О классическом соответствии между поверхностями K3

Пусть $X$ — поверхность K3, являющаяся пересечением трех (т.е. связки $\mathbb P^2$) квадрик в $\mathbb P^5$. Кривая вырожденных квадрик имеет степень 6 и определяет естественное двулистное накрытие $Y$ плоскости $\mathbb P^2$, разветвленное в данной кривой, которое опять является поверхностью К3. Это дает классический пример соответствия между поверхностями K3, связанного с модулями пучков на поверхностях K3, исследованными Мукаи. Когда общие (для фиксированных решеток Пикара) поверхности $X$ и $Y$ изоморфны? Даются необходимые и достаточные условия этого в терминах решеток Пикара $X$ и $Y$. Например, для числа Пикара 2 решетка Пикара $X$ и $Y$ определяется ее детерминантом $-d$, где $d>0$, $d\equiv 1\mod 8$ и одно из уравнений $a^2-db^2=8$ или $a^2-db^2=-8$ имеет целочисленное решение $(a,b)$. Ясно, что множество таких $d$ бесконечно: $d\in \{(a^2\mp 8)/b^2\}$, где $a$ и $b$ нечетны. Это дает все возможные дивизориальные условия на 19-мерное пространство модулей пересечений трех квадрик $X$ в $\mathbb P^5$, влекущих $Y\cong X$. Одно из них, когда $X$ имеет прямую, является классическим и соответствует $d=17$. Подобные рассуждения могут быть применены к реализации изоморфизма $(T(X)\otimes \mathbb Q, H^{2,0}(X)) \cong (T(Y)\otimes \mathbb Q, H^{2,0}(Y))$ трансцендентных периодов над $\mathbb Q$ двух К3-поверхностей $X$ и $Y$ фиксированной последовательностью векторов Мукаи.