Циклы произвольной длины в графах расстояний над $\mathbb F_q^d$

Пусть $E \subset \mathbb F_q^d$ — подмножество линейного пространства размерности $d \ge 2$ над конечным полем $\mathbb F_q$ порядка $q$. В работе рассматривается так называемый граф расстояний $\mathcal G^{\text {dist}}_t(E)$, $t\neq 0$, в котором множеством вершин является $E$ и при этом две вершины $x$, $y$ соединены ребром, если $\|x-y\| \equiv (x_1-y_1)^2+\dots +(x_d-y_d)^2=t$. Доказано, что при условии $|E| \ge C_k q^{\frac {d+2}{2}}$ граф $\mathcal G^{\text {dist}}_t(E)$ содержит правильное по порядку роста число циклов длины $k$. Также рассматривается граф скалярных произведений $\mathcal G^{\text {prod}}_t(E)$, $t\neq 0$, где в качестве множества вершин снова выступает $E$, а вершины $x$, $y$ соединены ребром, если $x\cdot y \equiv x_1y_1+\dots +x_dy_d=t$. Аналогичные результаты получены и в этом случае, но методы доказательства несколько сложнее, поскольку функция $x\cdot y$ не инвариантна относительно сдвигов. При этом для достаточно длинных циклов показатель $\frac {d+2}{2}$ может быть уменьшен.