Меры Эрдёша нa евклидовом пространстве и на группе целых $A$-адических чисел

Пусть $A\in M_n(\mathbb Z)$ – матрица, собственные значения которой по модулю больше $1$. Случайные переменные $\xi_t$, $t\in\mathbb Z$, со значениями в $\mathbb Z^n$ независимы и одинаково распределены, и $P(\xi_t=j)=p_j$, $j\in\mathbb Z^n$, $0<p_0<1$, $\sum_j p_j=1$. Изучаются свойства распределений случайной переменой $\zeta_1=\sum_{t=1}^\infty A^{-t}\xi_t$ со значениями в $\mathbb R^n$ и целой $A$-адической случайной переменой $\zeta=\sum_{t=0}^\infty A^t\xi_{-t}$. Получено необходимое и достаточное условие абсолютной непрерывности этих распределений. Определяются инвариантная мера Эрдёша на компактной абелевой группе целых $A$-адических чисел и $A$-инвариантная мера Эрдёша на $n$-мерном торе. Указывается связь этих инвариантных мер с функциями от счетных стационарных цепей Маркова. Для случая, когда $|\{j\colon p_j\ne 0\}|<\infty$, устанавливается связь с конечными стационарными цепями Маркова.