О сходимости подпоследовательности частичных сумм многомерного тригонометрического ряда Фурье по Прингсхейму

Из знаменитой теоремы А.Н. Колмогорова (1925) вытекает, что частичные суммы ряда Фурье любой интегрируемой функции $f$ одной переменной сходятся к ней в $L^p$ для всех $p\in (0,1)$. Известно, что для функций многих переменных это неверно. В работе доказано, что тем не менее для любой функции многих переменных найдется подпоследовательность частичных сумм по Прингсхейму, сходящаяся к ней в $L^p$ для всех $p\in (0,1)$. В то же время в достаточно общем случае при взятии частичных сумм ряда Фурье функции многих переменных по расширяющейся системе множеств найдется функция, для которой абсолютные величины некоторой подпоследовательности частичных сумм сходятся к бесконечности почти всюду. Это верно, в частности, для системы расширений фиксированного ограниченного выпуклого тела и гиперболических крестов.