Неравенства Турана–Эрёда, обратные к неравенству Маркова, для $L^q$-нормы по границе плоской выпуклой области

В 1939 г. П. Туран впервые начал изучать нижние оценки нормы производных многочленов, имеющих равномерную норму $1$, на отрезке $\mathbb I:=[-1,1]$ и в круге $\mathbb D:=\{z\in \mathbb C: |z|\le 1\}$ при условии, что все нули рассматриваемых многочленов лежат в $\mathbb I$ и $\mathbb D$ соответственно. Для равномерной нормы он доказал, что при стремлении степени многочлена $n:=\deg p$ к бесконечности точный порядок роста минимально возможной нормы производной равен $\sqrt {n}$ для $\mathbb I$ и $n$ для $\mathbb D$. Я. Эрёд продолжил исследования Турана и рассмотрел другие области. Наконец, двенадцать лет назад было доказано, что минимально возможная равномерная норма имеет порядок роста $n$ для всех компактных выпуклых областей. Уже в работе Турана есть комментарий об описанной выше проблеме для $L^q$-норм, но до недавнего времени такая задача рассматривалась только для $\mathbb D$ и $\mathbb I$. Недавно авторами была получена оценка порядка $n$ для нескольких достаточно общих классов компактных выпуклых областей и была выдвинута гипотеза о том, что порядок должен быть равен $n$ и в общем случае. В работе доказывается, что для $L^q$-нормы по границе произвольной компактной выпуклой области порядок роста минимальной нормы производной не меньше $n/\kern -1pt\log n$.