Многочлен объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга и многогранник Гельфанда–Цетлина

Регулярные полупростые многообразия Хессенберга — это алгебраические подмногообразия в многообразии флагов $\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$, естественно возникающие на пересечении геометрии, теории представлений и комбинаторики. Недавние результаты Абэ–Хоригути–Масуды–Мураи–Сато и Абэ–ДеДьё–Галетто–Харады позволили связать многочлены объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга с многочленом объема многогранника Гельфанда–Цетлина $\mathrm {GZ}(\lambda )$ при $\lambda =(\lambda _1,\lambda _2,\dots ,\lambda _n)$. Основные результаты работы состоят в выводе явной формулы для многочленов объема регулярных полупростых многообразий Хессенберга в терминах объемов определенных граней многогранника Гельфанда–Цетлина, а также в получении формулы для многочлена объема в переменных $\alpha _i := \lambda _i-\lambda _{i+1}$, коэффициенты которой имеют комбинаторный смысл и, как следствие, неотрицательны. При этом используется и обобщается техника работ Андерсона–Тимочко, Кириченко–Смирнова–Тиморина и Постникова. В качестве приложения полученных результатов подробно исследован частный случай — пермутоэдрическое многообразие, известное также как торическое многообразие, соответствующее набору камер Вейля. Для него построено явное разбиение пермутоэдра (образа отображения моментов для пермутоэдрического многообразия) на комбинаторные $(n-1)$-кубы и получена алгебро-геометрическая интерпретация этого разбиения, состоящая в выражении класса когомологий пермутоэдрического многообразия в многообразии $\mathrm {Flag}(\mathbb C^n)$ в виде суммы классов когомологий определенного набора многообразий Ричардсона.