Гриди-разложения в выпуклой оптимизации

Работа является продолжением предыдущей работы автора по выпуклой оптимизации, в которой был начат процесс адаптирования гриди-алгоритмов из нелинейной аппроксимации к нахождению разреженных (sparse) решений проблем выпуклой оптимизации. Там три наиболее популярных в нелинейной аппроксимации в банаховых пространствах гриди-алгоритма: слабый чебышевский гриди-алгоритм, слабый гриди-алгоритм со свободной релаксацией и слабый релаксированный гриди-алгоритм были модифицированы для решения задач выпуклой оптимизации. Мы продолжаем изучать разреженные приближенные решения проблем выпуклой оптимизации. Известно, что во многих инженерных приложениях исследователи заинтересованы в приближенном решении оптимизационной проблемы, которое выражается в виде линейной комбинации элементов данной системы. Растет интерес к использованию гриди-алгоритмов для построения таких разреженных приближенных решений. В этой работе мы изучаем гриди-алгоритмы, которые дают разложения. Это означает, что приближение, полученное после $m$-й итерации, равно сумме приближения после предыдущей, $(m-1)$-й итерации и одного элемента словаря с подходящим коэффициентом. Задача гриди-разложений элементов банахова пространства хорошо изучена в нелинейной теории аппроксимации. На первый взгляд, постановка задачи о разложении данного элемента и постановка задачи о разложении в проблеме оптимизации – совсем разные постановки. Однако оказалось, что одна и та же техника может быть использована для решения обеих задач. Мы показываем, как техника, разработанная в нелинейной теории приближений, в частности техника гриди-разложений, может быть адаптирована для нахождения разреженного решения оптимизационной проблемы в виде разложения по заданному словарю.