Теория устойчивости “петли Эйлера” на упругих нерастяжимых стержнях

Изучается устойчивость уединенных волн в тонком нерастяжимом стержне бесконечной длины. Профиль упругой линии такого стержня, отвечающий уединенной волне, в отсутствие кручения имеет форму плоской петли, диапазон изменения скоростей которой зависит от силы натяжения в стержне. Установлена орбитальная устойчивость уединенных волн относительно возмущений формы петли, не выводящих из плоскости петли. Результат об устойчивости следует из того обстоятельства, что орбита уединенной волны доставляет локальный минимум некоторому инвариантному функционалу. Этот минимум реализуется на некотором нелинейном инвариантном подмногообразии основного пространства решений. Для определенного диапазонa скоростей уединенной волны доказана ее линейная неустойчивость относительно возмущений, выводящих из плоскости петли. Результат о неустойчивости получен при помощи свойств аналитической в правой комплексной полуплоскости спектрального параметра функции Эванса, которая имеет там нули тогда и только тогда, когда существует неустойчивая глобальная мода. Неустойчивость прямо следует из сравнения асимптотических поведений функции Эванса в окрестности нуля и на бесконечности. Выражения для коэффициентов при старших степенях разложения функции Эванса в ряд Тейлора в окрестности начала координат получены при помощи символьного пакета Mathematica 4.0.