Бифуркации в интегрируемых системах с тремя степенями свободы — I

Изучается локальная структура вещественно-аналитической интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы в окрестностях компактных особых орбит. В таких системах одномерные компактные орбиты соответствующего гамильтонова действия встречаются обычно однопараметрическими семействами, а двумерные орбиты — двупараметрическими семействами. Поэтому вдоль семейств возможны изменения локальной структуры разбиения на орбиты действия. В работе изучаются окрестности компактных одномерных орбит (т.е. полулокальных особенностей ранга 1 и коранга 2 отображения энергии-момента). С помощью результатов Н. Т. Зунга и Е. А. Кудрявцевой о существовании локального гамильтонова действия двумерного тора исследуются бифуркации полулокальной структуры орбит около вырожденных орбит, соответствующих резонансам различного типа. Показывается, что эти бифуркации структурно-устойчивы относительно аналитических интегрируемых возмущений системы. Во всех случаях строятся стандартные полиномиальные гамильтонианы, которые вместе с квадратичными и линейными первыми интегралами дают $C^\infty$-лево-правую классификацию отображений энергии-момента в окрестностях вырожденных компактных орбит. Приводятся фазовые портреты и бифуркационные диаграммы некоторых редуцированных систем при соответствующих бифуркациях.