Три теоремы о единственности меры Планшереля c разных позиций

Приводятся три теоремы единственности: одна из теории мероморфных функций, другая из асимптотической комбинаторики, а третья относится к представлениям бесконечной симметрической группы. В первом случае речь идет о единственности функции $\exp z$ в некотором классе целых функций; во второй теореме говорится о единственности статистики случайной монотонной невырожденной нумерации двумерной решетки $\mathbb Z^2_+$, или о единственности невырожденной центральной меры на пространстве бесконечных таблиц Юнга; третья теорема утверждает единственность представления бесконечной симметрической группы $\mathfrak S_\mathbb N$, ограничения которого на конечные подгруппы имеют исчезающе малое число инвариантных векторов. Но все три теоремы представляют собой одну и ту же теорему с точностью до нетривиального пересказа условий одной математической области в терминах другой! До последнего времени математики, работающие в каждой из этих различных областей, были мало осведомлены об этой эквивалентности. Параллелизм этих теорем единственности с одной стороны и поразительное различие их доказательств с другой делают актуальными и более глубокий анализ природы этой единственности, и перенос метода доказательства из одной области в другую. Более точно, каждая из этих теорем по-своему утверждает замечательный факт единственности так называемой меры Планшереля — основного объекта настоящей работы. В работе также показано, что это понятие является общим для всех локально конечных групп.