О распределении элементов подгрупп в арифметических прогрессиях по простому модулю

Пусть $\mathbb F_p$ — поле классов вычетов по модулю большого простого числа $p$. В работе доказано, что если $\mathcal G$ — подгруппа мультипликативной группы $\mathbb F_p^*$ и $\mathcal I\subset \mathbb F_p$ — арифметическая прогрессия, то $|\mathcal G\cap \mathcal I| = (1+o(1))|\mathcal G|\kern 1pt|\mathcal I|/p + R$, где $|R|<\bigl (|\mathcal I|^{1/2}+|\mathcal G|^{1/2}+|\mathcal I|^{1/2}|\mathcal G|^{3/8}p^{-1/8}\bigr )p^{o(1)}$. С помощью этой оценки показано, что число решений сравнения $x^n\equiv \lambda \pmod p$, $x\in \mathbb N$, $L<x<L+p/n$, не превосходит величины $p^{1/3-1/390+o(1)}$ равномерно по натуральным числам $n$, $\lambda $ и $L$. Доказательства основаны на результатах и технике работ Силлеруело и автора (2014), Мерфи, Руднева, Шкредова и Штейникова (2017) и Бургейна, Конягина, Шпарлинского и автора (2013).