Адиабатический предел в уравнениях Гинзбурга–Ландау и Зайберга–Виттена

Гиперболические уравнения Гинзбурга–Ландау возникают в калибровочной теории поля как уравнения Эйлера–Лагранжа для $(2+1)$-мерной абелевой модели Хиггса. Пространство модулей статических решений этих уравнений, называемых вихрями, описано Таубсом, однако мало что известно о пространстве модулей динамических решений. Мэнтон предложил изучать динамические решения с малой кинетической энергией с помощью адиабатического предела, вводя на траекториях решений “медленное время”. В указанном пределе динамические решения сходятся к геодезическим на пространстве вихрей в метрике, порождаемой функционалом кинетической энергии. Тем самым исходные уравнения сводятся к уравнениям Эйлера для геодезических, решая которые удается описать поведение медленно движущихся динамических решений. Оказывается, что у этой процедуры есть $4$-мерный аналог. А именно, для уравнений Зайберга–Виттена на $4$-мерных симплектических многообразиях можно ввести аналог адиабатического предела. В указанном пределе решения уравнений Зайберга–Виттена редуцируются к семействам вихрей в нормальных плоскостях к псевдоголоморфным кривым, которые можно рассматривать как комплексные аналоги геодезических, параметризованные “комплексным временем”. Исследование адиабатического предела для уравнений, указанных в названии, и составляет основное содержание данной работы.