Многообразия, реализованные как пространства орбит несвободных действий группы $\mathbb Z_2^k$ на вещественных момент–угол-многообразиях

Рассматриваются (не обязательно свободные) действия подгрупп $H\subset \mathbb Z_2^m$ на вещественном момент–угол-многообразии $\mathbb R\mathcal Z_P$, отвечающем простому выпуклому $n$-мерному многограннику $P$ с $m$ гипергранями. Критерий того, что пространство орбит $\mathbb R\mathcal Z_P/H$ является топологическим многообразием (возможно, с краем), можно извлечь из результатов М.А. Михайловой и К. Ланге. Для произвольной размерности $n$ приведена конструкция многообразий $\mathbb R\mathcal Z_P/H$, гомеоморфных сфере $S^n$, а также многообразий $M^n=\mathbb R\mathcal Z_P/H$, допускающих гиперэллиптическую инволюцию $\tau \in \mathbb Z_2^m/H$, т.е. инволюцию $\tau $, для которой $M^n/\langle \tau \rangle $ гомеоморфно $S^n$. Для любого простого трехмерного многогранника $P$ классифицированы все подгруппы $H\subset \mathbb Z_2^m$, для которых пространство $\mathbb R\mathcal Z_P/H$ гомеоморфно $S^3$. Для любого простого трехмерного многогранника $P$ и любой подгруппы $H\subset \mathbb Z_2^m$ приведена классификация всех гиперэллиптических инволюций $\tau \in \mathbb Z_2^m/H$, действующих на $\mathbb R\mathcal Z_P/H$. Как следствие показано, что трехмерное малое накрытие имеет три гиперэллиптические инволюции в $\mathbb Z_2^3$ тогда и только тогда, когда оно является трехмерной рациональной гомологической сферой, и тогда и только тогда, когда оно отвечает тройке гамильтоновых циклов такой, что через каждое ребро многогранника проходит ровно два из них.