Совместный спектр и бесконечная диэдральная группа

Совместным проективным спектром $P(A)$ набора $A=(A_1,A_2,\dots ,A_n)$ элементов унитальной банаховой алгебры $\mathcal B$ называется множество тех $z\in\mathbb C^n$, для которых многопараметрический пучок $A(z)=z_1A_1+z_2A_2+\dots+z_nA_n$ необратим. Если $\mathcal B$ – групповая $C^*$-алгебра дискретной группы $G$, порожденной образующими $A_1,A_2,\dots,A_n$, относительно представления $\rho$, то $P(A)$ является инвариантом (слабой) эквивалентности представления $\rho$. В работе вычисляется совместный спектр для набора образующих $R=(1,a,t)$ бесконечной диэдральной группы $D_\infty=\langle a,t\mid a^2=t^2=1\rangle$ относительно левого регулярного представления $\lambda_{D_\infty}$ и детально исследуются его свойства. Также получена формула для детерминанта Фуглиде–Кадисона пучка $R(z)=z_0+z_1a+z_2t$, которая использована для вычисления первой группы сингулярных гомологий совместного резольвентного множества $P^\mathrm c(R)$. Изучение совместного спектра дает новое понимание некоторых предыдущих исследований групп промежуточного роста, с помощью которых можно вычислить соответствующий совместный спектр набора $(1,a,t)$ относительно представления Купмана $\rho$ (строящегося по самоподобному действию группы $D_\infty$ на бинарном дереве). Оказывается, что совместные спектры относительно этих двух представлений совпадают. Интересно, что отсюда можно получить самоподобную реализацию групповой $C^*$-алгебры $C^*(D_\infty)$. Это самоподобие алгебры $C^*(D_\infty)$ проявляется в некоторых динамических свойствах совместного спектра.