Симплектические структуры на пространствах Тейхмюллера $\mathfrak T_{g,s,n}$ и кластерные алгебры

Дается обзор описания с помощью ленточных графов римановых поверхностей $\Sigma _{g,s,n}$ и соответствующих пространств Тейхмюллера $\mathfrak T_{g,s,n}$ с $s>0$ дырками и $n>0$ граничными каспами в подходе гиперболической геометрии. В случае, когда $n>0$, имеет место взаимно однозначное соответствие между множеством тёрстоновских координат смещений и пеннеровских $\lambda $-длин. При этом, с одной стороны, можно определить скобку Пуассона на множестве $\lambda $-длин, исходя из скобки Пуассона на координатах смещений, введенной В.В. Фоком в 1997 г., а с другой — можно определить симплектическую структуру $\Omega_\mathrm{WP}$ на множестве обобщенных координат смещений, исходя из пеннеровской симплектической структуры на множестве $\lambda $-длин. В работе явно выводится симплектическая структура $\Omega_\mathrm{WP}$, которая оказывается весьма похожей на симплектическую структуру, предложенную М. Концевичем для описания представителей $\psi $-классов в подходе комплексно аналитической геометрии. Показано, что эта симплектическая структура действительно обратна фоковской скобке Пуассона.