Новая оценка тригонометрической суммы в терминах $k$-й производной с помощью интеграла Виноградова

Представлено небольшое усовершенствование способа вывода оценок для тригонометрических сумм из оценок для интеграла Виноградова. В сочетании с недавними работами Вули, а также Бургейна, Деметера и Гута, доказывающими оптимальные оценки для интеграла Виноградова, это позволяет получить новую сильную оценку в терминах $k$-й производной. Грубо говоря, полученный результат улучшает оценку ван дер Корпута при $k\ge4$. Представлены разнообразные следствия из найденной оценки, показывающие, например, что $\zeta(\sigma+it)\ll _\varepsilon t^{(1-\sigma)^{3/2}/2+\varepsilon}$ при $t\ge2$ и $0\le\sigma\le1$ для любого фиксированного $\varepsilon>0$.