Équations fonctionnelles associées à des fonctions analytiques

Пусть $X$ — комплексное аналитическое многообразие, $(f_1,\dots,f_p)$ — аналитические функции на $X$, $F=f_1\dots f_p$ — их произведение. Рассмотрим регулярный голономный $\mathcal D_X$-модуль $\mathcal M$ и сечение $m\in\mathcal M$. Обозначим через $B(x,f_1,\dots,f_p,m)$ идеал Бернштейна–Сато в $\mathbf C[s_1,\dots,s_p]$, состоящий из многочленов $b(s_1,\dots,s_p)$, обладающих следующим свойством: в окрестности точки $x\in F^{-1}(0)$ существует дифференциальный оператор $P(s_1,\dots,s_p)\in\mathcal D_X \otimes_{\mathbf C}\mathbf C[s_1,\dots,s_p]$ такой, что $P(s_1,\dots,s_p)m f_1^{s_1+1}\dots f_p^{s_p+1}=b(s_1,\dots,s_p)m f_1^{s_1}\dots f_p^{s_p}$. Клод Сабба доказал, что этот идеал ненулевой. Характеристическому многообразию $\mathcal D_X[s_1,\ldots,s_p]$-модуля $\mathcal D_X[s_1,\ldots,s_p]m f_1^{s_1}\dots f_p^{s_p}$ можно сопоставить конечное множество $\mathcal H_{f,m}$ гиперплоскостей в $\mathbf C^p$. В работе доказано, что многочлен Бернштейна–Сато (т.е. ненулевой элемент идеала Бернштейна–Сато), являющийся произведением многочленов от одной переменной, существует тогда и только тогда, когда множество $\mathcal H_{f,m}$ содержится в объединении координатных гиперплоскостей. В случае двух переменных ($p=2$) доказано существование многочлена Бернштейна–Сато, у которого множество нулей однородной формы старшей степени совпадает с множеством $\mathcal H_{f,m}$.