Возрастание энтропии и необратимость времени в гамильтоновой динамике

Построена модель гамильтоновой полевой теории, объединяющей гидродинамику и термодинамику. В этой модели в качестве уравнений Гамильтона фигурируют уравнение непрерывности и уравнение Эйлера для потенциального течения, а в качестве уравнений связей второго рода – уравнения состояния (или эквивалентные им уравнения Гиббса). Редуцированная на поверхность связей второго рода плотность функции Гамильтона является суммой плотностей кинетической и потенциальной энергий, причем в качестве потенциальной энергии выступает свободная энергия. На поверхности связей второго рода возникает естественная симплектическая структура и канонические переменные, функциями которых являются все физические переменные. В частности, с точки зрения гамильтонова формализма энтропия интерпретируется как обобщенная скорость – множитель Лагранжа при соответствующей связи второго рода, выражающей температуру как функцию канонических переменных на последнем этапе редукции. На последнем этапе этот множитель выражается через канонические переменные, в результате чего возникает нетривиальное уравнение движения для энтропии. Чтобы продвинуться дальше, следует еще более конкретизировать модель, фиксировав зависимость удельной свободной энергии от своих аргументов. Выбирается простейший нетривиальный вариант – одноатомный газ Ван-дер-Ваальса, атомы которого находятся в основном состоянии. Канонические уравнения Гамильтона позволяют вычислить скорость изменения энтропии этой динамической системы. Для физически интересной ситуации, когда эволюция системы приводит к равновесию, энтропия и скорость ее изменения являются функционалами от решения динамических уравнений для плотности. Численное решение этих уравнений дает монотонный рост энтропии (для конечного времени эволюции). Для нахождения асимптотики по времени уравнения можно линеаризовать; для асимптотической эволюции отклонения плотности от равновесного значения получается не гиперболическое, а эллиптическое уравнение с “неправильным” знаком аналога квадрата скорости звука. Тем самым обратимость решения во времени теряется.