Несимметричная оценка суммы множеств расстояний

Для $E\subset \mathbb F_q^d$ пусть $\Delta (E)$ — множество попарных расстояний между точками из $E$. Используя аддитивную энергию множеств на параболоиде, Ко, Фам, Шэнь и Винь (2020) доказали, что если множества $E,F\subset \mathbb F_q^d$ таковы, что $|E|\cdot |F|\gg q^{d+{1}/{3}}$, то $|\Delta (E)+\Delta (F)|>q/2$. Более того, они установили, что при $|E|=|F|$ показатель $d+{1}/{3}$ является точным. В настоящей работе доказана усиленная версия этого результата в том случае, когда $|E|\neq |F|$. Полученная оценка по существу неулучшаема для нечетных $d$. Доказательство основано на применении $L^2$-оценки для оператора ограничения на сферу нулевого радиуса.