Существует ли мера Лебега в бесконечномерном пространстве?

Дается асимптотико-геометрическая интерпретация сигма-конечных мер в пространстве векторных обобщенных функций на многообразии $X$ с характеристическим функционалом $\Psi(f)=\exp\bigl\{-\theta\int_X\ln\lVert f(x)\rVert\,dx\bigr\}$, $\theta>0$. Все такие меры составляют однопараметрическую полугруппу по $\theta$. Мера для скалярных распределений и $\theta=1$ может быть названа бесконечномерной мерой Лебега. Мы показываем, что при надлежащем выборе нормировок последовательность инвариантных мер на картановских подгруппах групп $\operatorname{SL}(n,\mathbb R)$ при $n$, стремящемся к бесконечности, слабо сходится именно к ней и что эта мера в пространстве распределений инвариантна относительно некоторой бесконечномерной коммутативной группы – аналога бесконечномерной картановской подгруппы, что и оправдывает ее название. Единственный известный пример такого рода асимптотик – классическая лемма Максвелла–Пуанкаре о гауссовости предела равномерных мер на евклидовой сфере при стремлении размерности к бесконечности. В нашем примере построенные предельные меры уже не конечны, а сигма-конечны и тесно связаны не с гауссовыми мерами, а с мерами Пуассона–Дирихле, хорошо известными в комбинаторике и теории вероятностей. Излагаемый результат об асимптотике инвариантных мер на картановских подгруппах делает актуальным вопрос о том, имеются ли какие-либо другие типы асимптотического поведения инвариантных мер на однородных пространствах групп Ли, кроме данного и гауссова.