Высокоуровневые докритические ветвящиеся процессы в случайной среде

Рассматривается докритический ветвящийся процесс в случайной среде в предположении, что производящая функция моментов одного шага сопровождающего случайного блуждания $\Theta(t)$, $t\geq0$, равняется 1 при некотором значении аргумента $\varkappa>0$. Пусть $T_x$ – момент первого достижения полуоси $(x,+\infty)$ рассматриваемым процессом, а $T$ – время жизни этого процесса. Показано, что случайная величина $T_x/\ln x$, рассматриваемая при условии, что $T_x<+\infty$, сходится по распределению к вырожденной случайной величине, равной $1/\Theta'(\varkappa)$, а случайная величина $T/\ln x$, рассматриваемая при том же условии, сходится по распределению к вырожденной случайной величине, равной $1/\Theta'(\varkappa)-1/\Theta'(0)$.