|
Эта публикация цитируется в 12 научных статьях (всего в 12 статьях)
Обзор методов построения точных решений уравнений математической физики, основанных на использовании более простых решений
А. В. Аксеновa, А. Д. Полянинb a Механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
b Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, Москва, Россия
Аннотация:
Дан краткий обзор методов построения точных решений нелинейных уравнений математической физики и функционально-дифференциальных уравнений с частными производными, которые основаны на использовании более простых решений. Эти методы базируются на следующих двух основных идеях: 1) простые точные решения рассматриваемых уравнений могут использоваться для поиска более сложных решений этих же уравнений; 2) точные решения одних уравнений могут служить основой для построения решений более сложных родственных уравнений или других классов уравнений, имеющих аналогичные нелинейные члены. В частности, показано, как исходя из простых решений с помощью преобразований сдвига и масштабирования можно найти более сложные точные решения; продемонстрировано, что в некоторых случаях можно получать достаточно сложные решения путем добавления слагаемых к более простым решениям; рассматриваются ситуации, когда с помощью однотипных простых решений можно построить более сложное составное решение; описан метод поиска точных решений уравнений с несколькими пространственными переменными исходя из решений родственных уравнений с одной пространственной переменной. Большинство предложенных методов приводят к небольшому объему промежуточных вычислений, их эффективность иллюстрируется на конкретных примерах. Рассматриваются нелинейные уравнения теплопроводности, реакционно-диффузионные уравнения, нелинейные волновые уравнения, уравнения гидродинамики и газовой динамики. Показано, что некоторые решения уравнений с частными производными можно использовать для построения точных решений более сложных уравнений с запаздыванием. Описан метод, позволяющий строить точные решения функционально-дифференциальных уравнений с частными производными, которые содержат искомые функции с растяжением или сжатием аргументов.
Ключевые слова:
точные решения, нелинейные уравнения с частными производными,
реакционно-диффузионные уравнения, нелинейные волновые уравнения,
функционально-дифференциальные уравнения с постоянным и переменным
запаздыванием, решения с обобщенным разделением переменных.
Поступило в редакцию: 12.01.2022 После доработки: 15.01.2022
Образец цитирования:
А. В. Аксенов, А. Д. Полянин, “Обзор методов построения точных решений уравнений математической физики, основанных на использовании более простых решений”, ТМФ, 211:2 (2022), 149–180; Theoret. and Math. Phys., 211:2 (2022), 567–594
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/tmf10247https://doi.org/10.4213/tmf10247 https://www.mathnet.ru/rus/tmf/v211/i2/p149
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 341 | PDF полного текста: | 94 | Список литературы: | 72 | Первая страница: | 23 |
|