$p$-Артонная модель параболических модулярных форм

Предлагается сопоставить модулярной форме (бесконечный) набор комплекснозначных функций на множестве $p$-адических чисел $\mathbb{Q}_p$, по одной функции для каждого простого $p$. Проведен подробный анализ этого соответствия и вытекающие из него свойства преобразования Меллина и $L$-функции, ассоциированной с модулярной формой. Далее обсуждается произведение $L$-функций Дирихле и их преобразований Меллина, которые являются произведениями $\vartheta$-рядов. Последние загадочным образом оказываются похожими на неголоморфные формы Мааса с нулевым весом, что подсказывают их коэффициенты Фурье.