О сравнениях для следов степеней некоторых матриц

В ряде работ последних лет В. И. Арнольд исследовал большое количество вопросов, относящихся к статистике и динамике степеней элементов в алгебраических системах. На основе экспериментальных данных, в частности, было сформулировано предположение о сравнении типа сравнения Эйлера для следов степеней целочисленных матриц, доказательство которого выведено из теоремы о сравнении следов степеней элементов в числовых полях, полученной автором в конце 2004 г. В последнее время выяснилось, что существуют и другие подходы к сравнениям для следов степеней целочисленных матриц. В настоящей работе усиливаются результаты автора 2004 г. и делается обзор их связей с теорией чисел, теорией динамических систем, комбинаторикой и $p$-адическим анализом. Главный вывод этого обзора состоит в том, что все рассмотренные подходы являются в конечном итоге разными точками зрения на некоторое простое, но важное явление в математике.