Многообразие изоспектральных симметрических трехдиагональных матриц и реализация циклов асферичными многообразиями

Рассматривается классическая проблема Н. Стинрода о реализации циклов непрерывными образами многообразий. Ставится задача о нахождении класса $\mathcal M_n$ ориентированных $n$-мерных замкнутых гладких многообразий такого, что каждый целочисленный класс гомологий с некоторой кратностью может быть реализован образом многообразия из класса $\mathcal M_n$. Доказывается, что в качестве класса $\mathcal M_n$ можно взять набор конечнолистных накрытий над многообразием $M^n$ изоспектральных симметрических трехдиагональных вещественных матриц размера $(n+1)\times(n+1)$. Известно, что многообразие $M^n$ асферично, его фундаментальная группа свободна от кручения и его универсальная накрывающая диффеоморфна $\mathbb R^n$. Таким образом, каждый целочисленный класс гомологий линейно связного пространства с некоторой кратностью может быть реализован образом асферичного многообразия с фундаментальной группой, свободной от кручения. В частности, для любого замкнутого ориентированного многообразия $Q^n$ существует асферичное многообразие с фундаментальной группой, свободной от кручения, которое может быть отображено на $Q^n$ с ненулевой степенью.