Универсальная формальная группа для эллиптического рода уровня $N$

Эллиптическая функция уровня $N$ задает эллиптический род уровня $N$ как род Хирцебруха. Известно, что эллиптическая функция уровня $N$ является специализацией функции Кричевера, задающей род Кричевера. Функция Кричевера является экспонентой универсальной формальной группы Бухштабера. В настоящей работе предложена специализация формальной группы Бухштабера, задающая формальные группы, соответствующие эллиптическому роду уровня $N$. А именно, эллиптическая функция уровня $N$ является экспонентой формальной группы вида $F(u,v) = (u^2 A(v) - v^2 A(u))/(u B(v) - v B(u))$, где $A(u),B(u)\in \mathbb C[[u]]$ — ряды с комплексными коэффициентами такие, что $A(0)=B(0)=1$, $A''(0)=B'(0)=0$ и при $m=[(N-2)/2]$ и $n=[(N-1)/2]$ существуют параметры $(a_1,\dots ,a_m,b_1,\dots ,b_n)$, для которых выполнено соотношение $\prod _{j=1}^{n-1}(B(u) + b_j u)^2\cdot (B(u) + b_n u)^{N-2n} =A(u)^2 \prod _{k=1}^{m-1}(A(u) + a_k u^2)^2 \cdot (A(u) + a_m u^2)^{N-1-2m}$. Для универсальной формальной группы такого вида экспонента является эллиптической функцией уровня не выше $N$. Это предложение является обобщением на случай $N>2$ известного результата, утверждающего, что эллиптическая функция уровня $2$, задающая эллиптический род Ошанина–Виттена, является экспонентой универсальной формальной группы вида $ F(u,v) =(u^2 - v^2)/(u B(v) - v B(u)) $, где $B(u)\in \mathbb C[[u]]$, $B(0)=1$, $B'(0)=0$. В настоящей работе это предложение доказано для $N=3,4,5,6$. Также доказано, что эллиптическая функция уровня $7$ является экспонентой формальной группы такого вида. В работе впервые получены универсальные формальные группы, соответствующие эллиптическому роду уровня $N=5,6,7$.