Эллиптическая функция уровня $4$

Работа посвящена теории эллиптических функций уровня $n$. Эллиптическая функция уровня $n$ задает род Хирцебруха, называемый эллиптическим родом уровня $n$. Также эллиптические функции уровня $n$ интересны тем, что являются решениями функциональных уравнений Хирцебруха. Эллиптической функцией уровня $2$ является эллиптический синус Якоби, задающий знаменитый род Ошанина–Виттена. Он является экспонентой универсальной формальной группы вида $F(u,v)=(u^2-v^2)/(uB(v)-vB(u))$, $B(0)=1$. Эллиптическая функция уровня $3$ является экспонентой универсальной формальной группы вида $F(u,v)=(u^2A(v)-v^2A(u))/(uA(v)^2-vA(u)^2)$, $A(0)=1$, $A''(0)=0$. В настоящей работе показано, что эллиптическая функция уровня $4$ есть экспонента универсальной формальной группы вида $F(u,v)=(u^2A(v)-v^2A(u))/(uB(v)-vB(u))$, где $A(0)=B(0)=1$ и при $B'(0)=A''(0)=0$, $A'(0)=A_1$, $B''(0)=2B_2$ имеет место соотношение $(2B(u)+3A_1u)^2=4A(u)^3-(3A_1^2-8B_2)u^2A(u)^2$. Для доказательства этого результата в работе получено представление эллиптической функции уровня $4$ в терминах эллиптических функций Вейерштрасса.