О расширенной модели перехода Джозефсона, линейных системах с полиномиальными решениями, детерминантных поверхностях и уравнениях Пенлеве 3

Мы рассматриваем трехпараметрическое семейство линейных дифференциальных уравнений второго порядка: специальных дважды конфлюэнтных уравнений Гойна, введенных и исследованных В.М. Бухштабером и С.И. Тертычным. Оно дает эквивалентное описание модели сильно шунтированного перехода Джозефсона в сверхпроводимости. В.М. Бухштабер и С.И. Тертычный показали, что множество тех комплексных значений параметров, при которых уравнение Гойна имеет полиномиальное решение, есть объединение так называемых спектральных кривых: явно заданных алгебраических кривых в ${\mathbb C}^2$, занумерованных индексом $\ell\in{\mathbb N}$. Как было показано автором в его совместной работе с И.В. Нетаем, каждая спектральная кривая неприводима в пространстве параметров уравнения Гойна (соответственно, состоит из двух неприводимых компонент в пространстве параметров модели перехода Джозефсона). В той же статье И.В. Нетай представил гипотетическую формулу для рода спектральных кривых, полученную им в результате численных экспериментов. Он свел эту его гипотезу о роде к гипотезе о регулярности спектральных кривых в дополнении к подходящей координатной оси. В настоящей статье эти гипотезы И.В. Нетая о регулярности и о роде доказаны. Для доказательства мы исследуем четырехпараметрическое семейство линейных систем на сфере Римана, расширяющее семейство линейных систем, эквивалентных вышеупомянутым уравнениям Гойна. Оно эквивалентно описывает расширение модели перехода Джозефсона, введенное автором в его совместной статье с Ю.П. Бибило. Мы явно опишем так называемые детерминантные поверхности в расширенном пространстве параметров ${\mathbb C}^3$, занумерованные индексом $\ell\in{\mathbb N}$, состоящие из линейных систем с полиномиальными решениями. Спектральные кривые являются их пересечениями с гиперплоскостью, отвечающей исходной модели. Мы докажем, что каждая детерминантная поверхность регулярна вне подходящей гиперплоскости и состоит из двух рациональных неприводимых компонент. В доказательствах мы используем теорию явления Стокса, технику голоморфных векторных расслоений, слоение детерминантных поверхностей на изомонодромные семейства линейных систем, управляемое уравнением Пенлеве 3, и его трансверсальность исходной модели.