Уравнение Кана–Хиллиарда в случае двух пространственных переменных. Формирование паттернов

Рассматривается уравнение Кана–Хиллиарда в случае, когда его решение зависит от двух пространственных переменных, с однородными краевыми условиями Дирихле и Неймана, а также периодическими краевыми условиями. Для этих трех краевых задач изучается вопрос о локальных бифуркациях, появляющихся при смене устойчивости пространственно однородными состояниями равновесия. Показано, что характер бифуркаций, в результате которых возникают пространственно неоднородные решения, существенным образом связан с выбором краевых условий. В случае однородных краевых условий Дирихле в окрестности однородного состояния равновесия возникают пространственно неоднородные состояния равновесия, зависящие от обеих пространственных переменных. Иная ситуация реализуется при анализе задачи Неймана и периодической краевой задачи. В них в результате бифуркаций возникают инвариантные многообразия, образованные пространственно неоднородными решениями. Размерность этих многообразий варьируется от 1 до 3. При анализе трех краевых задач использованы методы теории бесконечномерных динамических систем и асимптотические методы. Использование метода интегральных многообразий в сочетании с аппаратом теории нормальных форм позволило провести анализ устойчивости бифурцирующих инвариантных многообразий, а также получить асимптотические формулы для формирующих их пространственно неоднородных решений.