Микроформальная геометрия и гомотопические алгебры

Категория (супер)многообразий и их гладких отображений расширяется с помощью введения понятия микроформальных, или “толстых”, морфизмов. Это формальные канонические отношения специального вида, для конструкции которых используются формальные степенные разложения в кокасательных направлениях. Получается формальная категория в том смысле, что закон композиции в ней также задается формальным степенным рядом. Микроформальный морфизм действует на функции операцией обратного образа, который в общем случае является нелинейным преобразованием. Точнее, это формальное отображение формальных многообразий четных функций (бозонных полей) со свойством, что его производная для каждой функции есть кольцевой гомоморфизм. Это подсказывает абстрактное понятие “нелинейного гомоморфизма” алгебр и соответствующее обобщение классической “алгебро-функциональной” двойственности. Имеется параллельный фермионный вариант. Построенный формализм дает общую конструкцию $L_\infty $-морфизмов для функций на гомотопически пуассоновых ($P_\infty $) или гомотопически схоутеновых ($S_\infty $) многообразиях как обратных образов относительно пуассоновых микроформальных морфизмов. Также показано, что понятие сопряженного линейного оператора обобщается на нелинейные операторы как микроформальный морфизм. Рассмотрено применение к $L_\infty $-алгеброидам, и показано, что $L_\infty $-морфизм $L_\infty $-алгеброидов индуцирует $L_\infty $-морфизм “гомотопических скобок Ли–Пуассона” для функций на двойственных векторных расслоениях. Эта конструкция применяется к высшим скобкам Козюля на дифференциальных формах и к треугольным $L_\infty $-биалгеброидам. Развивается также квантовая версия (для бозонного случая), взаимоотношение которой с классической версией такое же, как у уравнения Шрёдингера с уравнением Гамильтона–Якоби. Показано, что нелинейные обратные образы относительно микроформальных морфизмов — это предел при $\hbar \to 0$ некоторых “квантовых обратных образов”, которые определяются как интегральные операторы Фурье специального вида.