Обратная теорема для неравенства Кнезера

Пусть $G = (G,+)$ — компактная связная абелева группа и $\mu _G$ — вероятностная мера Хаара на ней. Теорема Кнезера (обобщающая предыдущие результаты Макбита, Райкова и Шилдса) устанавливает оценку $\mu _G(A + B) \geq \min (\mu _G(A)+\mu _G(B),1)$ для любых компактных подмножеств $A$, $B$ группы $G$ (здесь $A+B := \{a+b: a \in A,\, b \in B\}$ обозначает сумму множеств $A$ и $B$). Ясно, что это неравенство обращается в равенство, если $\mu _G(A)+\mu _G(B) \geq 1$. Кроме того, равенство достигается в случае, когда $A = \phi ^{-1}(I), B = \phi ^{-1}(J)$, где $\phi : G \to \mathbb{R} /\mathbb{Z} $ — непрерывный сюръективный гомоморфизм, а $I,J \subset \mathbb{R} /\mathbb{Z} $ — замкнутые дуги. В настоящей работе доказывается обратная теорема, которая, грубо говоря, утверждает, что если в неравенстве Кнезера “почти достигается” равенство, то множества $A$ и $B$ близки к одному из приведенных выше примеров. Также получена более сильная версия этой теоремы, в которой множество $A+B$ заменяется множеством $A +_{\varepsilon} B := \{1_A * 1_B \geq \varepsilon \}$ для малых $\varepsilon >0$. В последующей работе Джони Терявяйнена и автора последняя обратная теорема будет применена для доказательства того, что определенные наборы значений мультипликативных функций встречаются с положительной плотностью.