Нелинейные колебания маятника на пружине при резонансе 1 : 1 : 2. Теория, эксперимент и физические аналогии

Рассматриваются нелинейные пространственные колебания материальной точки на невесомом упругом подвесе. Частота вертикальных колебаний предполагается равной удвоенной частоте качаний (резонанс 1 : 1 : 2). В этом случае колебания по вертикали неустойчивы, что приводит к перекачке энергии вертикальных колебаний в энергию качаний маятника. Колебания материальной точки по вертикали прекращаются, и через определенный период времени маятник начинает совершать качания в некоторой вертикальной плоскости. Эти качания также неустойчивы, что приводит к обратной перекачке энергии в вертикальную моду колебаний. Опять повторяются колебания по вертикали. Однако после вторичной перекачки энергии вертикальных колебаний в энергию качания видимая плоскость качания поворачивается на некоторый угол. Эти эффекты описаны аналитически: найдены период перекачки энергии, изменения амплитуд обеих мод со временем и изменение угла видимой плоскости колебаний. Найденные аналитические зависимости полуосей эллипса и угла прецессии от времени с большой точностью согласуются с проведенными численными расчетами и подтверждаются экспериментом. Рассмотрена также задача о вынужденных колебаниях пружинного маятника с учетом трения, для которой методом осреднения построено асимптотическое решение. Установлена аналогия между нелинейными задачами для свободных и вынужденных колебаний маятника и деформационных колебаний газового пузырька. Перекачка энергии радиальных колебаний в резонансную деформационную моду приводит к аномальному увеличению ее амплитуды и, как следствие, к дроблению пузырька.