фазовых функций

Для численного решения нелинейных уравнений первого порядка (20), (21) разработан специализированный код. Для разрешенного набора значений $\varepsilon$ численно решается задача Коши с заданным начальным условием. При решении используется неявный метод Рунге–Кутты пятого порядка с контролем размера шага (схема Ила трехстадийного метода Радо II А [17]). Направления интегрирования “справа налево” или “слева направо” определяются в соответствии с п. 2.2.6.

В работах [2]–[6] приведены многочисленные результаты расчетов с использованием созданного кода. В работе [5] численно воспроизведены электронные уровни энергии водородоподобных атомов и плотности вероятности электронных энергетических состояний.

На рис. 7 приведено сравнение нормированных плотностей вероятности аналитического и численного решений модельного уравнения (13) с $\varepsilon =0$. Видно их полное совпадение.

На рис. 8, 9 приведено сравнение численных решений уравнений (13) с различными значениями $0\leqslant \varepsilon <1$. Кривые $\Phi(\rho)$ естественно различаются при $\rho \to \infty$ в соответствии с граничным условием (см. строку 1 табл. 1). Однако при $\rho \to 0$ все кривые $\Phi(\rho)$ и $w(\rho)$ совпадают с аналитическим решением уравнения (13) с $\varepsilon =0$.

Таким образом, использование фазовых функций позволяет однозначно определять решения для собственных функций стационарных связанных состояний фермионов в полях классических черных дыр.

3. Стационарные решения уравнений второго порядка для скалярных частиц в полях классических черных дыр

Ниже для простоты в качестве скалярных частиц мы будем рассматривать массивные незаряженные частицы с нулевым спином. После разделения переменных уравнение второго порядка для радиальных волновых функций принимает вид уравнения (1) с эффективным потенциалом, полученным в работе [9]:

$$ \begin{equation} \frac{d^2\psi^\mathrm{sc}}{d\rho^2}+2(E_\mathrm{Schr} -U_\mathrm{eff}^\mathrm{sc})\psi^\mathrm{sc}=0. \end{equation} \tag{36} $$

Для рассматриваемых черных дыр в эффективных потенциалах присутствует функция $\omega_\mathrm{sc}(\rho,\varepsilon)$, зависящая от энергии частицы2 (см. (2)–(5) с $\alpha_\mathrm{em} =0)$.

В случае $\omega_\mathrm{sc} (\rho_\pm,\varepsilon)=0$ для всех черных дыр в окрестностях горизонтов событий существует потенциальная яма вида

$$ \begin{equation} U_\mathrm{eff}^\mathrm{sc}|_{\rho \to \rho _\pm} =-\frac{1}{8}\frac{1}{(\rho -\rho_\pm)^2}. \end{equation} \tag{37} $$
Коэффициент $1/8$ является пограничным. С таким коэффициентом еще отсутствует режим “падения” частиц на горизонты событий. Энергии стационарных состояний вычисляются по формулам (7)–(10) с $\alpha_\mathrm{em} =0$.

Асимптотики решений уравнения (36) при $\rho \to \infty$ такие же, как в уравнении (1) (см. (11)).

При $\rho \to \rho_\pm$ определяющее уравнение для решений (36) с ведущей особенностью (37) имеет вид

$$ \begin{equation} s^2-s+\frac{1}{4}=0,\qquad s_{1,2} =\frac{1}{2}. \end{equation} \tag{38} $$
В этом случае асимптотики уравнения (36) имеют вид
$$ \begin{equation} \psi^\mathrm{sc}|_{\rho \to \rho_\pm} =A_3 \ln |\rho -\rho_\pm|f_2(|\rho -\rho_\pm|)+A_4 f_1(|\rho -\rho_\pm|). \end{equation} \tag{39} $$

Для определения вида функций $f_1(|\rho -\rho_\pm|)$, $f_2(|\rho -\rho_\pm|)$ обратимся к модельному уравнению.

3.1. Модельное уравнение второго порядка

Рассмотрим уравнение

$$ \begin{equation} \frac{d^2\psi^\mathrm{sc}}{d\rho^2}+\frac{1}{4\rho^2}\psi^\mathrm{sc}+(\varepsilon^2-1)\psi^\mathrm{sc}=0. \end{equation} \tag{40} $$
В этом уравнении присутствуют асимптотики (11) и (39) с заменой $|\rho-\rho_\pm|$ на $\rho$.

В случае $\varepsilon =0$ (метрика Шварцшильда, см. (10)) уравнение (40) имеет аналитическое решение

$$ \begin{equation} \psi^\mathrm{sc}(\rho)=A_3 \sqrt{\rho} K_0(\rho)+A_4 \sqrt{\rho} I_0(\rho), \end{equation} \tag{41} $$
где $I_0(\rho),K_0(\rho)$ – функция Бесселя и функция Макдональда с асимптотиками
$$ \begin{equation} \sqrt{\rho} K_0(\rho) : \begin{cases} e^{-\rho}, & \rho \to \infty, \\ -\rho^{1/2}\ln \rho, & \rho \to 0, \end{cases} \end{equation} \tag{42} $$
$$ \begin{equation} \sqrt{\rho} I_0(\rho) : \begin{cases} e^{\rho}, & \rho \to \infty, \\ \rho^{1/2}, & \rho \to 0. \end{cases} \end{equation} \tag{43} $$
Видно, что если в (41) $A_4 =0$, то остается решение для стационарного связанного состояния $\varepsilon =0$, экспоненциально спадающее при $\rho \to \infty$ и пропорциональное $-\rho^{1/2}\ln \rho$ при $\rho \to 0$.

В случае $\varepsilon \ne 0$ (см. (7)–(9)) решения уравнения (40) имеют асимптотики (11) при $\rho \to \infty$ и (42), (43) при $\rho \to 0$. Очевидно, для стационарных связанных состояний с энергиями (7)–(9) также существуют собственные функции с асимптотиками $\sim -\rho ^{1/2}\ln \rho$ при $\rho \to 0$ и экспоненциально спадающие при $\rho \to \infty$. Мы можем с достаточной уверенностью сделать аналогичный вывод и для решений уравнения (36). Как и в п. 2.1, для окончательного доказательства этого вывода и для решения вопроса об отборе решений с физическими асимптотиками в численных расчетах будем использовать фазовые функции (см. (17)–(21)).

3.2. Асимптотики функций $\Phi^\mathrm{sc}(\rho)$, $P^\mathrm{sc}(\rho)$, $\psi^\mathrm{sc}(\rho)$

В табл. 2 приведены асимптотики решений уравнений (20), (21) с потенциалом $U_\mathrm{eff}^\mathrm{sc}$ для скалярных частиц. Приведены также асимптотики (11), (39) для уравнения (36).

Асимптотики в третьей и четвертой строке табл. 2 получены с помощью разложения (39), (41) функций Бесселя и Макдональда в окрестности горизонта событий и использования выражений (17)–(19) для фазовой функции.

Таблица 2.Асимптотики уравнений (36), (20), (21) с $U_\mathrm{eff}^\mathrm{sc}$.

№$\Phi^\mathrm{sc}(\rho)$$(-1)^k\sin \Phi^\mathrm{sc}(\rho)$$P^\mathrm{sc}(\rho)$$\psi^\mathrm{sc}(\rho)$
1$\rho \to \infty$${-} \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}+k\pi$$-\frac{1}{\sqrt{2-\varepsilon^2}}$$C'_1 \chi^\mathrm{sc}_1 (\rho)e^{-\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$$C_1 \chi^\mathrm{sc}_1(\rho)e^{-\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$
2$\rho \to \infty$${+} \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt {1-\varepsilon^2}}+k\pi$$+\frac{1}{\sqrt{2-\varepsilon^2}}$$C'_3 \chi^\mathrm{sc}_2(\rho)e^{\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$$C_2 \chi^\mathrm{sc}_2(\rho)e^{\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}$
3$\rho \to \rho_\pm$$ \operatorname{arctg} \frac{2|\rho-\rho_\pm|(a-\ln|\rho-\rho_\pm)}{a-2-\ln|\rho-\rho_\pm|}+$ $+k\pi$, $a=0.11593\dots$ $\begin{array}{l} 2|\rho -\rho_\pm|\times{}\\ \times\frac{(a-\ln|\rho-\rho_\pm|)}{a-2-\ln|\rho-\rho_\pm|} \end{array}$$A'_3\frac{a-2-\ln|\rho -\rho_\pm|}{2\sqrt{|\rho -\rho_\pm|}}$ $\begin{array}[c]{l} -A_3\sqrt{|\rho -\rho_\pm|}\times{}\\ \times\ln |\rho -\rho_\pm| \end{array}$
4$\rho \to \rho_\pm$$ \operatorname{arctg} 2 |\rho -\rho_\pm|+k\pi$$2|\rho -\rho_\pm|$$-A'_4\frac{1}{2\sqrt{|\rho -\rho_\pm|}}$$-A_4\sqrt{|\rho -\rho_\pm|}$
5$\rho \to 0$$\frac{2}{3}\rho +k\pi$$\frac{2}{3}\rho$$A'_5 \rho^{1/2}$$A_5 \rho^{3/2}$
6$\rho \to 0$$-2\rho +k\pi$$-2\rho$$A'_6 \rho^{-3/2}$$A_6 \rho^{-1/2}$

Первая, третья и пятая строки табл. 2 соответствуют асимптотикам решений уравнений (36) для стационарных связанных состояний с энергиями (7)–(10). Асимптотикам в первой и третьей строках табл. 2 соответствуют области определения волновых функций $\rho \in [\rho_+,\infty)$; асимптотики в третьей и пятой строках соответствуют области $\rho \in (0,\rho_-]$.

3.3. Особые точки уравнений для фазовой функции $\Phi^\mathrm{sc}(\rho)$

Как и в предыдущем разделе (см. п. 2.2.2 для фермионов), на фазовой плоскости $(\rho,\Phi^\mathrm{sc})$ уравнение (20) с $U_\mathrm{eff}^\mathrm{sc}$ имеет следующие особые точки: $(\infty,\Phi_k^\pm)$, $(\rho_\pm,\Phi_k^{(1,2)})$, $(0,\Phi_k^{(3,4)})$. Для фермионов и скалярных частиц характеристики особых точек при $\rho \to \infty$ одинаковы. В окрестностях горизонтов событий особые точки $(\rho_\pm,\Phi_k^{(1,2)}t)$ различаются по виду зависимостей от $\rho$ при $\rho \to \rho_\pm $. Однако характер особых точек остается одинаковым: интегральная кривая, входящая в “узловую” часть особой точки, –

$$ \begin{equation*} \Phi_k^{(1)} = \operatorname{arctg} \frac{2|\rho -\rho_\pm|(a-\ln |\rho -\rho_\pm|)}{a-2-\ln |\rho -\rho_\pm|}+k\pi,\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\dots\, ; \end{equation*} \notag $$
сепаратриса, отделяющая “седловую” часть особой точки от “узловой”, –
$$ \begin{equation*} \Phi_k^{(2)} =2|\rho -\rho_\pm|+k\pi. \end{equation*} \notag $$

Как и в предыдущем разделе (см. п. 2.2.2), “узловые” кривые $\Phi_k^{(1)}$ при любых значениях $|\rho -\rho_\pm|$ отделены от сепаратрисы $\Phi_k^{(2)}$.

3.4. Численные решения уравнений для фазовых функций $\Phi^\mathrm{sc}(\rho)$

Стратегия интегрирования уравнений (20), (21) с потенциалом $U_\mathrm{eff}^\mathrm{sc}$ та же, что в предыдущем разделе (см. п. 2.2.6). Численное решение полностью воспроизводит аналитическое решение уравнения (40) с $\varepsilon =0$.

Результаты решений уравнений (20), (21) с потенциалом $U_\mathrm{eff}^\mathrm{sc}$ для стационарных связанных состояний с энергиями (7)–(9) качественно совпадают с соответствующими результатами для фермионов [2]–[4].

Волновые функции скалярных частиц обращаются в нуль на горизонтах событий. Как и в фермионном случае, скалярные частицы с подавляющей вероятностью находятся в окрестности горизонтов событий.

4. Стационарные решения уравнений второго порядка для фотонов в полях классических черных дыр

После разделения переменных уравнение второго порядка для фотонной радиальной волновой функции имеет вид [9]

$$ \begin{equation} \frac{d^2\psi^\mathrm{ph}}{d\rho^2}+2({E_\mathrm{Schr}^{ph} -U_\mathrm{eff}^\mathrm{ph}})\psi^\mathrm{ph}=0. \end{equation} \tag{44} $$
Для фотонов из-за отсутствия массы покоя $E_\mathrm{Schr}^\mathrm{ph} =\varepsilon^2/2$. Стационарные состояния с энергиями (7), (8) возможны лишь для вращающихся черных дыр (метрики Керра и Керра–Ньюмена). Из-за отсутствия массы покоя невозможны стационарные связанные состояния фотонов с экспоненциально спадающими решениями при $\rho \to \infty $ (см. уравнение (44)). Для вращающихся черных дыр возможны только фотонные стационарные состояния непрерывного спектра с энергиями (7), (8). Состояния непрерывного спектра для частиц различных спинов в полях рассматриваемых черных дыр будут изучены в нашей будущей статье.

5. Результаты

При численном интегрировании уравнений второго порядка типа (1), (36) возникает проблема отбора решений с физическими асимптотиками.

Асимптотики решений уравнения (1) для фермионов при $\rho \to \infty$, $\rho \to \rho_\pm$, $\rho \to 0$ имеют вид

$$ \begin{equation} \psi |_{\rho \to \infty} =C_1 \chi_1 (\rho)e^{-\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}+C_2 \chi_2(\rho)e^{\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}, \end{equation} \tag{45} $$
$$ \begin{equation} \psi |_{\rho \to \rho_\pm} =C_3 f_1(|\rho-\rho_\pm|)+C_4 f_2 (|\rho -\rho_\pm|), \end{equation} \tag{46} $$
$$ \begin{equation} \psi |_{\rho \to 0} =C_5 \varphi_1 (\rho)+C_6 \varphi_2 (\rho). \end{equation} \tag{47} $$
Асимптотики решений уравнения (36) для скалярных частиц имеют вид
$$ \begin{equation} \psi^\mathrm{sc} |_{\rho \to \infty} =C_1 \chi_1^\mathrm{sc} (\rho)e^{-\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}+C_2 \chi_2^\mathrm{sc} (\rho)e^{\sqrt{1-\varepsilon^2} \rho}, \end{equation} \tag{48} $$
$$ \begin{equation} \psi ^\mathrm{sc} |_{\rho \to \rho_\pm} =A_3 \ln |\rho-\rho_\pm|f_1^\mathrm{sc} (|\rho -\rho_\pm|)+A_4 f_2^\mathrm{sc} (|\rho -\rho_\pm|), \end{equation} \tag{49} $$
$$ \begin{equation} \psi^\mathrm{sc} |_{\rho \to 0} =A_5 \varphi_1^\mathrm{sc} (\rho)+A_6 \varphi_2^\mathrm{sc} (\rho). \end{equation} \tag{50} $$
В (46), (47) и (49), (50) $f_1$, $f_1^\mathrm{sc}$, $\varphi_1$, $\varphi_1^\mathrm{sc}$ представляют решения с асимптотиками волновых функций стационарных связанных состояний скалярных частиц и фермионов, $f_2$, $f_2^\mathrm{sc}$, $\varphi_2$, $\varphi_2^\mathrm{sc}$ соответствуют решениям с асимптотиками, не являющимися физическими для задачи определения стационарных связанных состояний. Коэффициенты $C_1,\dots,C_6$ и $A_3,\dots,A_6$ являются постоянными интегрирования.

Точка $\rho =\infty$ является регулярной, точки $\rho =\rho_\pm $, $\rho =0$ являются “узловыми” регулярными особыми точками с входящими в них интегральными кривыми.

Рассмотрим область определения волновых функций $D_1$ с $\rho \in [\rho_+,\infty)$. При определении волновых функций стационарных связанных состояний скалярных частиц и фермионов с энергиями (7)–(10) с учетом “узлового” характера особой точки $\rho =\rho_+$ мы обязаны интегрировать “справа налево”, выбирая в (45) асимптотику с $C_1$. Однако в численных расчетах при большом, но конечном $\rho =N$ неизбежно появится “примесь” второй асимптотики в (45) с коэффициентом $C_2$. Для фермионов в конце интегрирования при $\rho \to \rho_+$ трудно доказать, что в численных расчетах не появится “примесь” нефизического для данной задачи решения в (46) с коэффициентом $C_4 $. Аналогично для скалярных частиц будут существовать аргументы о “примеси” в численных расчетах нефизического решения в (49) с коэффициентом $A_4$.

Для области определения3 $D_2$ с $\rho \in (0,\rho_-]$ ситуация еще хуже. На обоих концах интегрирования точки $\rho =0$, $\rho =\rho_-$ являются “узловыми” особыми точками с входящими в них интегральными кривыми. В этом случае устойчивый процесс численного интегрирования не обеспечивается как при интегрировании “справа налево”, так и при интегрировании “слева направо”.

Указанные трудности исчезают при переходе к уравнениям (20), (21) для фазовых функций $\Phi(\rho)$. Точка $\rho =\infty$ становится регулярной особой точкой.

Для экспоненциально спадающих решений с коэффициентом $C_1$ в (45) особая точка $\rho =\infty$ является “седловой”,

$$ \begin{equation} \Phi_k^-|_{\rho \to \infty} =- \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}+k\pi. \end{equation} \tag{51} $$
Для экспоненциально растущих решений с $C_2$ в (45) особая точка $\rho =\infty$ является “узловой”,
$$ \begin{equation} \Phi _k^+|_{\rho \to \infty} =+ \operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon^2}}+k\pi. \end{equation} \tag{52} $$

Особые точки $\rho =\rho_\pm$, $\rho =0$ являются нерегулярными и совмещающими в себе особенности типов “узел” и “седло”. Естественно, сепаратриса, отделяющая “седловую” окрестность особой точки от “узловых” интегральных кривых, не пересекается с последними для всех $\rho \ne \rho_\pm$, $\rho \ne 0$.

Для $D_1$ интегрирование “справа налево” начинаем из “седловой” части особой точки с сепаратрисой (51) и заканчиваем в “узловой” части особой точки $\rho =\rho_+$ с асимптотикой $f_1 (\rho -\rho_+)$ для фермионов и с асимптотикой $\ln(\rho -\rho_+)f_1^\mathrm{sc} (\rho -\rho_+)$ для скалярных частиц (см. (46), (49)). Интегрирование “слeва направо” мы начинаем из “седловой” части особой точки по сепаратрисе, отделяющей “седло” от “узла” в нерегулярной особой точке $\rho =\rho_+$, и заканчиваем в “узлe” с нефизическими для данной задачи экспоненциально растущими решениями при $\rho \to \infty$.

Для $D_2$ мы начинаем интегрирование “слева направо” из “седловой” части особой точки по сепаратрисе, отделяющей “седло” от “узла” в нерегулярной особой точке $\rho =0$. Интегрирование заканчивается в “узловой” части особой точки $\rho =\rho_-$ с асимптотикой $f_1(\rho_- -\rho)$ для фермионов и с асимптотикой $\ln(\rho_- -\rho)f_1^\mathrm{sc} (\rho_- -\rho)$ для скалярных частиц.

Все три описанные процедуры численного интегрирования являются устойчи- выми.

6. Заключение

Преобразование Прюфера с использованием фазовых функций является надежным и эффективным методом численного интегрирования уравнений второго порядка для фермионов и скалярных частиц с отбором решений с физически приемлемыми асимптотиками.

Благодарности

Авторы благодарят М. Н. Смолякова за плодотворные дискуссии и обсуждения. Авторы также благодарят А. Л. Новоселову за существенную техническую помощь в подготовке статьи.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Список литературы
1. В. П. Незнамов, “Уравнения второго порядка для фермионов в пространстве-времени Шварцшильда, Райсснера–Нордстрёма, Керра и Керра–Ньюмена”, ТМФ, 197:3 (2018), 493–509  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
2. В. П. Незнамов, И. И. Сафронов, “Стационарные решения уравнения второго порядка для точечных фермионов в гравитационном поле Шварцшильда”, ЖЭТФ, 154:4 (2018), 761–773, arXiv: 1809.08940  crossref  crossref
3. В. П. Незнамов, И. И. Сафронов, В. Е. Шемарулин, “Стационарные решения уравнения второго порядка для фермионов в пространстве-времени Райсснера-Нордстрёма”, ЖЭТФ, 154:4 (2018), 802–825, arXiv: 1810.01960  crossref  crossref
4. В. П. Незнамов, И. И. Сафронов, В. Е. Шемарулин, “Стационарные решения уравнения второго порядка для фермионов в пространстве-времени Керра–Ньюмена”, ЖЭТФ, 155:1 (2019), 69–95, arXiv: 1904.05791  crossref  crossref
5. В. П. Незнамов, И. И. Сафронов, “Стационарные решения уравнения второго порядка для фермионов во внешнем кулоновском поле”, ЖЭТФ, 155:5 (2019), 792–805, arXiv: 1907.03579  crossref  crossref
6. В. П. Незнамов, И. И. Сафронов, В. Е. Шемарулин, “Новое о радиальных волновых функциях фермионов в отталкивающем кулоновском поле”, ЭЧАЯ, 53:6 (2022), 1401–1420
7. V. P. Neznamov, V. E. Shemarulin, “Quantum electrodynamics with self-conjugated equations with spinor wave functions for fermion fields”, Internat. J. Modern Phys. A, 36:14 (2021), 2150086, 30 pp., arXiv: 2108.04664  crossref  mathscinet  adsnasa
8. V. P. Neznamov, “The lack of vacuum polarization in quantum electrodynamics with spinors in fermion equations”, Internat. J. Modern Phys. A, 36:24 (2021), 2150173, 10 pp., arXiv: 2110.03530  crossref  mathscinet
9. М. В. Горбатенко, В. П. Незнамов, “Квантовая механика стационарных состояний частиц в пространстве-времени классических черных дыр”, ТМФ, 205:2 (2020), 284–323, arXiv: 2012.04491  mathnet  crossref  crossref  mathscinet  adsnasa
10. K. M. Case, “Singular potentials”, Phys. Rev., 80:5 (1950), 797–806  crossref  adsnasa
11. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. III, Квантовая механика. Нерелятивистская теория, Физматлит, М., 1963  mathscinet  mathscinet
12. А. М. Переломов, В. С. Попов, “ ‘Падение на центр’ в квантовой механике”, ТМФ, 4:1 (1970), 48–65  mathnet  crossref
13. H. Prüfer, “Neue Herleitung der Sturm–Liouvilleschen Reihenentwicklung stetiger Funktionen”, Math. Ann., 95:1 (1926), 499–518  mathscinet
14. В. Б. Уваров, В. И. Алдонясов, “Фазовый метод определения собственных значений для уравнений Шрёдингера”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 7:2 (1967), 436–440  mathnet  crossref  zmath
15. А. Ф. Андреев, Особые точки дифференциальных уравнений, Вышэйшая школа, Минск, 1979
16. Ю. В. Прохоров (Гл. ред.), Математический энциклопедический словарь, Сов. энциклопедия, М., 1988  mathscinet
17. Э. Хайрер, Г. Ваннер, Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи, Мир, М., 1999  crossref  mathscinet
Образец цитирования: В. П. Незнамов, И. И. Сафронов, В. Е. Шемарулин, “Преобразование Прюфера и его применение к численному описанию движения квантовых частиц с различными спинами в полях классических черных дыр”, ТМФ, 214:1 (2023), 102–121; Theoret. and Math. Phys., 214:1 (2023), 89–105
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{NezSafShe23}
\by В.~П.~Незнамов, И.~И.~Сафронов, В.~Е.~Шемарулин
\paper Преобразование Прюфера и его применение к численному описанию движения квантовых частиц с различными спинами в полях классических черных дыр
\jour ТМФ
\yr 2023
\vol 214
\issue 1
\pages 102--121
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10301}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10301}
\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4538889}
\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...214...89N}
\transl
\jour Theoret. and Math. Phys.
\yr 2023
\vol 214
\issue 1
\pages 89--105
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923010051}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149374936}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf10301
  • https://doi.org/10.4213/tmf10301
  • https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v214/i1/p102
    • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    		Теоретическая и математическая физика Theoretical and Mathematical Physics
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:162
    PDF полного текста:21
    HTML русской версии:112
    Список литературы:25
    Первая страница:6
     
      Обратная связь:
    		  Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024