О сходимости интегрируемых операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана

Исследована сходимость в банаховом пространстве $L_1(\mathcal M,\tau)$ интегрируемых относительно следового состояния $\tau$ на алгебре фон Неймана $\mathcal M$ операторов. Введено понятие дисперсии операторов из $L_2(\mathcal M,\tau)$, и установлены его основные свойства. Предложен критерий сходимости в $L_2(\mathcal M,\tau)$ в терминах дисперсии. Показано, что для $X\in L_1(\mathcal M,\tau)$ следующие условия эквивалентны: (i) $\tau (X)=0$; (ii) $\|I+zX\|_1\geq1$ для всех $z\in\mathbb C$. Дополнен результат А. Р. Падманабхана (1979) об одном свойстве нормы пространства $L_1(\mathcal M,\tau)$. Установлена сходимость в $L_2(\mathcal M,\tau)$ мнимых компонент некоторых ограниченных последовательностей операторов из $\mathcal M$. Получены следствия о сходимости дисперсий.