Диффузия на гильбертовом пространстве, снабженном трансляционно и ротационно инвариантной мерой

Изучаются меры на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве $E$, инвариантные как относительно сдвигов на произвольные векторы пространства, так и относительно ортогональных преобразований. Построен конечно аддитивный аналог меры Лебега — неотрицательная конечно аддитивная инвариантная относительно сдвигов и поворотов мера, определенная на минимальном кольце подмножеств гильбертова пространства $E$, содержащем все бесконечномерные прямоугольники, произведения длин сторон которых сходятся абсолютно. Определено гильбертово пространство $\mathcal H$ комплекснозначных функций на пространстве $E$, квадратично интегрируемых по некоторой трансляционно и ротационно инвариантной мере. Определены математические ожидания операторов сдвига на случайные векторы, распределения которых задаются семействами гауссовских мер на пространстве $E$, образующими полугруппы относительно свертки. Установлено, что такие математические ожидания образуют полугруппу самосопряженных сжатий в пространстве $\mathcal H$, не являющуюся сильно непрерывной, для которой найдены инвариантные подпространства сильной непрерывности. Исследована структура произвольной полугруппы самосопряженных сжатий гильбертова пространства, которая может не обладать свойством сильной непрерывности. Показано, что метод усреднения сильно непрерывных полугрупп по Фейнману, основанный на понятии эквивалентности по Чернову операторнозначных функций, применим и к разрывным полугруппам.