Проблема Улама об устойчивости приближенных гомоморфизмов

Работа посвящена в основном проблеме устойчивости приближенных гомоморфизмов по Уламу, т.е. вопросу, когда приближенные гомоморфизмы аппроксимируются точными. Мы рассматриваем ситуацию, когда одна из групп оснащена инвариантной вероятностной мерой, а другая является счетным произведением групп с (псевдо)метрикой, задаваемой некоторой субмерой на индексном множестве. Мы доказываем, что если субмера удовлетворяет одной из форм теоремы Фубини в произведении с вероятностными мерами, то устойчивость имеет место для всех измеримых гомоморфизмов. Мы уделяем особое внимание случаю диадических субмер или, что эквивалентно, приближениям с точностью до идеала на индексном множестве. Идеалы, для которых такие приближенные гомоморфизмы устойчивы по Уламу, недавно получили название: идеалы Радона–Никодима (или RN). Мы доказываем, что к этой категории относятся все идеалы Фату, в частности все неразложимые идеалы и идеалы Вейсса. Также приводятся некоторые контрпримеры. В заключительной части мы обращаемся к исследованию структуры борелевских когомологий некоторых групп, в частности, доказываем, что группа $\mathrm H_{\mathrm {Bor}}^2(\mathbb R,G)$ тривиальна для любой не более чем счетной группы $G$.