Экстраполяции с наименьшими нормами в пространствах Соболева $W_2^n$ на полуоси и всей оси

Изучается семейство пространств $W_2^n(\mathbb R_+)$, состоящих из функций с конечными нормами $\| f| W_2^n(\mathbb R_+)\|_{\sigma} := (\|f|L_2(\mathbb R_+)\|^2 +{\sigma}^{-2n} \|f^{(n)}|L_2(\mathbb R_+)\|^2)^{1/2}$, $\sigma> 0$. Пусть $\Omega_{n,\sigma}$ и $\omega_{n,\sigma}$ суть максимум и минимум $\|f|W_2^n(\mathbb R_+ )\|_{\sigma}$ при условии $\sum_0^{n-1} |f^{(s)}(0)|^2 = 1$. Доказано, что при $n\to \infty$ величины $n^{-1}\ln\Omega_{n,\sigma}$, $n^{-1} \ln \omega_{n,\sigma}$ стремятся к явно вычисляемым пределам, зависящим от числа $\sigma$. Рассмотрено также поведение величин $\Omega^*_{n,\sigma}$ и $\omega^*_{n,\sigma}$, отличающихся заменой полуоси $\mathbb R_+$ на всю ось $\mathbb R$. Результаты имеют приложение к неравенствам между $l_2$-нормой набора коэффициентов алгебраического многочлена степени $<n$ и нормой самого этого многочлена в пространстве $L_2$ с весом $(1+(x/\sigma)^{2n})^{-1}$.