Конечные конфигурации точек на плоскости, жесткость и проблемы Эрдёша

Для конечного множества точек $E\subset \mathbb {R}^d$ и связного графа $G$ на $k+1$ вершинах определяется $G$‑каркас как подмножество из $k+1$ точек в $E$, в котором расстояние между парой вершин задано, если эти вершины соединены ребром в графе $G$. Два каркаса считаются одинаковыми, если все заданные расстояния между соответствующими парами вершин у них совпадают. В работе найдены в некотором смысле оптимальные оценки в задаче о количестве различных расстояний в жестких графах на плоскости, при этом в доказательстве используется известный результат Гута и Каца. Кроме того, вводится отношение конгруэнтности на более широком множестве графов, которое хорошо работает как для вещественной дискретной, так и для непрерывной постановки задачи. Дается точная оценка количества таких классов конгруэнтности. Далее выдвигается гипотеза, что указанная оптимальная оценка для жестких графов должна быть верна для всех графов. Данный вопрос представляется сложным даже в частном случае нежесткой $2$‑цепи. Тем не менее приводятся доводы в пользу справедливости этой гипотезы. А именно, оказывается, что гипотеза верна в размерности $d$, если в этой размерности верна гипотеза Эрдёша о расстояниях от фиксированной точки.