Относительные поперечники классов Соболева в равномерной и интегральной метриках

Через $W^r_p$ обозначается класс Соболева, состоящий из $2\pi$-периодических функций $f$ таких, что $\|f^{(r)}\|_p\le1$. Рассматриваются относительные поперечники $d_n(W^r_p,MW^r_p,L_p)$, характеризующие наилучшее приближение класса $W^r_p$ в пространстве $L_p$ линейными подпространствами, при котором (в отличие от колмогоровских поперечников) дополнительно требуется, чтобы приближающие функции $g$ лежали в $MW^r_p$, т.е. $\|g^{(r)}\|_p\le M$. Установлены оценки относительных поперечников при $p=1$ и $p=\infty$; из полученных оценок следует, что при почти оптимальном приближении (с погрешностью не более $Cn^{-r}$, где $C$ – абсолютная постоянная) класса $W^r_p$ линейным $2n$-мерным пространством нормы $r$-х производных некоторых приближающих функций при больших $n$ и $r$ будут не меньше $c\ln\min(n,r)$.