Компактификация пространства разветвленных накрытий двумерной сферы

Для замкнутой ориентированной поверхности $\Sigma $ определяются ее вырождения в особые поверхности, локально гомеоморфные букетам кругов. Множество $X_{\Sigma ,n}$ классов изоморфности $n$-листных сохраняющих ориентацию разветвленных накрытий $\Sigma \to S^2$ двумерной сферы пополняется классами отображений, накрывающих сферу вырождениями поверхности $\Sigma $. Топология, вводимая в полученном пополнении $\overline {X}_{\!\Sigma ,n}$, в случае $\Sigma =S^2$ совпадает на $X_{S^2,n}$ с топологией, индуцированной пространством коэффициентов рациональных дробей $P/Q$, где $P$, $Q$ — однородные многочлены степени $n$ на $\mathbb C\mathrm P^1\cong S^2$. Доказано, что $\overline {X}_{\!\Sigma ,n}$ совпадает с компактификацией Диаса–Эдидина–Натанзона–Тураева пространства Гурвица $H(\Sigma ,n)\subset X_{\Sigma ,n}$, состоящего из классов изоморфности накрытий с простыми критическими значениями.